Strategien der Schwingungsanalyse - Kolerus.de
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J. <strong>Kolerus</strong>: <strong>Strategien</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> <strong>Schwingungsanalyse</strong><br />
1<br />
<strong>Strategien</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> <strong>Schwingungsanalyse</strong><br />
(Grundlagen)<br />
1. Prolog – Approximation einer Zeitfunktion<br />
Zur Einführung in das Thema soll die Approximation einer Zeitfunktion x(t) durch<br />
einen Satz von Basisfunktionen ψ i (t) betrachtet wer<strong>de</strong>n.<br />
n<br />
<br />
x( t)<br />
= a i<br />
ψ ( t)<br />
Gl. 1.1<br />
i = 1<br />
i<br />
Die Approximation soll in einem Intervall <strong><strong>de</strong>r</strong> Länge T optimiert wer<strong>de</strong>n.<br />
Wählt man ein System von Basisfunktionen, das im Approximationsintervall orthogonal<br />
ist<br />
1<br />
i = k<br />
ψ<br />
i<br />
( t) ψ<br />
k<br />
( t)<br />
= δ<br />
ik<br />
= <br />
Gl. 1.2<br />
0<br />
i ≠ k<br />
<br />
T<br />
so erreicht man, dass die einzelnen Terme <strong><strong>de</strong>r</strong> Entwicklung bestimmte Eigenschaften<br />
exklusiv in sich vereinigen (im konkreten Fall die Eigenschaft Frequenz)<br />
– das führt zum Begriff <strong><strong>de</strong>r</strong> Analyse. Die Einflüsse können getrennt untersucht<br />
und modifiziert wer<strong>de</strong>n, die Rücktransformation <strong><strong>de</strong>r</strong> Reihe mit modifizierten Termen<br />
simuliert ein geän<strong><strong>de</strong>r</strong>tes Zeitsignal.<br />
Zur Lösung, d. h. zur Berechnung <strong><strong>de</strong>r</strong> Koeffizienten, gibt es verschie<strong>de</strong>ne Ansätze,<br />
z. B. setzt man einfach I<strong>de</strong>ntität im Mittel an:<br />
<br />
T<br />
n<br />
<br />
<br />
x(<br />
t)<br />
−ai<br />
ψ<br />
i<br />
( t)<br />
dt<br />
= 0<br />
Gl. 1.3<br />
i = 1 <br />
Zur Lösung von Gl. 1.3 ein kurzer Seitenblick auf die lineare Algebra:<br />
Die Lösung eines linearen Gleichungssystem, in Matrixform geschrieben<br />
Ax = y<br />
Gl. 1.4<br />
erhält man für ein reelles System durch Multiplikation mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Inversen A -1<br />
A<br />
A<br />
−1<br />
−1<br />
Ax = x = A<br />
A = E<br />
−1<br />
y<br />
Gl. 1.5<br />
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2<br />
In komplexen Systemen tritt an die Stelle <strong><strong>de</strong>r</strong> Inversen die adjungierte Matrix A ~<br />
~ ~<br />
AAx = x = Ay<br />
Gl. 1.6<br />
~<br />
AA = E<br />
Der Formalismus wird auf Gl. 1.3 übertragen. Man wählt als Basisfunktionen ein<br />
adjungiertes Funktionenpaar<br />
~ 1<br />
i = k<br />
ψ<br />
i<br />
( t) ψ<br />
k<br />
( t)<br />
= δ<br />
ik<br />
= <br />
Gl. 1.7<br />
0<br />
i ≠ k<br />
<br />
T<br />
Multiplikation im Integral vom Gl. 1.3 ergibt<br />
n<br />
~ <br />
<br />
ψ<br />
k<br />
( t)<br />
x(<br />
t)<br />
−aiψ<br />
i<br />
( t)<br />
dt<br />
= 0<br />
Gl. 1.8<br />
i = 1 <br />
<br />
T<br />
Aus Gl. 1.7 und Gl. 1.8 erhält man schließlich die gesuchten Koeffizienten<br />
1<br />
ai<br />
= x ~ ψ<br />
i<br />
T<br />
T<br />
( t ) ( t )<br />
dt<br />
Gl. 1.9<br />
Ein geeignetes adjungiertes Funktionensystem für die Frequenzanalyse ist die<br />
Exponentialfunktion<br />
ψ<br />
i<br />
( t)<br />
= e<br />
~ ψ ( t)<br />
= e<br />
<br />
<br />
<br />
ψ<br />
i<br />
( t)<br />
~ ψ<br />
k<br />
( t)<br />
dt = δ<br />
ik<br />
T<br />
i<br />
jω<br />
t<br />
i<br />
jω<br />
t<br />
i<br />
2π<br />
ω<br />
i<br />
= i ⋅ω<br />
1<br />
= i<br />
T<br />
Gl. 1.10<br />
Gl. 1.1 und Gl. 1.9 ergeben mit diesem Ansatz schließlich die Fourriertransformation<br />
(Fourierreihe);<br />
x<br />
a<br />
( t)<br />
i<br />
=<br />
1<br />
=<br />
T<br />
n<br />
<br />
i = 1<br />
<br />
T<br />
x<br />
a<br />
i<br />
e<br />
( t )<br />
jω<br />
t<br />
e<br />
i<br />
− jω<br />
t<br />
i<br />
