Skizzen zur numerischen Akustik - Kolerus.de
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der Bernoullischen Lösungsmethode wird klassisch ein Separationsansatz gewählt, bei dem die Lösung das Produkt einer Zeitfunktion und einer Ortsfunktion ist. Für die Zeitfunktion wird dann Exponentialansatz getroffen. Gleichwertig, aber im gegebenen Zusammenhang transparenter ist eine Fouriertransformation der Dgl, die auf eine reine Ortsgleichung führt, die Helmholtzgleichung. Bei Dgln dieser Art bieten sich unter anderem zwei Lösungsmethoden Für an: Entwicklung nach Lösung mit der Greenschen Funktion nach Eigenfunktionen entsteht aus einem Randwertproblem eine bestimmte Strukturberandung. Analytische Lösungen sind nur für sehr einfache Strukturen möglich, für akustische Probleme von eher eingeschränktem Wert. Die Greensche Funktion ist Integralkern, über den die Lösung der Ortsfunktion im Raum außerhalb einer geschlossenen Oberfläche S aus der Feldgröße auf dieser Oberfläche berechnet wird. 4 Ingenieure für Akustik Kolerus: J. Skizzen zur numerischen Akustik Lösung der Wellengleichung 2 2 2 2 ∂ p ∂ p ∂ p 1 ∂ p + + = ∆p = 2 2 2 2 2 ∂ x ∂ y ∂ z c ∂ t Fouriertransformation (Bernoullische Lösung) +∞ − jωt = ∫ p( t ⋅e dt −∞ pˆ( ω ) ) ⇒ Helmholtzgleichung (räumliche Verteilung) 2 ω ∆pˆ( ω) + 2 c pˆ( ω) = 0 Principal Component Analysis 4
ekannteste Lösung der Helmholtzgleichung, das Helmholtzintegral, verwendet die so genannte freie Greensche Funktion. allgemeine Form enthält sowohl Feldgrößen wie auch Greensche Funktion Stammform Ableitung. Man beachte, dass die Feldgröße pundvvoneinander abhängig sind, der Zusammenhang ist über die strukturabhängige Impedanz gegeben. Die Greensche Funktion ist diesem Ansatz ebenfalls Die von der Struktur. unabhängig Man kann sich andererseits leicht überlegen: Prägt man am Rand der Struktur nur eine Feldgröße ein, so ist das Schallfeld vollständig bestimmt. Man denke etwa ein Schall abstrahlendes Maschinengehäuse: Eingeprägt ist lediglich die Schnelle. Schlussfolgerung: Das Helmholtzintegral ist überbestimmt. Es gibt noch andere Lösungsansätze! 5 Ingenieure für Akustik Kolerus: J. Skizzen zur numerischen Akustik Lösung der Wellengleichung Helmholtzintegral − jωr − j ⎛ c 1 ⎜ e ∂ e pˆ( x, y, z, ω ) = ⋅∫ ⎜ jω v n ( ω) + pˆ( ω) 4π S ⎜ r ∂ n r ⎝ − jωr c e r − e = r jkr ωr c ⎞ ⎟ ⎟dS ⎟ ⎠ (freie) Greensche Funktion Allgemeine Lösung mit Greenscher Funktion G(r,r´) ⎧ ∂G( r , r ′) ⎫ p( r ) = −∫ ⎨ jωρ v ( r ′ n ) G( r , r ′) + p( r ′) ⎬dS( r ′) ⎩ ∂n ⎭ S Principal Component Analysis 5
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<strong>de</strong>r Bernoullischen Lösungsmetho<strong>de</strong> wird klassisch ein Separationsansatz gewählt, bei <strong>de</strong>m die Lösung das Produkt einer Zeitfunktion und einer Ortsfunktion ist. Für die Zeitfunktion wird dann<br />
Exponentialansatz getroffen. Gleichwertig, aber im gegebenen Zusammenhang transparenter ist eine Fouriertransformation <strong>de</strong>r Dgl, die auf eine reine Ortsgleichung führt, die Helmholtzgleichung. Bei<br />
Dgln dieser Art bieten sich unter an<strong>de</strong>rem zwei Lösungsmetho<strong>de</strong>n Für<br />
an: Entwicklung nach Lösung mit <strong>de</strong>r Greenschen Funktion<br />
nach Eigenfunktionen entsteht aus einem Randwertproblem eine bestimmte Strukturberandung. Analytische Lösungen sind nur für sehr einfache Strukturen möglich, für akustische Probleme von eher eingeschränktem Wert. Die Greensche Funktion ist Integralkern, über <strong>de</strong>n die Lösung <strong>de</strong>r Ortsfunktion im Raum außerhalb einer geschlossenen Oberfläche S aus <strong>de</strong>r Feldgröße auf dieser Oberfläche berechnet wird.<br />
4 Ingenieure für <strong>Akustik</strong> <strong>Kolerus</strong>: J.<br />
<strong>Skizzen</strong> <strong>zur</strong> <strong>numerischen</strong> <strong>Akustik</strong><br />
Lösung <strong>de</strong>r Wellengleichung<br />
2 2 2<br />
2<br />
∂ p ∂ p ∂ p 1 ∂ p<br />
+ + = ∆p<br />
=<br />
2 2 2<br />
2 2<br />
∂ x ∂ y ∂ z c ∂ t<br />
Fouriertransformation (Bernoullische Lösung)<br />
+∞<br />
− jωt<br />
= ∫ p(<br />
t ⋅e<br />
dt<br />
−∞<br />
pˆ(<br />
ω ) )<br />
⇒ Helmholtzgleichung (räumliche Verteilung)<br />
2<br />
ω<br />
∆pˆ(<br />
ω)<br />
+<br />
2<br />
c<br />
pˆ(<br />
ω)<br />
= 0<br />
Principal Component Analysis 4
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