Angewandte Mathematik - Albino Troll
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In einem Lager sind Bauelemente von vier Betrieben enthalten: Betrieb Stückzahl Ausschussquote 1 2500 1,2% 2 3200 2,1% 3 1700 1,5% 4 4600 1,7% Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine dem Lager entnommene Baugruppe defekt ist? Ereignis A: Ereignis B: entnommene Baugruppe stammt von Betrieb i Baugruppe ist defekt 2500 25 P( A1 ) = = = 0,208 12000 120 3200 8 P( A2 ) = = = 0,267 12000 30 1700 17 P( A3 ) = = = 0,142 12000 120 4600 23 P( A4 ) = = = 0,383 12000 60 P( B | A ) = 0,012 1 P( B | A ) = 0,021 2 P( B | A ) = 0,015 3 P( B | A ) = 0,017 4 P B) = P( B | A )* P( A ) + KP( B | A )* P( A ) ( 1 1 n P( B) = 0,012*0,208 + 0,021*0,267 + 0,015*0,142 + 0,017*0,383 = 0,0167 ≈ 0,017 d.h. mit 1,7% Wahrscheinlichkeit ist die Baugruppe defekt. n Bsp.: 3 Betriebe stellen das gleiche Erzeugnis her. Ein Finalproduzent erhält von Betrieb 1 50% mit 95% Erfüllung der Qualitätsnorm Betrieb 2 30% mit 80% Erfüllung der Qualitätsnorm Betreib 3 20% mit 90% Erfüllung der Qualitätsnorm Ges.: Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig entnommenes Erzeugnis die Qualitätsnorm erfüllt. Ereignis A: Ereignis B: entnommene Baugruppe stammt vom Betrieb i entnommene Baugruppe entspricht der Qualitätsnorm P( B | A ) = 0,95 1 P( B | A ) = 0,80 2 P( B | A ) = 0,90 3 P( A ) = 0,5 1 P( A2 ) = 0,3 P( A ) = 0,2 3 P B) = P( B | A )* P( A ) + KP( B | A )* P( A ) ( 1 1 P( B) = 0,95*0,5 + 0,80*0,3 + 0,90*0,2 = 0,895 = 89,5% n n HTL / AM 5AHELI Seite 16 / 36
3.2.5 Satz von Bayes Sind zwei zufällige Ereignisse A, B mit P(A) > 0 und P(B) > 0 gegeben und ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) von B bezüglich A bekannt, so kann man daraus die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) und A bezüglich B berechnen. Nach dem Multiplikationssatz gilt: P( A | B) P( B | A) = P( A) P( B) P( B | A)* P( A) P( A | B) = P( B) Verallgemeinerung dieser Beziehung auf bedingte Wahrscheinlichkeit von k Ereignissen A k bezüglich des Ereignisses B i . Seien A 1 …A n paarweise unvereinbare Ereignisse mit den Wahrscheinlichkeiten P(A 1 )…P(A n ) (P(A i ) > 0, i = 1,…n), deren Summe das sichere Ereignis ist und B ein zufälliges Ereignis mit P(B) > 0, so gilt für die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A k |B) von A k bezüglich B: P( B | Ak )* P( Ak ) P( Ak | B) = k = 1,…n P( B) Ersetzt man P(B) durch die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit P( B) = P n ∑ i= 1 P( B | A )* P( ∑ i= 1 i A i P( B | A )* P( A ) i ) , so erhält man die sog. Bayessche Formel: K k ( Ak | B) = n …Bayessche Formel P( B | A )* P( A ) i 3 Betriebe produzieren Bauteile liefern in ein Lager Betrieb Stück Ausschuss 1 3500 2,0% 2 2000 2,5% 3 1500 1,5% Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt ein entnommenes Bauteil aus Betrieb 3 und ist defekt? 3500 P( B1 ) = = 0,5 7000 2000 P(A|B 1 ) = 0,02 P( B2 ) = = 0,286 P(A|B 2 ) = 0,025 7000 P(A|B 3 ) = 0,015 1500 P( B3) = = 0,214 7000 P( A | B3 )* P( B3 ) P( B3 | A) = P( A | B1 )* P( B1 ) + P( A | B2 )* P( B2 ) + P( A | B3 )* P( B3 ) 0,015*0,214 0,0315 = = = 0,154 0,02*0,5 + 0,025*0,286 + 0,015*0,214 0,0204 D.h. mit 15,4% Wahrscheinlichkeit stammt ein defektes Bauteil aus Betrieb 3. HTL / AM 5AHELI Seite 17 / 36
