Strategien der Schwingungsanalyse - Kolerus.de

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J. Kolerus: Strategien der Schwingungsanalyse 32 Abbildung 5.9: Analytisches Zeitsignal – Hilberttransformation Die Prozedur lässt sich aus der Bildfolge ablesen. Schreibt man für das analytische Zeitsignal so sieht man xˆ ( t) = x( t) + j ⋅ x ~ ( t) • Der Realteil des analytischen Zeitsignals ist gleich dem klassischen reellen Zeitsignal x(t) • Das Spektrum des Imaginärteils x ~ ( t ) entsteht daraus durch Drehung des Realteils um –90° und des Imaginärteils um + 90° Abbildung 5.10: Zur Bildung der Hilberttransformation http://www.kolerus.de
J. Kolerus: Strategien der Schwingungsanalyse 33 Der Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil des Zeitsignals wird Hiberttransformation genannt. Ihre explizite (komplizierte) mathematische Formulierung kann an dieser Stelle unterbleiben. Sie nach dem Schema von Abbildung 5.10 nur mit den Grundrechenarten der Signalanalyse zu ermitteln. Beispiel: Hilberttransformation des Cosinus Aus Abbildung 4.1 und Abbildung 5.10 kann man direkt ablesen • Die Hilberttransformierte von cosωt ist sinωt • Das analytische Zeitsignal ist die Exponentialfunktion x( t) = Acosω t x ~ ( t) = Asin ω t xˆ( t) = Ae jω t Gl. 5.4 Man erinnert sich an Newton (Abschnitt 3.4.1): Die Einführung der Exponentialfunktion als Notierung, ursprünglich argumentiert als eine Art Bequemlichkeit, war bereits die Hilberttransformation. Neu wird lediglich die Interpretation des Imaginärteiles. Der Betrag des analytischen Zeitsignals Gl. 4.4 ist die Amplitude A, die Hüllkurve. Beispiel: Amplitudenmodulation x( t) = A( t)cosω t x ~ ( t) = A( t)sin ω t xˆ( t) = A( t) e jω t Gl. 5.5 Die Relation Gl. 4.5 ist gültig, so lange der Frequenzbereich der zeitabhängigen Amplitude A(t) unterhalb der Trägerfrequenz liegt. Die Hilberttransformation ist ein Mittel zur Demodulation. Die Ausführung erfolgt mit den Grundrechenarten der Signalanalyse. http://www.kolerus.de
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