dt<br />
Gl. 1.11<br />
Was kann man aus dieser kurzen Ableitung ablesen?<br />
- Die Fouriertransformation ergibt sich als Lösung eines einfachen Approximationsansatzes<br />
- Da alle Basisfunktionen periodisch sind, ist auch die Summe periodisch mit<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Perio<strong>de</strong> 1/T<br />
- Je<strong>de</strong> periodische Funktion mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Perio<strong>de</strong> 1/T kann als Summe nach Gl. 1.1<br />
dargestellt wer<strong>de</strong>n (Theorem von Fourier)<br />
Es sind dies die üblicherweise sehr abstrakt präsentierten Ansätze zur Fouriertransformation<br />
(ggf. nach <strong>de</strong>m üblichen Grenzübergang T→∞.<br />
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3<br />
Ausblick<br />
- Ansätze mit an<strong><strong>de</strong>r</strong>en Eigenschaften, z. B. die Wavelettransformation, können<br />
durch Einsetzen geeigneter Basisfunktionen auf gleichem Wege abgeleitet<br />
und interpretiert wer<strong>de</strong>n<br />
- Die Rolle <strong><strong>de</strong>r</strong> Orthogonalität wird sichtbar:<br />
o Konsistenz - bei Erweiterung bleiben die ursprünglichen Koeffizienten<br />
erhalten<br />
o Exklusivität – die Eigenschaften sind vollständig von einem einzigen<br />
Reihenglied beschrieben<br />
- Algorithmen und Eigenschaften für nicht orthogonale Basisfunktionen können<br />
abgeleitet wer<strong>de</strong>n.<br />
2. Grundlagen <strong><strong>de</strong>r</strong> Fourieranalyse<br />
2.1 Zeitbereich und Frequenzbereich – die Fourierreihe<br />
Ein periodisches Signal mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Periodizität T kann dargestellt wer<strong>de</strong>n als Summe<br />
von harmonischen Komponenten<br />
x(<br />
t)<br />
= x(<br />
t + T )<br />
x(<br />
t)<br />
= a n f<br />
n<br />
cos( 2 π t + Θn<br />
)<br />
Gl. 2.1<br />
1<br />
f =<br />
T<br />
n<br />
Abbildung 2.1: Komponentenzerlegung eines periodischen Signals<br />
Der Prozess kann dargestellt wer<strong>de</strong>n im Zeitbereich als Zeitsignal o<strong><strong>de</strong>r</strong> im Frequenzbereich<br />
als Spektrum. Zur Schwingungsdiagnose im stationären Fall ist in<br />
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4<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Regel nur das Amplitu<strong>de</strong>nspektrum von Interesse, die Phase bleibt außer Betracht.<br />
Zur messtechnischen Durchführung verwen<strong>de</strong>t man einen Fourieranalysator. Er<br />
liefert wahlweise bei<strong>de</strong> Darstellungsarten, Abbildung 2.2.<br />
Abbildung 2.2: Darstellung in Zeitbereich und Frequenzbereich<br />
Man weiß aus Erfahrung: Ereignisse, die im Inneren einer Maschine mit konstanter<br />
Frequenz ablaufen, sind auch von außen akustisch mit gleicher Frequenz<br />
vernehmbar. Da Schall über Gehäuseschwingungen abgestrahlt wird, sind die<br />
Frequenzkomponenten auch im Schwingungsspektrum zu fin<strong>de</strong>n. Kennt man Kinematik<br />
und Betriebsdaten, können die Schwingungskomponenten zugeordnet<br />
wer<strong>de</strong>n, Abbildung 2.3. Im Zeitsignal sind solche Zuordnungen im Allgemeinen<br />
nicht möglich.<br />
Abbildung 2.3: I<strong>de</strong>ntifikation von Schwingungskomponenten<br />
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5<br />
Es kann jedoch nicht Aufgabe sein, Komponenten lediglich zu i<strong>de</strong>ntifizieren. Welche<br />
Aufgaben hat man zu erfüllen? Hier zwei Beispiele als Repräsentanten.<br />
2.2 Aufgaben <strong><strong>de</strong>r</strong> Frequenzanalyse<br />
2.2.1 Aufgabe A – Schallmin<strong><strong>de</strong>r</strong>ung<br />
.<br />
Abbildung 2.4: Schallmin<strong><strong>de</strong>r</strong>ung<br />
Das Spektrum einer als zu laut beurteilten Maschine wird – zur Berücksichtigung <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Charakteristik <strong>de</strong>s menschlichen Gehörs – mit einer A-Bewertung gewichtet. Im A-<br />
