Angewandte Mathematik - Albino Troll

3.4.1.4 Gausssche Normalverteilung
g
( x−µ
)
1 −
2
2σ
( x,
μ,
σ ) = * e
σ 2μ
2
µ…Mittelwert, Erwartungswert
σ…Standardabweichung
σ²…Varianz
Beispiel: Widerstand R = 100Ω
R = 100,00000000….000000….000…
⎛ 2( x − µ )
g′
⎞
( x)
= k * ⎜−
⎟*
e
2
⎝ 2σ
⎠
g′
( x)
= g(
µ ) = 0
⎡ ~ ( x − µ )
g′′
( x)
= −k
⎢e
−
2
⎣ σ
g′′
( x)
= 0
2
( x − µ )
1−
= 0
2
σ
2
2
σ = ( x − µ )
σ = ± ( x − µ )
x = σ ± µ Wendepunkte
2
2
( x−µ
)
−
2
2σ
= −k
( x − µ )* e
( x−µ
)
−
2
2σ
2
~ ⎤
~ ⎡ ( x − µ ) ⎤
* e ⎥ = −k
* e ⎢1
−
2 ⎥
⎦ ⎣ σ ⎦
2
Quelle: Wikipedia 18.12.2006
Spezialfall µ = 0 σ = 1
1 −
2
g( x,0,1)
= * e
2π
G
2
∞ x
1 −
2
( x,0,1)
2
∫ e
π
−∞
x
2
= NVT (0,1)
= dx = 1
Standardnormalverteilung
…nicht lösbar, d.h. das Integral definiert die Funktion
lim g(
x)
= 0
x→∞
…Die Funktion nähert sich 0 an.
2
G(
x,0,1)
=
2
∫ e
π
3
⎛ x
lim ...( 1)
→∞
⎜ x − −
x
⎝ 2*3*1!
∞
0
2
x −
2
dx =
k
3
5
7
9
π ⎛ x x x x ⎞
*
...
3
4
2
⎜ x − + − + −
3*2*1! 5*4*2! 7*2 *3! 9*2 *4!
⎟
⎝
⎠
2k+
1
x
(2k
+ 1)*2
k
⎞ π
=
* !
⎟
k ⎠ 2
2
G(
x,0,1)
= 1 = *lim(~)
π x→∞
HTL / AM 5AHELI Seite 28 / 36
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