Mathematische Grundlagen Physik für Maschinen- bau ...
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<strong>Mathematische</strong> <strong>Grundlagen</strong><br />
<strong>Physik</strong> für <strong>Maschinen</strong><strong>bau</strong>/Elektrotechnik<br />
Sommersemester 2011<br />
1 Vektoren<br />
• Mechanik: Kräfte/Bewegungen allgemein beschrieben durch Richtung<br />
und Betrag → Vektoren<br />
• Vektoren: Objekte mit zwei (2D) oder drei (3D) Komponenten<br />
• Können geometrisch durch einen Pfeil dargestellt werden (“Vektorpfeil”)<br />
• Jede Komponente: Anteil des Vektors in die entsprechende Richtung<br />
• Schreibweisen:<br />
⎛ ⎞<br />
x<br />
⃗a = ⎝ y ⎠ (Spaltenvektor) ⃗a = (x, y, z) (Zeilenvektor)<br />
z<br />
1.1 Wichtige Rechenregeln<br />
• Addition zweier Vektoren:<br />
⎛<br />
x 1<br />
⎞ ⎛<br />
⃗a 1 + ⃗a 2 = ⎝ y 1<br />
⎠ + ⎝<br />
z 1<br />
• Subtraktion analog:<br />
⎛<br />
⃗a 1 − ⃗a 2 = ⎝<br />
x 1<br />
y 1<br />
z 1<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ − ⎝<br />
x 2<br />
y 2<br />
z 2<br />
x 2<br />
y 2<br />
z 2<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ = ⎝<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ = ⎝<br />
x 1 + x 2<br />
y 1 + y 2<br />
z 1 + z 2<br />
x 1 − x 2<br />
y 1 − y 2<br />
z 1 − z 2<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎠<br />
1
• Multiplikation eines Vektors ⃗a mit einem Skalar λ ↔ Verkürzung/Verlängerung<br />
des Vektorpfeils:<br />
⎛<br />
x 1<br />
⎞ ⎛<br />
λ · x 2<br />
⎞<br />
λ⃗a = λ ⎝ y 1<br />
z 1<br />
⎠ = ⎝ λ · y 2<br />
λ · z 2<br />
⎠<br />
Falls λ < 0: Richtungsumkehr!<br />
Weitere Beispiele:<br />
In 2D:<br />
In 3D:<br />
( 5<br />
7<br />
1, 8<br />
(4; 0) + (−2; 3) = (2; 3)<br />
) )<br />
−<br />
( 3<br />
7<br />
2, 8<br />
=<br />
( 2<br />
7<br />
−1<br />
)<br />
(1; 1; 1) − (0; 1; 1) = (1; 0; 0)<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
2 0 2<br />
⎝ 1 ⎠ + ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 2 ⎠<br />
0 2 2<br />
2
1.1.1 Betrag eines Vektors<br />
• Betrag eines Vektors entspricht seiner Länge<br />
• Schreibweise/Rechenregel:<br />
⎛<br />
|⃗a| =<br />
⎝<br />
∣<br />
x<br />
y<br />
z<br />
⎞<br />
⎠<br />
∣ = √ x 2 + y 2 + z 2<br />
Beispiele:<br />
⎛<br />
−3<br />
⎝<br />
4<br />
∣ 0<br />
⎞<br />
⎠<br />
∣ = √ (−3) 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 + 0 = √ 25 = 5<br />
1.1.2 Das Skalarprodukt<br />
|(2; 1)| = √ 2 2 + 1 2 = √ 5<br />
• Geometrische Interpretation: Projektion eines Vektors auf einen anderen<br />
• Rechenregel:<br />
Beispiele:<br />
⎛<br />
⎝<br />
3<br />
√<br />
3<br />
0<br />
⎛<br />
⃗a ·⃗b = ⎝<br />
1.2 Einheitsvektoren<br />
⎞ ⎛<br />
a 1<br />
a 2<br />
⎠ · ⎝<br />
a 3<br />
⎞<br />
b 1<br />
b 2<br />
⎠ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3<br />
b 3<br />
(4; 1) · (−2; −2) = −8 − 2 = −10<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
√<br />
−2<br />