Bewerteten Spektrum kann die schädliche Komponente i<strong>de</strong>ntifiziert wer<strong>de</strong>n. Aus einem<br />
Standard über zulässige Grenzwerte entnimmt man die erfor<strong><strong>de</strong>r</strong>liche Reduktion.<br />
Die Aufgabe ist von <strong><strong>de</strong>r</strong> messtechnischen Seite vollständig gelöst.<br />
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6<br />
2.2.2 Aufgabe B – Lagerdiagnose<br />
Abbildung 2.5: Diagnose eines Wälzlagers<br />
Im Spektrum sind die Laufgeräusche eines Wälzlagers zu i<strong>de</strong>ntifizieren. Die Qualität<br />
<strong>de</strong>s Lagers kann jedoch aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Beurteilung eines Einzelspektrums nicht beurteilt<br />
wer<strong>de</strong>n.<br />
2.2.3 Warum kann A lösen und B nicht?<br />
Zunächst zu B:<br />
Gemessen wer<strong>de</strong>n Schwingungen außen an <strong><strong>de</strong>r</strong> Maschine. Interessant als Beurteilungsgrundlage<br />
sind jedoch nicht die Schwingungen außen, son<strong><strong>de</strong>r</strong>n die inneren<br />
Kräfte. Diese entziehen sich jedoch einer Messung.<br />
Zwischen Kraft und Schwingung liegt die unbekannte Übertragungsfunktion, die<br />
überdies stark frequenzabhängig ist.<br />
Und nun zu A<br />
A hat prinzipiell das gleiche Problem. Jedoch – die Übertragungsfunktion zwischen<br />
Ursache und Wirkung ist bekannt, ebenso <strong><strong>de</strong>r</strong> zulässige Grenzwert. Daher<br />
kann A lösen.<br />
Bleibt B erfolglos?<br />
Nein.<br />
B muss eine an<strong><strong>de</strong>r</strong>e Strategie entwickeln. Zum Beispiel:<br />
Trendbeobachtung<br />
Die Lagerkomponenten wer<strong>de</strong>n über einen längeren Zeitraum beobachtet.<br />
Schwingungen wer<strong>de</strong>n immer infolge von Imperfektionen erzeugt, sind also bis<br />
zu einem gewissen Ausmaß normal. Solange sich die Schwingung stabil verhält,<br />
ist das Lager in Ordnung. Erst ein Ansteigen <strong><strong>de</strong>r</strong> Komponenten weist auf eine<br />
Verschlechterung hin.<br />
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7<br />
Beurteilung <strong>de</strong>s Laufgeräusches<br />
Erfahrene Beobachter können das Lager auf Grund seines Geräusches beurteilen.<br />
Man kann versuchen, diese subjektive Empfindung signalanalytisch nachzuempfin<strong>de</strong>n.<br />
Es wer<strong>de</strong>n dazu verschie<strong>de</strong>ne Analyseverfahren angeboten. Für diese<br />
sei hier ein Begriff geprägt:<br />
Strategische Analysen<br />
Man kennt vielleicht einschlägige Begriffe wie<br />
• Cepstrumanalyse<br />
• Hüllkurvenanalyse<br />
• Hilberttransformation<br />
Die Erläuterung solcher Verfahren läuft sehr schnell in aufwändige mathematische<br />
Ableitungen. Man kann sie verstehen, wenn man entsprechen<strong>de</strong>s Hintergrundwissen<br />
hat o<strong><strong>de</strong>r</strong> aufbaut.<br />
Offen bleibt jedoch sehr oft <strong><strong>de</strong>r</strong> Aspekt über die allgemeine Anwendbarkeit. Man<br />
hat eine Lösung und sucht das passen<strong>de</strong> Problem.<br />
In diesem Beitrag soll <strong><strong>de</strong>r</strong> mathematische Teil im Hintergrund bleiben und durch<br />
grundlegen<strong>de</strong> naturwissenschaftliche Betrachtungen ersetzt wer<strong>de</strong>n. Auf diesem<br />
Weg sind Aspekte wesentlich zielführen<strong><strong>de</strong>r</strong> zu erarbeiten.<br />
3. Strategie<br />
Was ist Strategie?<br />
Man verschafft sich Vorteile.<br />
Man bil<strong>de</strong>t ein unlösbares Problem ab auf ein einfacheres o<strong><strong>de</strong>r</strong> leichter zu interpretierbares<br />
Problem.<br />
3.1 Physiologische <strong>Strategien</strong><br />
Auf die akustische Beurteilung durch <strong>de</strong>n erfahrenen Beobachter wur<strong>de</strong> bereits<br />
hingewiesen.<br />
Die menschlichen Sinne haben umfangreiche <strong>Strategien</strong> zur Erkennung und Beurteilung<br />
