Angewandte Mathematik - Albino Troll
Angewandte Mathematik - Albino Troll Angewandte Mathematik - Albino Troll
a b c n = 3 Ges.: Variation zu 1., 2. und 3. Klasse 1. Klasse V(3;1) = 3 abc 2. Klasse (zu je zwei Elementen) ab bc ca ba cb ac V(3;2) = 6 = 3*2 3. Klasse abc acb … cba P(3) = V(3;3) = 6 = 3*2*1 V(n,1) = n a 1 , a 2 …a n V(n,2) = n(n-1) V(n,3) = n(n-1)(n-2) V(n,k) = n(n-1)(n-2)…(n-k+1) = n! 1*2...( n − k)( n − k + 1)... n = ( n − k)! 1*2...( n − k) kürzen V(n,k) = (n-k+1)(n-k+2)…n 3.1.5 Variationen mit Wiederholung 2 Elemente a, b zur 2. Klasse: aa, ab, ba, bb V W (2;2) = 2² = 4 zur 3. Klasse aaa aab aba baa bbb bba bab abb VW(n;k) = n k V W (2;3) = 2³ = 8 HTL / AM 5AHELI Seite 6 / 36
Ges.: Wie viele 4-stellige Zahlen lassen sich aus den Grundziffern 1, 2, 3,4 und 5 bilden, wenn jede Grundziffer mehrmals auftreten darf. V W (5;1) = 5 V W (5;2) = 5² = 25 11 21 … 51 12 52 13 53 14 54 15 25 … 55 V W (5;3) = 125 111 … 511 112 512 113 513 114 514 115 … 515 121 25 131 25 141 25 151 25 25 1, 2, 3, 4, 5 (1. Klasse) (2. Klasse) 3.1.6 Kombinationen ohne Wiederholung C(n,k) a 1 , a 2 , … a n gegebene Elemente Jede Zusammenstellung von k solchen Elementen ohne Berücksichtigung ihrer Anordnung heißt Kombination von n-Elementen zur k-ten Klasse. Fahnenbeispiel: rt, bl, gr, w rt bl bl gr gr w gr w w n\k 1 2 3 4 5 a 1 nicht vorhanden 1 a, b ab 2 nicht vorhanden 2 1 3 nicht vorhanden abc, abd, acd, a, b, c, d ab, ac, ad, bc, ad, cd abcd 4 bcd, nicht vorhanden 4 6 4 1 5 ... für Kombinationen C(n,k) a, b, c a, b, c, d, e ab, ac, bc ... abc ... ... abcde 3 5 3 10 1 10 5 1 HTL / AM 5AHELI Seite 7 / 36
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Ges.: Wie viele 4-stellige Zahlen lassen sich aus den Grundziffern 1, 2, 3,4 und 5 bilden,<br />
wenn jede Grundziffer mehrmals auftreten darf.<br />
V W (5;1) = 5<br />
V W (5;2) = 5² = 25<br />
11 21 … 51<br />
12 52<br />
13 53<br />
14 54<br />
15 25 … 55<br />
V W (5;3) = 125<br />
111 … 511<br />
112 512<br />
113 513<br />
114 514<br />
115 … 515<br />
121 25<br />
131 25<br />
141 25<br />
151 25<br />
25<br />
1, 2, 3, 4, 5 (1. Klasse)<br />
(2. Klasse)<br />
3.1.6 Kombinationen ohne Wiederholung<br />
C(n,k)<br />
a 1 , a 2 , … a n gegebene Elemente<br />
Jede Zusammenstellung von k solchen Elementen ohne Berücksichtigung ihrer Anordnung<br />
heißt Kombination von n-Elementen zur k-ten Klasse.<br />
Fahnenbeispiel: rt, bl, gr, w<br />
rt bl bl gr gr w<br />
gr<br />
w<br />
w<br />
n\k 1 2 3 4 5<br />
a<br />
1<br />
nicht vorhanden<br />
1<br />
a, b ab<br />
2<br />
nicht vorhanden<br />
2 1<br />
3<br />
nicht vorhanden<br />
abc, abd, acd,<br />
a, b, c, d ab, ac, ad, bc, ad, cd<br />
abcd<br />
4<br />
bcd,<br />
nicht vorhanden<br />
4 6 4 1<br />
5<br />
... für Kombinationen C(n,k)<br />
a, b, c<br />
a, b, c, d, e<br />
ab, ac, bc<br />
...<br />
abc<br />
... ... abcde<br />
3<br />
5<br />
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