⎠ · ⎝ 12 ⎠ = 3 · (−2) + √ 3 · √12<br />
+ 0 · 4 = 0<br />
4<br />
Einheitsvektoren sind Vektoren mit der Länge “1”, also: |⃗e| = 1.<br />
• Einheitsvektoren sind wichtig, um Richtungen anzugeben, die keine<br />
Längeninformation enthalten sollen, z. Bsp. Achsen in einem Koordinatensystem.<br />
3
• In rechtwinkligem (kartesischen) Koordinatensystem: Koordinatenachsen<br />
charakterisiert durch die Einheitsvektoren<br />
⎛<br />
⃗e x = ⎝<br />
1<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ ⃗e y = ⎝<br />
0<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ ⃗e z = ⎝<br />
1.3 Wichtige Anwendungen des Skalarprodukts<br />
̸<br />
1. Winkel zwischen zwei Vektoren<br />
Es gilt:<br />
⃗a ·⃗b = |⃗a| · | ⃗ b| · cos (⃗a, ⃗ b) (1)<br />
2. Test, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Es gilt:<br />
⃗a ·⃗b = 0 falls⃗a ⊥ ⃗ b (folgt aus obigem Winkelsatz) (2)<br />
3. Projektion eines Vektors auf eine bestimmte Richtung:<br />
Sei ⃗e ein Einheitsvektor. Dann ist ⃗a · ⃗e der Betrag von ⃗a bezüglich der<br />
Richtung von ⃗e.<br />
1.4 Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt)<br />
Motivation: In der Mechanik werden Rotationen bezüglich einer Drehachse<br />
beschrieben. Diese stehen senkrecht auf der eigentlichen Bewegungsrichtung<br />
des Objekts.<br />
Beispiel: Ein Rad dreht sich in der x–y–Ebene. Dann liegt die Drehachse des<br />
Rades in z–Richtung.<br />
→ Wunsch nach “automatischer Erzeugung” einer Drehachse aus “normalen”<br />
Kräften/Bewegungen → Kreuzprodukt<br />
Schreibweise/Rechenregel:<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⃗a × ⃗ a 1<br />
b = ⎝ a 2<br />
⎠ × ⎝<br />
a 3<br />
⎞ ⎛<br />
b 1<br />
b 2<br />
⎠ = ⎝<br />
b 3<br />
0<br />
0<br />
1<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎞<br />
a 2 b 3 − a 3 b 2<br />
a 3 b 1 − a 1 b 3<br />
⎠<br />
a 1 b 2 − a 2 b 1<br />
Es exisitiert ein zum Skalarprodukt analoger Winkelsatz:<br />
|⃗a × ⃗ b| = |⃗a|| ⃗ b| sin ̸ (⃗a, ⃗ b)<br />
4
→ Ist auch Fläche des Parallelogramms, das von Vektoren ⃗a und ⃗ b aufgespannt<br />
wird!<br />
Wichtig:<br />
• Das Vektorprodukt existiert nur für 3 Dimensionen<br />
• Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ! Es gilt ⃗a × ⃗ b = − ⃗ b × ⃗a<br />
Tipp: Will man das Kreuzprodukt von 2-dim. Vektoren berechnen, so<br />
kann man diese in 3-dim. Vektoren “umwandeln” indem man die z–Komponente<br />
hinzufügt und gleich Null setzt.<br />
Beispiele:<br />
⎛<br />
⎝<br />
1<br />
−3<br />
5<br />
( 1<br />
2<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ × ⎝<br />
1<br />
1<br />
1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ = ⎝<br />
1<br />
0<br />
0<br />
) ( 2<br />
“ × ”<br />
3<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ × ⎝<br />
⎛<br />
)<br />
= ⎝<br />
1.5 Spezielle Vektorprodukte<br />
• Spatprodukt:<br />
−3 · 1 − 1 · 5<br />
5 · 1 − 1 · 1<br />
1 · 1 − (−3) · 1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