geliefert:<br />
• Erkennen von Tönen<br />
• ... von Farben<br />
• ... von Klängen<br />
Die ersten haben mit Frequenzen zu tun.<br />
3.2 <strong>Strategien</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Physik<br />
Der Physiker (nicht nur er) beobachtet die Natur und versucht sie zu beschreiben.<br />
Die grundsätzlichen <strong>Strategien</strong> sind<br />
• Experimentelle Physik<br />
• Theoretische Physik<br />
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8<br />
3.3 Mathematische <strong>Strategien</strong><br />
Die Mathematik dient <strong><strong>de</strong>r</strong> Beschreibung und Quantifizierung <strong><strong>de</strong>r</strong> Beobachtung.<br />
Vor<strong><strong>de</strong>r</strong>gründig erwartet man vom Mathematiker eine explizite Lösung <strong><strong>de</strong>r</strong> Form<br />
x = <br />
Meist kann er sie nicht liefern.<br />
Hat <strong><strong>de</strong>r</strong> Mathematiker versagt?<br />
Nein! Voraussetzung wäre, dass das Problem auch explizit darstellbar ist! Meist<br />
ist dies nicht <strong><strong>de</strong>r</strong> Fall.<br />
Die Mathematik ist in diesem Zusammenhang als strategisches Instrument zu betrachten.<br />
Es wer<strong>de</strong>n, angepasst an z. B. Physik o<strong><strong>de</strong>r</strong> Physiologie, <strong>Strategien</strong><br />
entwickelt (s. o.). Die grundlegen<strong>de</strong>n seien hier betrachtet.<br />
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9<br />
3.3.1 Zählen<br />
Abbildung 3.1: Zählen<br />
Das Zählen bedarf keiner näheren Erläuterung. Es ist einfach – aber so einfach<br />
doch wie<strong><strong>de</strong>r</strong> nicht! Man <strong>de</strong>nke an die lange Entwicklung bis zur Erfindung <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Null, <strong><strong>de</strong>r</strong> Basis für systematisches Zählen.<br />
3.3.2 Sortieren (Trennen)<br />
Abbildung 3.2: Sortieren nach Merkmalen<br />
Eine einfache Aufgabe: Wir sortieren Obst in die Kategorien<br />
• Äpfel<br />
• Birnen<br />
• Trauben<br />
• ...<br />
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10<br />
Abbildung 3.3: Trennung von Sprecher und Sprache<br />
O<strong><strong>de</strong>r</strong>: Wir hören ein gesprochenes Wort. Bei entsprechen<strong><strong>de</strong>r</strong> Hintergrundkenntnis<br />
können wir trennen nach<br />
• Erkennung <strong>de</strong>s Inhaltes<br />
• I<strong>de</strong>ntifizierung <strong>de</strong>s Sprechers<br />
3.3.3 Logarithmieren<br />
Zur Quantifizierung arbeiten unsere Sinne überwiegend auf logarithmischer<br />
Basis.<br />
Mathematisch wird durch Logarithmieren die Multiplikation in die einfachere Addition<br />
transformiert<br />
a * b log a + log b<br />
Gl. 3.1<br />
3.3.4 Integraltransformation<br />
Integraltransformationen transformieren ein analytisches Problem in ein algebraisches<br />
(Differentialrechnung – Algebra).<br />
Am Beispiel Fouriertransformation<br />
<br />
jωt<br />
X ( f ) = x(<br />
t)<br />
⋅e<br />
dt<br />
Gl. 3.2<br />
Eine Vereinfachung???<br />
Back to the Roots!<br />
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11<br />
3.4 Newton und Fourier<br />
Keine Angst!<br />
3.4.1 Isaac Newton<br />
Newton gelang mit Hilfe <strong>de</strong>s Differentialkalküls erstmals die geschlossene Beschreibung<br />
von Bewegungen mit bewegungsabhängigen Kräften. Am Beispiel<br />
<strong>de</strong>s einfachen linearen Schwingers:<br />
m x + kx = F(t)<br />
Gl. 3.3<br />
Wegen <strong><strong>de</strong>r</strong> Linearität kann die Kraft F(t) im stationären Fall in eine Fourierreihe<br />
zerlegt wer<strong>de</strong>n. Die Einzellösungen für die Fourierterme können superponiert<br />
wer<strong>de</strong>n.<br />
mx<br />
+ kx = F cosωt<br />
Zur Vereinfachung <strong>de</strong>s Rechenganges ersetzt man die Winkelfunktion durch die<br />
komplexe Exponentialfunktion. Als schlussendliche Lösung wird nur <strong><strong>de</strong>r</strong> Realteil<br />
