Mathematische Grundlagen Physik für Maschinen- bau ...

Mathematische Grundlagen
Physik für Maschinenbau/Elektrotechnik
Sommersemester 2011
1 Vektoren
• Mechanik: Kräfte/Bewegungen allgemein beschrieben durch Richtung
und Betrag → Vektoren
• Vektoren: Objekte mit zwei (2D) oder drei (3D) Komponenten
• Können geometrisch durch einen Pfeil dargestellt werden (“Vektorpfeil”)
• Jede Komponente: Anteil des Vektors in die entsprechende Richtung
• Schreibweisen:
⎛ ⎞
x
⃗a = ⎝ y ⎠ (Spaltenvektor) ⃗a = (x, y, z) (Zeilenvektor)
z
1.1 Wichtige Rechenregeln
• Addition zweier Vektoren:
⎛
x 1
⎞ ⎛
⃗a 1 + ⃗a 2 = ⎝ y 1
⎠ + ⎝
z 1
• Subtraktion analog:
⎛
⃗a 1 − ⃗a 2 = ⎝
x 1
y 1
z 1
⎞
⎛
⎠ − ⎝
x 2
y 2
z 2
x 2
y 2
z 2
⎞
⎛
⎠ = ⎝
⎞
⎛
⎠ = ⎝
x 1 + x 2
y 1 + y 2
z 1 + z 2
x 1 − x 2
y 1 − y 2
z 1 − z 2
⎞
⎠
⎞
⎠
1

• Multiplikation eines Vektors ⃗a mit einem Skalar λ ↔ Verkürzung/Verlängerung
des Vektorpfeils:
⎛
x 1
⎞ ⎛
λ · x 2
⎞
λ⃗a = λ ⎝ y 1
z 1
⎠ = ⎝ λ · y 2
λ · z 2
⎠
Falls λ < 0: Richtungsumkehr!
Weitere Beispiele:
In 2D:
In 3D:
( 5
7
1, 8
(4; 0) + (−2; 3) = (2; 3)
) )
−
( 3
7
2, 8
=
( 2
7
−1
)
(1; 1; 1) − (0; 1; 1) = (1; 0; 0)
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 0 2
⎝ 1 ⎠ + ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 2 ⎠
0 2 2
2

1.1.1 Betrag eines Vektors
• Betrag eines Vektors entspricht seiner Länge
• Schreibweise/Rechenregel:
⎛
|⃗a| =
⎝
∣
x
y
z
⎞
⎠
∣ = √ x 2 + y 2 + z 2
Beispiele:
⎛
−3
⎝
4
∣ 0
⎞
⎠
∣ = √ (−3) 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 + 0 = √ 25 = 5
1.1.2 Das Skalarprodukt
|(2; 1)| = √ 2 2 + 1 2 = √ 5
• Geometrische Interpretation: Projektion eines Vektors auf einen anderen
• Rechenregel:
Beispiele:
⎛
⎝
3
√
3
0
⎛
⃗a ·⃗b = ⎝
1.2 Einheitsvektoren
⎞ ⎛
a 1
a 2
⎠ · ⎝
a 3
⎞
b 1
b 2
⎠ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
b 3
(4; 1) · (−2; −2) = −8 − 2 = −10
⎞ ⎛ ⎞
√
−2
⎠ · ⎝ 12 ⎠ = 3 · (−2) + √ 3 · √12
+ 0 · 4 = 0
4
Einheitsvektoren sind Vektoren mit der Länge “1”, also: |⃗e| = 1.
• Einheitsvektoren sind wichtig, um Richtungen anzugeben, die keine
Längeninformation enthalten sollen, z. Bsp. Achsen in einem Koordinatensystem.
3