2<br />
0<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ = ⎝<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ × ⎝<br />
0<br />
0<br />
1<br />
2<br />
3<br />
0<br />
V = ⃗a · ( ⃗ b × ⃗c)<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ = ⎝<br />
⎛<br />
⎠ = ⎝<br />
−8<br />
4<br />
4<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
→ Gibt Volumen des Spats (Parallelepipeds) an, der von den Vektoren<br />
⃗a, ⃗ b und ⃗c aufgespannt wird.<br />
• Doppeltes Kreuzprodukt (“BAC–CAB”–Regel):<br />
⃗a × ( ⃗ b × ⃗c) = ⃗ b(⃗a · ⃗c) − ⃗c(⃗a ·⃗b)<br />
Anm: Das doppelte Kreuzprodukt ist auch bekannt als “Grassmann-<br />
Identität”<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎠<br />
5
2 Differentialrechnung<br />
Motivation: Gegeben sei eine zurückgelegte Strecke s(t) = x(t) − x 0<br />
Abhängigkeit der Zeit t bezüglich eines Startpunktes x 0 .<br />
Frage: Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit?<br />
in<br />
• Allgemein: Geschwindigkeit = zurückgelegte Strecke pro Zeit: v = s/t.<br />
• Momentangeschwindigkeit: Messe Geschwindigkeit ständig innerhalb<br />
beliebig kleiner Zeitintervalle:<br />
v(t 1 , t 2 ) = s 2 − s 1<br />
t 2 − t 1<br />
= x(t 2) − x(t 1 )<br />
t 2 − t 1<br />
= ∆x<br />
∆t<br />
• Im Grenzfall: ∆t → 0 ⇒ beschrieben durch Differentialrechnung<br />
• Geometrische Interpretation: Steigung der Funktion (Tangente)<br />
• Definition/Schreibweise: Bilde Grenzwert<br />
Beispiel: Freier Fall<br />
∆x<br />
lim<br />
∆t→0 ∆t<br />
=:<br />
dx<br />
dt<br />
x(t) = 1 2 g · t2 ⇒ v(t) = dx<br />
dt = gt<br />
⇒ Geschwindigkeit steigt im freien Fall proportional mit der Zeit.<br />
Schreibweisen für Ableitungen einer Funktion f(x):<br />
d<br />
dx f(x), f ′ (x).<br />
2.1 Wichtige Funktionen und ihre Ableitungen<br />
Funktion Ableitung<br />
x 1<br />
x 2 2x<br />
1<br />
− 1 x x 2<br />
x n<br />
n · x n−1<br />
√ x<br />
1<br />
2 √ x<br />
sin x cos x<br />
cos x<br />
e x<br />
− sin x<br />
e x<br />
ln x<br />
1<br />
x<br />
6
2.2 Wichtige Ableitungsregeln<br />
1. Additive Konstanten<br />
Additive Konstanten verschwinden beim Ableiten:<br />
Beispiel:<br />
d<br />
dx [x2 + 6] = 2x<br />
d<br />
d<br />
[f(x) + c] =<br />
dx dx f(x)<br />
2. Multiplikative Konstanten<br />
Multiplikative Konstanten vor Funktionen bleiben beim Ableiten unverändert:<br />
Beispiel:<br />
d<br />
dx [3x] = 3 d<br />
dx x = 3<br />
d<br />
dx [a · f(x)] = a · d<br />
dx f(x)<br />
3. Summenregel:<br />
“Die Ableitung einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe ihrer<br />
Ableitungen”<br />
Beispiel:<br />
d<br />
dx [2x2 − 5x] = 4x − 5<br />
4. Produktregel:<br />
d<br />
dx [f(x) + g(x)] = f ′ (x) + g ′ (x)<br />
d<br />
dx [f(x) · g(x)] = f ′ (x) · g(x) + f(x) · g ′ (x)<br />
d<br />
Beispiel: [x · cos x] = cos x − x · sin x<br />
dx<br />
5. Quotientenregel:<br />
Beispiel:<br />
d<br />
d<br />