herangezogen. Hier die Formulierung <strong>de</strong>s Lösungsweges<br />
mx<br />
+ kx = F ⋅e<br />
x = X ⋅e<br />
jωt<br />
jω<br />
t<br />
2<br />
( − mω<br />
+ k) ⋅ X = F<br />
X<br />
F<br />
2<br />
k − mω<br />
= Gl. 3.4<br />
3.4.2 Jean Baptiste Fourier<br />
Eine Allegorie – was sagt Fourier zu Newton?<br />
Die I<strong>de</strong>e ist zwar genial 1 , aber ich kann aus dieser Beschreibung keine Vorstellung<br />
über <strong>de</strong>n Prozess ableiten – sie entspricht nicht meiner Sinnesempfindung.<br />
Eigentlich trifft das schon in <strong>de</strong>n meisten Fällen für die Beschreibung über ein<br />
´Zeitsignal´ x(t) zu. Ich bin Naturwissenschafter. Ich möchte meine Beobachtung<br />
beschreiben, das ist mein Ziel.<br />
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1 Albert Einstein sagt später einmal: „Wahrscheinlich <strong><strong>de</strong>r</strong> genialste Geistesblitz, <strong>de</strong>n ein<br />
Mensch je hatte.“
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12<br />
3.4.2.1 Beschreibung menschlicher Perzeption<br />
Was sind die elementarsten Grundlagen menschlicher Wahrnehmung. Es die Erkennung<br />
von<br />
• Tönen<br />
• Farben<br />
• Akkor<strong>de</strong>n<br />
• Figuren<br />
Man sieht – zumin<strong>de</strong>st drei davon haben mit Frequenzen zu tun.<br />
3.4.2.1.1 Erkennen von Tönen<br />
Wie kann das Erkennen von Tönen mathematisch beschrieben wer<strong>de</strong>n?<br />
Man (das neuronale System) prüft, inwieweit ein bestimmter Ton im Signal enthalten<br />
ist.<br />
Die Ähnlichkeit zwischen zwei Signalen x(t) und y(t) wird durch das Kovarianzintegral<br />
beschrieben, Abbildung 3.4.<br />
Cov( x,<br />
y)<br />
= x(<br />
t)<br />
⋅ y(<br />
t)<br />
dt<br />
Gl. 3.5<br />
In Worten: Man multipliziert zeitgleiche Funktionswerte und bil<strong>de</strong>t die Summe.<br />
Abbildung 3.4: Statistisch unabhängige Prozesse<br />
Im Fall statistischer Unabhängigkeit wechselt <strong><strong>de</strong>r</strong> Wert <strong>de</strong>s Produktes zwischen<br />
positiv – negativ – groß – klein. Die Summe geht gegen Null.<br />
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13<br />
Der Fall statistischer Abhängigkeit ist in Abbildung 3.5 am Beispiel i<strong>de</strong>ntischer<br />
Funktionen <strong>de</strong>monstriert: Das Produkt ist immer positiv, die Summe wird groß.<br />
Abbildung 3.5: Kovarianz i<strong>de</strong>ntischer Funktionen<br />
Zur Analyse wird ein zu analysieren<strong>de</strong>s Signal x(t) mit einer Testfunktion y(t) verglichen.<br />
Für Zwecke <strong><strong>de</strong>r</strong> Tonerkennung wählt man<br />
y( t)<br />
= cosωt<br />
Das Kovarianzintegral nimmt die Form an<br />
Cov( x,<br />
ω)<br />
= x(<br />
t)<br />
cosωtdt<br />
In Abbildung 3.6 bis Abbildung 3.8 sind die Grenzfälle hinsichtlich <strong><strong>de</strong>r</strong> Phasenlage<br />
zu sehen. Demnach verfehlt man die Erkennung bei einer Phasenverschiebung<br />
von 90° - das Kovarianzintegral geht gegen Null.<br />
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14<br />
Abbildung 3.6: Tonerkennung – Phasengleichheit<br />
Abbildung 3.7: Tonerkennung – Gegenphasigkeit<br />
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15<br />
Abbildung 3.8: Tonerkennung – Phasenlage 90°<br />
Das Phasenproblem löst man durch die komplexe Exponentialfunktion als Testfunktion<br />
e<br />
j ω t<br />
= cos ωt<br />
+ j sin ωt<br />
Gl. 3.6<br />
Das Kovarianzintgral wird zum Fourierintegral<br />
<br />
jωt<br />
X ( ω)<br />
= x(<br />
t)<br />
e dt<br />
Gl. 3.7<br />
Das Ergebnis, die Spektralfunktion X(ω) wird zwar komplex, das Phasenproblem<br />
ist jedoch beseitigt, Abbildung 3.9.<br />
Handlicher ist oftmals die symbolische Schreibweise<br />
<br />
jωt<br />
{ x(<br />
t)}<br />
= X(<br />
ω)<br />
= x(<br />
t)<br />
e dt<br />
Gl. 3.8<br />
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16<br />