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3.2.5 Satz von Bayes<br />
Sind zwei zufällige Ereignisse A, B mit P(A) > 0 und P(B) > 0 gegeben und ist die bedingte<br />
Wahrscheinlichkeit P(B|A) von B bezüglich A bekannt, so kann man daraus die bedingte<br />
Wahrscheinlichkeit P(A|B) und A bezüglich B berechnen.<br />
Nach dem Multiplikationssatz gilt:<br />
P(<br />
A | B)<br />
P(<br />
B | A)<br />
=<br />
P(<br />
A)<br />
P(<br />
B)<br />
P(<br />
B | A)*<br />
P(<br />
A)<br />
P(<br />
A | B)<br />
=<br />
P(<br />
B)<br />
Verallgemeinerung dieser Beziehung auf bedingte Wahrscheinlichkeit von k Ereignissen A k<br />
bezüglich des Ereignisses B i .<br />
Seien A 1 …A n paarweise unvereinbare Ereignisse mit den Wahrscheinlichkeiten P(A 1 )…P(A n )<br />
(P(A i ) > 0, i = 1,…n), deren Summe das sichere Ereignis ist und B ein zufälliges Ereignis mit<br />
P(B) > 0, so gilt für die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A k |B) von A k bezüglich B:<br />
P(<br />
B | Ak<br />
)* P(<br />
Ak<br />
)<br />
P(<br />
Ak | B)<br />
= k = 1,…n<br />
P(<br />
B)<br />
Ersetzt man P(B) durch die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit<br />
P(<br />
B)<br />
=<br />
P<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
P(<br />
B | A )* P(<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
A i<br />
P(<br />
B | A )* P(<br />
A )<br />
i<br />
) , so erhält man die sog. Bayessche Formel:<br />
K k<br />
( Ak<br />
| B)<br />
= n<br />
…Bayessche Formel<br />
P(<br />
B | A )* P(<br />
A )<br />
i<br />
3 Betriebe produzieren Bauteile liefern in ein Lager<br />
Betrieb Stück Ausschuss<br />
1 3500 2,0%<br />
2 2000 2,5%<br />
3 1500 1,5%<br />
Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt ein entnommenes Bauteil aus Betrieb 3 und ist<br />
defekt?<br />
3500<br />
P(<br />
B1<br />
) = = 0,5<br />
7000<br />
2000<br />
P(A|B 1 ) = 0,02<br />
P(<br />
B2<br />
) = = 0,286<br />
P(A|B 2 ) = 0,025<br />
7000<br />
P(A|B 3 ) = 0,015<br />
1500<br />
P(<br />
B3)<br />
= = 0,214<br />
7000<br />
P(<br />
A | B3<br />
)* P(<br />
B3<br />
)<br />
P(<br />
B3<br />
| A)<br />
=<br />
P(<br />
A | B1<br />
)* P(<br />
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) + P(<br />
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)* P(<br />
B2<br />
) + P(<br />
A | B3<br />
)* P(<br />
B3<br />
)<br />
0,015*0,214<br />
0,0315<br />
=<br />
= = 0,154<br />
0,02*0,5 + 0,025*0,286 + 0,015*0,214 0,0204<br />
D.h. mit 15,4% Wahrscheinlichkeit stammt ein defektes Bauteil aus Betrieb 3.<br />
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