Blatt 6 bitte wenden - Theoretische Physik 1

ÜbungenzurTheoretischenPhysik:KomplexeQuantensysteme WS2012/13
Khodjamirian,Gelhausen,Rosenthal
Blatt6 — Ausgabe:Mi,14.11.2012 — Abgabe:Di,20.11.2012
Aufgabe14: MikrokanonischeZustandssummevonnharmonischenOszillatoren
ManbetrachteeinSystemvonngleichartigen,harmonischenOszillatoren,dienichtmiteinanderwechselwirken.DemnachlautetderHamilton-Operator
Ĥ=
n∑
i=1
(
ω ˆN i + 1 )
,
2
wobei ˆN i =â † iâidenBesetzungszahloperatordesi-tenOszillatorsangibt.BerechnenSiedie
mikrokanonischeZustandssummeΩ(E)desGesamtsystemsunterderAnnahme,dassn≫1
ist.Hinweis:
• FürdieIntegrationderExponentialfunktionnutzemandieSattelpunktnäherung,d.h.
∫ ∫
Ω(E)∼ dke n·f(k) ≈e n·f(k 0)
dke n 2 f′′ (k 0 )·(k−k 0 ) 2 .
DieFunktionf(k)nimmtanderStellek 0 einMaximuman.
4P
Aufgabe15: IdealesSpinmodell
BetrachtenSieeinModellfüreinSpin-System,welchesausNunterscheidbaren,ungekoppelten
Atomenbesteht.DabeiistdieTeilchenzahlN≫1.JedesAtomkannzweiEnergieniveaus
einnehmen:ǫ up =ǫundǫ down =−ǫmitǫ>0.DaheristdieGesamtenergiedesSystems
E=ǫ(N up −N down ).N up gibtdieAnzahlderAtomean,diesichimenergetischenZustand
ǫ up befinden,währendN down dieAnzahlderAtomeimZustandǫ down angibt.Weiterhinistdie
GesamtzahlderAtomedurchN=N up +N down gegeben.
i) BerechnenSiediemikrokanonischeZustandssummeΩ(E,N).
ii) GebenSiedieGesamtenergieEan,beiderΩ(E,N)maximalwird.
Hinweis:
• Zuii):BerechnenSiezunächstdenMaximalwertvonlnΩ(E,N)bzgl.E.
7P
bittewenden

Aufgabe16: KleinscheUngleichung
7P
BeweisenSiedieKleinscheUngleichunganhandzweierunterschiedlicherDichtematrizen ˆρ a
undˆρ b :
Hinweis:
Sp(ˆρ a (lnˆρ b −logˆρ a ))≤0.
• BenutzenSiefürdieReihenentwicklungdesLogarithmus:lnA= ∞ ∑
für0