Abbildung 3.9: Zum Fourierintegral<br />
3.4.2.2 Fouriertransformation eines Prozesses<br />
Die Zeitfunktion x(t) beschreibt einen Prozess im Zeitbereich. Gleiches leistet eine<br />
Differentialgleichung. Ist <strong><strong>de</strong>r</strong> Prozess linear, kann die Fouriertransformation<br />
Gl. 2.7 auch auf <strong>de</strong>n gesamten Prozess angewen<strong>de</strong>t wer<strong>de</strong>n, <strong>de</strong>monstriert am linearen<br />
Schwinger Gl. 2.3<br />
m x<br />
+ kx = F(t)<br />
Die Fouriertransformation einer abgeleiteten Funktion kann leicht abgeleitet wer<strong>de</strong>n<br />
2 {<br />
x(<br />
t)}<br />
= X ( ω)<br />
{<br />
x<br />
( t)}<br />
= jω<br />
X ( ω)<br />
2<br />
{<br />
x<br />
( t)}<br />
= ( jω<br />
) X ( ω)<br />
Man erhält<br />
{<br />
mx<br />
+ kx}<br />
= {<br />
F(<br />
t)}<br />
2<br />
( − mω<br />
+ k)<br />
F(<br />
ω)<br />
X(<br />
ω)<br />
=<br />
2<br />
k − mω<br />
⋅ X ( ω)<br />
= F(<br />
ω)<br />
2 Auf <strong>de</strong>n Beweis <strong><strong>de</strong>r</strong> Vertauschbarkeit von Differentiation und Integration für uneigentliche<br />
Integrale soll hier verzichtet wer<strong>de</strong>n.<br />
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17<br />
Der Vergleich mit Gl. 2.4 zeigt unmittelbar:<br />
• Der Exponentialansatz für die lineare Differentialgleichung ist<br />
eine Fouriertransformation <strong>de</strong>s Prozesses<br />
• Die Fouriertransformation ist die Beschreibung einfachster<br />
menschlicher Perzeption<br />
3.5 Die Grundrechenarten <strong><strong>de</strong>r</strong> Signalanalyse<br />
Auf Basis <strong><strong>de</strong>r</strong> in <strong>de</strong>n letzten Abschnitten vorgestellten <strong>Strategien</strong> sind praktisch<br />
alle <strong>Schwingungsanalyse</strong>n für stationäre Signale aufgebaut. Man wird ihnen im<br />
Folgen<strong>de</strong>n immer wie<strong><strong>de</strong>r</strong> begegnen. Sie seien daher hier noch einmal zusammengefasst.<br />
Die drei Grundrechenarten <strong><strong>de</strong>r</strong> Signalanalyse<br />
• Sortieren<br />
• Logarithmieren<br />
• Fouriertransformation<br />
4. Die Fouriertransformation<br />
4.1 Definition<br />
Mathematisch akribische Formulierungen sind nicht Gegenstand dieses Beitrages.<br />
Wenn hier einige Formulierungen notiert sind, so dienen sie mehr allgemeinen<br />
Betrachtungen.<br />
Die Fouriertransfomation – Vorwärts und Rückwärtstransformation – in allgemeiner<br />
Schreibweise:<br />
X ( f ) =<br />
{ x(<br />
t)<br />
}<br />
x(<br />
t)<br />
= - 1<br />
=<br />
+∞<br />
<br />
−∞<br />
x(<br />
t)<br />
e<br />
+∞<br />
{ X(<br />
f )} = <br />
−∞<br />
− j2πft<br />
X ( f ) e<br />
dt<br />
+ j2πft<br />
df<br />
Gl. 4.1<br />
Es fällt zunächst auf: Als unabhängige Variable im Frequenzbereich wur<strong>de</strong> die<br />
Frequenz f an Stelle <strong><strong>de</strong>r</strong> überwiegend verwen<strong>de</strong>ten Kreisfrequenz ω eingeführt<br />
mit folgen<strong>de</strong>n Vorteilen:<br />
• Die Frequenz liegt <strong><strong>de</strong>r</strong> ingenieurmäßigen Betrachtung näher<br />
• Der konstante Faktor vor <strong>de</strong>m Integral verschwin<strong>de</strong>t<br />
• Die Symmetrie <strong><strong>de</strong>r</strong> Fouriertransformation wird sichtbar.<br />
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18<br />
4.2 Eigenschaften<br />
Umkehrbarkeit<br />
Die Fouriertransformation ist ein<strong>de</strong>utig umkehrbar. Daraus folgt:<br />
Der Informationsgehalt ist in Zeit- und Frequenzbereich gleich.<br />
Linearität<br />
Die Fouriertransformation ist eine lineare Funktion, d. h.<br />
Symmetrie<br />
+<br />
{ x ( t)<br />
+ a x ( t)<br />
} = a {<br />
x ( t)}<br />
a { x ( t)}<br />
a1 1 2 2 1 1<br />
2<br />
2<br />
Bis auf das Vorzeichen im Transformationskern sind Vorwärts- und Rückwärtstransformation<br />
symmetrisch. Da dieses Vorzeichen qualitativ und quantitativ ohne<br />
