Übungen zur Theoretischen Physik F1 - Theoretische Physik 1

Übungen zur Theoretischen Physik F1 WiSe 2010/11
Kilian, Huber, Schnitter
Blatt 11 — Ausgabe: 20.01.2011 — Abgabe: Donnerstag, 27.01.2011
Klausurtermin: Dienstag, 8.2.2011 14:00, Raum D 115
Aufgabe 1: Bewegungsgleichungen des elektromagnetischen Feldes
5 P
a) 2 P Die klassische Hamilton-Funktion eines Elektrons im elektromagnetischen
Feld lautet:
( )
⃗p + e ⃗ 2 A(⃗x)
H =
− e φ(⃗x).
2m
Zeigen Sie, dass diese Hamiltonfunktion auf die bekannte Lorentz-Kraft führt.
b) 3 P Der Hamilton-Operator des freien elektromagnetischen Feldes lautet:
∫
H = ∑
α
d 3⃗ k
(2π) 3 ¯hω k a † a α (⃗ k, t) = aα (⃗ k)e
−iω k t
α(⃗ k) aα (⃗ k) mit
a † α(⃗ k, t) = a
†
α (⃗ k)e
iω k t
und
Zeigen Sie für diesen Hamiltonoperator die Heisenberg-Gleichung:
ω k = |⃗ k|c.
i¯h ∂ ⃗ A(⃗x, t)
∂t
= [ ⃗ A(⃗x, t), H
]
.
Aufgabe 2: Übergangmatrixelemente in zweiter Ordnung
Zur Berechnung der Übergangsrate eines Zerfalls A → B + γ eines angeregten Zustandes
des Wasserstoffatoms wird das Matrixelement
M A→B+γα (⃗ k)
= 〈 B ∣ ∣ e
−i⃗ k·⃗ X ⃗ P ·⃗ɛ
∗
α (⃗ k)
∣ ∣A
〉
benötigt, das in der Vorlesung für die elektrische Dipol-Näherung e −i ⃗ k·⃗ X
≈ 1 ausgewertet
wurde.
a) 2 P Zeigen Sie, dass sich die linearen Beiträge aus der Entwicklung der Exponentialfunktion
durch die Matrixelemente des elektrischen Quadrupol-Operators,
mω AB
2
k i ɛ ∗ α,j ( ⃗ k)
〈
B
∣ ∣ Q ij
∣ ∣A
〉
mit Qij = X i X j − 1 3 δ ij ⃗ X 2 und ¯hω AB = E B − E A
sowie durch die Matrixelemente des magnetischen Dipol-Operators
−
2 i ɛ ijk k i ɛα,j ∗ ( 〈 ∣ ∣ 〉
⃗ k) B∣Lk∣A mit ⃗ L = ⃗ X × ⃗ P
8 P
ausdrücken lassen.
Bitte wenden

) 2 P Zeigen Sie, dass mit der Spin-Wechselwirkung H s = e m ⃗ S · ⃗ B( ⃗ X) aus der elektrischen
Dipolnäherung die Ersetzung des Bahndrehimpulses durch L k + 2S k im
magnetischen Dipol-Operator folgt.
c) 4 P Geben Sie die Formel für die Übergangsrate von Zerfällen an, bei denen der
erste nicht verschwindende Beitrag aus dem elektrischen Quadrupol-Operator
bzw. aus dem magnetischen Dipoloperator folgt. Vergleichen Sie die ω AB -Abhängigkeit
mit elektrischen Dipol-Übergängen.
Aufgabe 3: Übergangsregeln
Wir betrachten Übergänge zwischen ∣ ∣ A
〉 =
∣ ∣nlmms
〉
und
∣ ∣B
〉 =
∣ ∣n ′ l ′ m ′ m ′ s〉
. Für welche
Werte von ∆l, ∆m und ∆m s gibt es nicht verschwindende Beiträge des elektrischen
Dipol-Operators, des elektrischen Quadrupol-Operators und des magnetischen Dipol-
Operators?
Hinweis:
Drücken Sie X k und Q ij durch Kugelflächenfunktionen aus und verwenden Sie die Relation
Y l1 m 1
(⃗n)Y l2 m 2
(⃗n) =
l=
l 1 +l 2
∑
∣
∣ l1 −l 2 l
∑
m=−l
√
(2l 1 + 1)(2l 2 + 1)
Cl l0
4π(2l + 1) 1 0l 2 0 Clm l 1 m 1 l 2 m 2
Y lm (⃗n),
wobei die C lm
l 1 m 1 l 2 m 2
die zugehörigen Clebsch-Gordan-Koeffizienten sind. Nutzen Sie deren
Eigenschaften zur Bestimmung der Terme der Summe, die von null verschieden
sind.
7 P