Angewandte Mathematik - Albino Troll
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3.2.1.1 Additionssatz für einander ausschließende Ereignisse Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von 2 einander ausschließenden Ereignissen eintritt, beträgt P E ∨ E ) = P( E ) + P( ) ( 1 2 1 E2 Wahrscheinlichkeit 3 oder 5 Augen zu werfen: P ( 3∨ 5) = P( E = 3) + P( E2 1 1 2 = 5) = + = 6 6 6 1 = 1 3 3.2.1.2 Allgemeiner Additionssatz E 1 und E 2 schließen einander nicht aus. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von zwei einander nicht ausschließenden Ereignissen eintritt, beträgt P E ∨ E ) = P( E ) + P( E ) − P( E ∧ ) ( 1 2 1 2 1 E2 Beachte: Bei P(E 1 ) + P(E 2 ) werden die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen für E 1 ^ E 2 doppelt gezählt. Der Additionssatz für einander ausschließende Ereignisse ist Spezialfall des allgemeinen Additionssatzes. Bsp.: Die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel eine gerade Zahl oder 2 zu werfen? E 1 (Werfen einer geraden Zahl) E 2 (Werfen der Zahl 2) Schließen sich gegenseitig nicht aus – sind miteinander vereinbar 1 1 1 P ( E ∨ E2) = P( E1) + P( E2) − P( E1 ∧ E2) = + − 2 6 6 1 = Bsp.: Kartenspiel mit 20 Karten Ges.: Wahrscheinlichkeit eine Herzkarte oder ein Ass zu ziehen? E1 (Herzkarte) E2 (Ass) miteinander verträglich 1 2 1 P( E1) = 4 1 P( E2) = 5 P( E ∧ E 1 P( E ∨ E 1 2 2 ) = 1 20 ) = P( E ) + P( E 1 ) − P( E ∧ E 2 1 2 ) = 1 4 + 1 5 − 1 20 5 + 4 −1 = = 20 8 20 = 2 5 HTL / AM 5AHELI Seite 12 / 36
3.2.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit Experiment mit n gleich möglichen Fällen: das Ereignis E 1 trete n 1 mal auf das Ereignis E 2 trete n 2 mal auf das Ereignis E 3 = E 1 ^ E 2 trete n 3 mal auf n1 P( E1) = n n2 P( E2) = n P( E ∧ E ) = 1 2 n3 n Die Wahrscheinlichkeit, dass E 1 eintritt, wenn E 2 bereits eingetreten ist, beträgt: P( E1 ∧ E2) P( E1 | E2) = |…unter der Bedingung P( E ) 2 E 1 und E 2 seien beliebige Ereignisse mit P(E 2 )≠0. Die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens von E 1 unter der Voraussetzung (Bedingung), dass E 2 schon eingetreten ist, heißt die bedingte Wahrscheinlichkeit von E 1 unter der Bedingung E 2 und wird mit P(E 1 |E 2 ) bezeichnet. Analog gilt: P( E 2 | E ) = 1 P( E1 ∧ E2) P( E ) 1 Schließen sich E 1 und E 2 gegenseitig aus: P( E1 ∧ E2) = 0 → P( E1 | E2) = 0 P( E | E ) = 0 2 1 Bsp.: Würfel mit 2 Spielwürfeln Ereignis A: Augensumme mind. 9 B: Augensumme ungerade Unter der Bedingung B kann A in folgenden Zusammenstellungen auftreten: 3+6 4+5 5+6 6+3 5+4 6+5 6 1 P( A ∧ B) = = 36 6 18 1 P( B) = = 36 2 10 5 P( A) = = 36 8 P( A | B) = P( B | A) = P( A ∧ B) = P( B) P( A ∧ B) = P( A) 1 1 6 = 2 1 5 6 18 = 1 3 18 5*6 = 3 5 HTL / AM 5AHELI Seite 13 / 36
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3.2.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit<br />
Experiment mit n gleich möglichen Fällen:<br />
das Ereignis E 1 trete n 1 mal auf<br />
das Ereignis E 2 trete n 2 mal auf<br />
das Ereignis E 3 = E 1 ^ E 2 trete n 3 mal auf<br />
n1<br />
P(<br />
E1)<br />
=<br />
n<br />
n2<br />
P(<br />
E2)<br />
=<br />
n<br />
P(<br />
E ∧ E ) =<br />
1<br />
2<br />
n3<br />
n<br />
Die Wahrscheinlichkeit, dass E 1 eintritt, wenn E 2 bereits eingetreten ist, beträgt:<br />
P(<br />
E1<br />
∧ E2)<br />
P(<br />
E1<br />
| E2)<br />
= |…unter der Bedingung<br />
P(<br />
E )<br />
2<br />
E 1 und E 2 seien beliebige Ereignisse mit P(E 2 )≠0.<br />
Die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens von E 1 unter der Voraussetzung (Bedingung), dass E 2<br />
schon eingetreten ist, heißt die bedingte Wahrscheinlichkeit von E 1 unter der Bedingung E 2<br />
und wird mit P(E 1 |E 2 ) bezeichnet.<br />
Analog gilt:<br />
P(<br />
E<br />
2<br />
| E ) =<br />
1<br />
P(<br />
E1<br />
∧ E2)<br />
P(<br />
E )<br />
1<br />
Schließen sich E 1 und E 2 gegenseitig aus:<br />
P(<br />
E1<br />
∧ E2)<br />
= 0<br />
→ P(<br />
E1<br />
| E2)<br />
= 0<br />
P(<br />
E | E ) = 0<br />
2<br />
1<br />
Bsp.: Würfel mit 2 Spielwürfeln<br />
Ereignis A: Augensumme mind. 9<br />
B: Augensumme ungerade<br />
Unter der Bedingung B kann A in folgenden<br />
Zusammenstellungen auftreten:<br />
3+6 4+5 5+6<br />
6+3 5+4 6+5<br />
6 1<br />
P(<br />
A ∧ B)<br />
= =<br />
36 6<br />
18 1<br />
P(<br />
B)<br />
= =<br />
36 2<br />
10 5<br />
P(<br />
A)<br />
= =<br />
36 8<br />
P(<br />
A | B)<br />
=<br />
P(<br />
B | A)<br />
=<br />
P(<br />
A ∧ B)<br />
=<br />
P(<br />
B)<br />
P(<br />
A ∧ B)<br />
=<br />
P(<br />
A)<br />
1<br />
1 6 =<br />
2<br />
1<br />
5 6 18<br />
=<br />
1<br />
3<br />
18<br />
5*6<br />
=<br />
3<br />
5<br />
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