Be<strong>de</strong>utung ist, gilt<br />
Je<strong>de</strong> Eigenschaft <strong><strong>de</strong>r</strong> Transformation gilt gleichermaßen für Vorwärts- und Rückwärtstransformation.<br />
Komplexe Spektren<br />
Setzt man die Eulersche Beziehung Gl. 2.6 in die Transformation Gl. 2.7 ein, so<br />
sieht man unmittelbar die in Tabelle 4.1 zusammengefassten Eigenschaften von<br />
Spektren reeller Zeitsignale<br />
Zeitsignal<br />
Spektrum<br />
beliebig hermitisch 3<br />
reell<br />
gera<strong>de</strong><br />
ungera<strong>de</strong><br />
Reell, gera<strong>de</strong><br />
Imaginär, ungera<strong>de</strong><br />
Tabelle 4.1: Spektrale Eigenschaften reeller Zeitsignale<br />
Die Spektren <strong><strong>de</strong>r</strong> wichtigsten Elementarfunktionen sind in Abbildung 4.1 zu<br />
sehen.<br />
3 Die hermitische Eigenschaft heißt gera<strong><strong>de</strong>r</strong> Realteil und ungera<strong><strong>de</strong>r</strong> Imaginärteil<br />
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19<br />
Zeitbereich<br />
Frequenzbereich<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
f<br />
f<br />
Abbildung 4.1: Spektren harmonischer Zeitsignale<br />
4.3 Fast Fourier Transformation (FFT)<br />
Zur praktischen Durchführung wir aus <strong>de</strong>m Zeitsignal ein Abschnitt <strong><strong>de</strong>r</strong> Länge T<br />
ausgeschnitten und nach bei<strong>de</strong>n Seiten periodisch fortgesetzt. Die Fourierreihe<br />
dieses periodischen Ersatzsignals wird als Repräsentant <strong>de</strong>s Spektrums gebil<strong>de</strong>t.<br />
Daraus ergeben sich Einschränkungen bzw. Grenzen.<br />
Abbildung 4.2: Ersatzsignal zur Berechnung <strong>de</strong>s Spektrums<br />
Unschärfe<br />
Das so berechnete Spektrum ist ein Linienspektrum, Abbildung 4.3, mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Frequenzauflösung<br />
1/T. Dieser Zusammenhang zwischen Blocklänge T und Bandbreite<br />
B ist Ausdruck <strong><strong>de</strong>r</strong> Unschärferelation <strong><strong>de</strong>r</strong> Frequenzanalyse<br />
B = 1<br />
Gl. 4.2<br />
T<br />
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20<br />
Abbildung 4.3: Linienspektrum<br />
Leakage<br />
Die periodische Fortsetzung erzeugt Sprungstellen an <strong><strong>de</strong>r</strong> Nahtstelle, die zu Nebenlinien<br />
im Spektrum führen, Abbildung 4.4. Man nennt diesen Effekt Leakage,<br />
da sozusagen die Signalenergie zerfließt. Durch Hanningbewertung – Multiplikation<br />
<strong>de</strong>s Zeitsignals mit einem cos²-Fenster – wer<strong>de</strong>n die Nahtstellen beseitigt.<br />
Abbildung 4.4: Leakage durch Nahtstellen – Hanningbewertung<br />
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21<br />
Diskrete Fouriertransformation<br />
Abbildung 4.5 zeigt <strong>de</strong>n Weg vom Fourierintegral zur Diskreten Fouriertransformation<br />
(DFT). Ausgehend vom kontinuierlichen und unendlichen Fourerintegral,<br />
obere Reihe 4 , wird durch Fensterung wie beschrieben, ein diskretes Spektrum<br />
gebil<strong>de</strong>t, Reihe 2.<br />
Zur Berechnung wer<strong>de</strong>n aus <strong>de</strong>m kontinuierlichen Spektrum äquidistante Stützstellen<br />
<strong>de</strong>s Zeitsignals herangezogen. Aus Symmetriebetrachtungen ergibt sich:<br />
Die Diskretisierung <strong>de</strong>s Zeitsignals führt zu einem periodischen Spektrum, Reihe<br />
3.<br />
In Reihe 4, <strong><strong>de</strong>r</strong> letzten Reihe von Abbildung 4.5, sieht man schließlich das En<strong><strong>de</strong>r</strong>gebnis,<br />
das diskrete Spektrum <strong>de</strong>s gefensterten, diskretisierten Zeitsignals.<br />
Man erhält ein periodisches Linienspektrum. Aus Symmetriegrün<strong>de</strong>n enthält –<br />
wegen <strong><strong>de</strong>r</strong> Symmetrie <strong>de</strong>s Amplitu<strong>de</strong>nspektrums – <strong><strong>de</strong>r</strong> im Bild indizierte Teil <strong>de</strong>s<br />