• In rechtwinkligem (kartesischen) Koordinatensystem: Koordinatenachsen
charakterisiert durch die Einheitsvektoren
⎛
⃗e x = ⎝
1
0
0
⎞
⎛
⎠ ⃗e y = ⎝
0
1
0
⎞
⎛
⎠ ⃗e z = ⎝
1.3 Wichtige Anwendungen des Skalarprodukts
̸
1. Winkel zwischen zwei Vektoren
Es gilt:
⃗a ·⃗b = |⃗a| · | ⃗ b| · cos (⃗a, ⃗ b) (1)
2. Test, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Es gilt:
⃗a ·⃗b = 0 falls⃗a ⊥ ⃗ b (folgt aus obigem Winkelsatz) (2)
3. Projektion eines Vektors auf eine bestimmte Richtung:
Sei ⃗e ein Einheitsvektor. Dann ist ⃗a · ⃗e der Betrag von ⃗a bezüglich der
Richtung von ⃗e.
1.4 Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt)
Motivation: In der Mechanik werden Rotationen bezüglich einer Drehachse
beschrieben. Diese stehen senkrecht auf der eigentlichen Bewegungsrichtung
des Objekts.
Beispiel: Ein Rad dreht sich in der x–y–Ebene. Dann liegt die Drehachse des
Rades in z–Richtung.
→ Wunsch nach “automatischer Erzeugung” einer Drehachse aus “normalen”
Kräften/Bewegungen → Kreuzprodukt
Schreibweise/Rechenregel:
⎛ ⎞ ⎛
⃗a × ⃗ a 1
b = ⎝ a 2
⎠ × ⎝
a 3
⎞ ⎛
b 1
b 2
⎠ = ⎝
b 3
0
0
1
⎞
⎠
⎞
a 2 b 3 − a 3 b 2
a 3 b 1 − a 1 b 3
⎠
a 1 b 2 − a 2 b 1
Es exisitiert ein zum Skalarprodukt analoger Winkelsatz:
|⃗a × ⃗ b| = |⃗a|| ⃗ b| sin ̸ (⃗a, ⃗ b)
4

→ Ist auch Fläche des Parallelogramms, das von Vektoren ⃗a und ⃗ b aufgespannt
wird!
Wichtig:
• Das Vektorprodukt existiert nur für 3 Dimensionen
• Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ! Es gilt ⃗a × ⃗ b = − ⃗ b × ⃗a
Tipp: Will man das Kreuzprodukt von 2-dim. Vektoren berechnen, so
kann man diese in 3-dim. Vektoren “umwandeln” indem man die z–Komponente
hinzufügt und gleich Null setzt.
Beispiele:
⎛
⎝
1
−3
5
( 1
2
⎞
⎛
⎠ × ⎝
1
1
1
⎛
⎝
⎞
⎛
⎠ = ⎝
1
0
0
) ( 2
“ × ”
3
⎞
⎛
⎠ × ⎝
⎛
)
= ⎝
1.5 Spezielle Vektorprodukte
• Spatprodukt:
−3 · 1 − 1 · 5
5 · 1 − 1 · 1
1 · 1 − (−3) · 1
0
1
0
1
2
0
⎞
⎛
⎠ = ⎝
⎞
⎛
⎠ × ⎝
0
0
1
2
3
0
V = ⃗a · ( ⃗ b × ⃗c)
⎞
⎠
⎞
⎞
⎛
⎠ = ⎝
⎛
⎠ = ⎝
−8
4
4
0
0
−1
→ Gibt Volumen des Spats (Parallelepipeds) an, der von den Vektoren
⃗a, ⃗ b und ⃗c aufgespannt wird.
• Doppeltes Kreuzprodukt (“BAC–CAB”–Regel):
⃗a × ( ⃗ b × ⃗c) = ⃗ b(⃗a · ⃗c) − ⃗c(⃗a ·⃗b)
Anm: Das doppelte Kreuzprodukt ist auch bekannt als “Grassmann-
Identität”
⎞
⎠
⎞
⎠
5

2 Differentialrechnung
Motivation: Gegeben sei eine zurückgelegte Strecke s(t) = x(t) − x 0
Abhängigkeit der Zeit t bezüglich eines Startpunktes x 0 .
Frage: Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit?
in
• Allgemein: Geschwindigkeit = zurückgelegte Strecke pro Zeit: v = s/t.
• Momentangeschwindigkeit: Messe Geschwindigkeit ständig innerhalb
beliebig kleiner Zeitintervalle:
v(t 1 , t 2 ) = s 2 − s 1
t 2 − t 1
= x(t 2) − x(t 1 )
t 2 − t 1
= ∆x
∆t
• Im Grenzfall: ∆t → 0 ⇒ beschrieben durch Differentialrechnung
• Geometrische Interpretation: Steigung der Funktion (Tangente)
• Definition/Schreibweise: Bilde Grenzwert
Beispiel: Freier Fall
∆x
lim
∆t→0 ∆t
=:
dx
dt
x(t) = 1 2 g · t2 ⇒ v(t) = dx
dt = gt
⇒ Geschwindigkeit steigt im freien Fall proportional mit der Zeit.
Schreibweisen für Ableitungen einer Funktion f(x):
d
dx f(x), f ′ (x).
2.1 Wichtige Funktionen und ihre Ableitungen
Funktion Ableitung
x 1
x 2 2x
1
− 1 x x 2
x n
n · x n−1
√ x
1
2 √ x
sin x cos x
cos x
e x
− sin x
e x
ln x
1
x
6

