Strategien der Schwingungsanalyse - Kolerus.de

J. Kolerus: Strategien der Schwingungsanalyse
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In komplexen Systemen tritt an die Stelle der Inversen die adjungierte Matrix A ~
~ ~
AAx = x = Ay
Gl. 1.6
~
AA = E
Der Formalismus wird auf Gl. 1.3 übertragen. Man wählt als Basisfunktionen ein
adjungiertes Funktionenpaar
~ 1
i = k
ψ
i
( t) ψ
k
( t)
= δ
ik
=
Gl. 1.7
0
i ≠ k
T
Multiplikation im Integral vom Gl. 1.3 ergibt
n
~
ψ
k
( t)
x(
t)
−aiψ
i
( t)
dt
= 0
Gl. 1.8
i = 1
T
Aus Gl. 1.7 und Gl. 1.8 erhält man schließlich die gesuchten Koeffizienten
1
ai
= x ~ ψ
i
T
T
( t ) ( t )
dt
Gl. 1.9
Ein geeignetes adjungiertes Funktionensystem für die Frequenzanalyse ist die
Exponentialfunktion
ψ
i
( t)
= e
~ ψ ( t)
= e
ψ
i
( t)
~ ψ
k
( t)
dt = δ
ik
T
i
jω
t
i
jω
t
i
2π
ω
i
= i ⋅ω
1
= i
T
Gl. 1.10
Gl. 1.1 und Gl. 1.9 ergeben mit diesem Ansatz schließlich die Fourriertransformation
(Fourierreihe);
x
a
( t)
i
=
1
=
T
n
i = 1
T
x
a
i
e
( t )
jω
t
e
i
− jω
t
i
dt
Gl. 1.11
Was kann man aus dieser kurzen Ableitung ablesen?
- Die Fouriertransformation ergibt sich als Lösung eines einfachen Approximationsansatzes
- Da alle Basisfunktionen periodisch sind, ist auch die Summe periodisch mit
der Periode 1/T
- Jede periodische Funktion mit der Periode 1/T kann als Summe nach Gl. 1.1
dargestellt werden (Theorem von Fourier)
Es sind dies die üblicherweise sehr abstrakt präsentierten Ansätze zur Fouriertransformation
(ggf. nach dem üblichen Grenzübergang T→∞.
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