dx [f(x)/g(x)] = f ′ (x) · g(x) − f(x) · g ′ (x)<br />
[g(x)] 2<br />
sin x<br />
= d<br />
dx cos x<br />
tan x = cos2 x+sin 2 x<br />
= 1 + tan 2 x = 1<br />
dx cos 2 x<br />
cos 2 x<br />
7
6. Kettenregel:<br />
d<br />
dx f(g(x)) = f ′ (g(x)) · g ′ (x)<br />
Merkregel: “Äußere Ableitung mal innere Ableitung”<br />
Beispiel:<br />
d<br />
dx [(1/x + 5x)2 ] = 2(1/x + 5x) · (−1/x 2 + 5)<br />
2.3 Ableiten von Vektoren<br />
Motivation: Im allgemeinsten Fall wird eine Bewegung beschrieben<br />
durch eine Kurve im Raum → Vektorfunktion ⃗x = ⃗x(t), abhängig von<br />
Skalar t.<br />
⇒ Geschwindigkeit ist ebenfalls Vektor! Zeitliche Ableitung ⃗v(t) =<br />
d<br />
dt ⃗x(t)?<br />
“Man leitet einen Vektor ab, indem man seine Komponenten ableitet”<br />
Beispiel: Sei ⃗x(t) = (2t 2 , −3t, 4). Es ist nun d dt (2t2 d<br />
) = 4t, (−3t) = −3<br />
dt<br />
(4) = 0. Also:<br />
und d dt<br />
⃗v = d dt ⃗x(t) = d dt (2t2 , −3t, 4) = (4t, −3, 0)<br />
3 Integralrechnung<br />
Motivation: In der Mechanik ist Arbeit = Kraft × Weg<br />
Bei konstanter Kraft: Arbeit W = Flächeninhalt des Rechtecks, das aus<br />
x– und y–Achse gebildet wird.<br />
Bei nicht konstanter Kraft F = F (x): Fläche unter F (x) ⇒ Integral<br />
Schreibweise:<br />
W (x 1 , x 2 ) =<br />
∫ x2<br />
x 1<br />
F (x) dx<br />
8
• Man nennt W auch Stammfunktion von F (x)<br />
• Wegen variabler Integrationsgrenzen: Unendlich viele Stammfunktionen<br />
zu F (x)<br />
• Allgemeine Schreibweise für Stammfunktion:<br />
∫<br />
F (x) =<br />
f(x) dx<br />
(Angabe des Integrals ohne Integrationsgrenzen)<br />
3.1 Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung<br />
Grundsätzlich gilt: Das Ableiten ist die “Umkehrung” des Integrierens, d. h.<br />
∫<br />
d<br />
f(x) = f(x)<br />
dx<br />
3.2 Einige wichtige Stammfunktionen<br />
Funktion<br />
c<br />
Stammfunktion<br />
cx<br />
1<br />
x<br />
2 x2<br />
1<br />
ln x<br />
x<br />
x n 1<br />
n+1 xn+1<br />
√ x<br />
3<br />
sin x<br />
cos x<br />
e x<br />
ln x<br />
2 x3/2<br />
− cos x<br />
sin x<br />
e x<br />
x ln x − x<br />
• Für das Lösen von Integralen gibt es nur für ganz wenige Funktionen<br />
eindeutige Vorgehensweisen<br />
• Oftmals viel Arbeit und Intuition erforderlich, um Integrale analytisch<br />
zu bestimmen!<br />
• Für viele Integrale überhaupt keine analytische Lösung vorhanden<br />
• Oft hilft der Bronstein weiter<br />
9
3.3 Wichtige Integrationsregeln<br />
1. Das Integral verschwindet für gleiche Inegrationsgrenzen<br />
∫ a<br />
a<br />
f(x) dx = 0<br />
2. Ein Integral lässt sich in mehrere Teilintegrale zerlegen<br />
3. Linearität I<br />
4. Linearität II<br />
∫ b<br />
∫ b<br />
f(x) dx =<br />
∫ a ′<br />
f(x) dx +<br />
∫ b<br />
a<br />
a<br />
a ′<br />
(f(x) + g(x)) dx =<br />
∫ b<br />
f(x) dx +<br />
a<br />
a<br />
a<br />
f(x) dx<br />
∫ b<br />
g(x) dx<br />
∫ b<br />
[λ · f(x)] dx = λ<br />
∫ b<br />
a<br />
a<br />
f(x) dx<br />
10