2.2 Wichtige Ableitungsregeln
1. Additive Konstanten
Additive Konstanten verschwinden beim Ableiten:
Beispiel:
d
dx [x2 + 6] = 2x
d
d
[f(x) + c] =
dx dx f(x)
2. Multiplikative Konstanten
Multiplikative Konstanten vor Funktionen bleiben beim Ableiten unverändert:
Beispiel:
d
dx [3x] = 3 d
dx x = 3
d
dx [a · f(x)] = a · d
dx f(x)
3. Summenregel:
“Die Ableitung einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe ihrer
Ableitungen”
Beispiel:
d
dx [2x2 − 5x] = 4x − 5
4. Produktregel:
d
dx [f(x) + g(x)] = f ′ (x) + g ′ (x)
d
dx [f(x) · g(x)] = f ′ (x) · g(x) + f(x) · g ′ (x)
d
Beispiel: [x · cos x] = cos x − x · sin x
dx
5. Quotientenregel:
Beispiel:
d
d
dx [f(x)/g(x)] = f ′ (x) · g(x) − f(x) · g ′ (x)
[g(x)] 2
sin x
= d
dx cos x
tan x = cos2 x+sin 2 x
= 1 + tan 2 x = 1
dx cos 2 x
cos 2 x
7

6. Kettenregel:
d
dx f(g(x)) = f ′ (g(x)) · g ′ (x)
Merkregel: “Äußere Ableitung mal innere Ableitung”
Beispiel:
d
dx [(1/x + 5x)2 ] = 2(1/x + 5x) · (−1/x 2 + 5)
2.3 Ableiten von Vektoren
Motivation: Im allgemeinsten Fall wird eine Bewegung beschrieben
durch eine Kurve im Raum → Vektorfunktion ⃗x = ⃗x(t), abhängig von
Skalar t.
⇒ Geschwindigkeit ist ebenfalls Vektor! Zeitliche Ableitung ⃗v(t) =
d
dt ⃗x(t)?
“Man leitet einen Vektor ab, indem man seine Komponenten ableitet”
Beispiel: Sei ⃗x(t) = (2t 2 , −3t, 4). Es ist nun d dt (2t2 d
) = 4t, (−3t) = −3
dt
(4) = 0. Also:
und d dt
⃗v = d dt ⃗x(t) = d dt (2t2 , −3t, 4) = (4t, −3, 0)
3 Integralrechnung
Motivation: In der Mechanik ist Arbeit = Kraft × Weg
Bei konstanter Kraft: Arbeit W = Flächeninhalt des Rechtecks, das aus
x– und y–Achse gebildet wird.
Bei nicht konstanter Kraft F = F (x): Fläche unter F (x) ⇒ Integral
Schreibweise:
W (x 1 , x 2 ) =
∫ x2
x 1
F (x) dx
8

• Man nennt W auch Stammfunktion von F (x)
• Wegen variabler Integrationsgrenzen: Unendlich viele Stammfunktionen
zu F (x)
• Allgemeine Schreibweise für Stammfunktion:
∫
F (x) =
f(x) dx
(Angabe des Integrals ohne Integrationsgrenzen)
3.1 Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung
Grundsätzlich gilt: Das Ableiten ist die “Umkehrung” des Integrierens, d. h.
∫
d
f(x) = f(x)
dx
3.2 Einige wichtige Stammfunktionen
Funktion
c
Stammfunktion
cx
1
x
2 x2
1
ln x
x
x n 1
n+1 xn+1
√ x
3
sin x
cos x
e x
ln x
2 x3/2
− cos x
sin x
e x
x ln x − x
• Für das Lösen von Integralen gibt es nur für ganz wenige Funktionen
eindeutige Vorgehensweisen
• Oftmals viel Arbeit und Intuition erforderlich, um Integrale analytisch
zu bestimmen!
• Für viele Integrale überhaupt keine analytische Lösung vorhanden
• Oft hilft der Bronstein weiter
9

3.3 Wichtige Integrationsregeln
1. Das Integral verschwindet für gleiche Inegrationsgrenzen
∫ a
a
f(x) dx = 0
2. Ein Integral lässt sich in mehrere Teilintegrale zerlegen
3. Linearität I
4. Linearität II
∫ b
∫ b
f(x) dx =
∫ a ′
f(x) dx +
∫ b
a
a
a ′
(f(x) + g(x)) dx =
∫ b
f(x) dx +
a
a
a
f(x) dx
∫ b
g(x) dx
∫ b
[λ · f(x)] dx = λ
∫ b
a
a
f(x) dx
10