Spektrums die gesamte Information. Er wird im Analysator angezeigt.<br />
Aliasing<br />
Wegen <strong><strong>de</strong>r</strong> Periodizität <strong>de</strong>s Spektrums wer<strong>de</strong>n Frequenzkomponenten im periodischen<br />
Spektrum gespiegelt, sie treten mehrfach auf. Aus diesem Grund muss<br />
Sorge getragen wer<strong>de</strong>n, dass im analysierten Signal keine hochfrequenten Komponenten<br />
oberhalb <strong><strong>de</strong>r</strong> halben Abtastfrequenz enthalten sind (Antialiasingfilter).<br />
Solche Komponenten wür<strong>de</strong>n die Ein<strong>de</strong>utigkeit stören.<br />
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4 Im Bild wur<strong>de</strong> wegen <strong><strong>de</strong>r</strong> besseren Darstellbarkeit ein gera<strong>de</strong>s Zeitsignal mit reellem<br />
Spektrum als Beispiel herangezogen
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22<br />
Zeitbereich<br />
Frequenzbereich<br />
x(t)<br />
X(f)<br />
kontinuierlich<br />
t<br />
kontinuierlich<br />
f<br />
x(t)<br />
X(f)<br />
∆f = 1_ T<br />
periodisch<br />
T<br />
x(t)<br />
∆t<br />
t<br />
diskret<br />
(Linienspektrum)<br />
X(f)<br />
Aliasing<br />
f<br />
diskret<br />
(gesampelt)<br />
t<br />
periodisch<br />
x(t)<br />
∆t<br />
X(f)<br />
∆f = 1_ T<br />
diskret (periodisch)<br />
t<br />
Linienspektrum (periodisch)<br />
f<br />
T<br />
F = __ 1<br />
∆t<br />
Abbildung 4.5: Die diskrete Fouriertransformation (DFT)<br />
.<br />
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23<br />
5. Strategische Analysen<br />
Die Frequenzanalyse bil<strong>de</strong>t zunächst eine Basis für die Fehlerdiagnose. Aufbauend<br />
auf diesem Konzept sind <strong>Strategien</strong> zur weiteren Interpretation einzusetzen.<br />
Genannt wur<strong>de</strong> schon die Trendbeobachtung. In diesem Abschnitt wer<strong>de</strong>n aufbauen<strong>de</strong><br />
Analysen vorgestellt.<br />
Der erfahrene Beobachter hört mechanische Fehler oft am Klang einer Maschine.<br />
Was heißt Klang? Das Laufgeräusch klingt einfach verän<strong><strong>de</strong>r</strong>t. Unregelmäßigkeiten<br />
wie Eiern o<strong><strong>de</strong>r</strong> Klicken. Effekte dieser Art zeigen sich als regelmäßige<br />
Strukturen im Spektrum. Verstärktes Auftreten von Harmonischen bei Klangverän<strong><strong>de</strong>r</strong>ung.<br />
Modulationen im an<strong><strong>de</strong>r</strong>en Fall. Ziel <strong><strong>de</strong>r</strong> strategischen Analysen soll<br />
das Aufspüren solcher Strukturen sein. Dabei wird die Interpretation nach Gesichtspunkten<br />
menschlicher Wahrnehmung wie<strong><strong>de</strong>r</strong> im Vor<strong><strong>de</strong>r</strong>grund stehen.<br />
5.1 Cepstrumanalyse<br />
Der Begriff Cepstrum ist gebil<strong>de</strong>t aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Umdrehung <strong>de</strong>s Wortes Spektrum, assoziiert<br />
vom dahinterliegen<strong>de</strong>n Algorithmus. Man führt letztendlich eine Fourier-<br />
Rückwärtstransformation vom Frequenzbereich in <strong>de</strong>n Zeitbereich aus. Zur verbalen<br />
Unterscheidung vom ursprünglichen Zeitbereich hat man eine entsprechen<strong>de</strong><br />
Nomenklatur eingeführt. So wird z. B. die unabhängige Variable mit <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Dimension Zeit hier Quefrenz genannt.<br />
5.1.1 Harmonische – das Leistungscepstrum<br />
Abbildung 5.1: Spektrum einer Motor/Lüfter Kombination (linearer Amplitu<strong>de</strong>nmaßstab)<br />
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24<br />
Abbildung 5.2: Harmonische in Spektrum und Cepstrum<br />
Abbildung 5.1 zeigt ein Spektrum gemessen an einer Motor/Lüfter Kombination.<br />
Zu sehen ist im wesentlichen eine einzige Drehzahlkomponente.<br />
In Abbildung 5.2 – zunächst wird nur das große Teilbild betrachtet – ist im logarithmischem<br />
Amplitu<strong>de</strong>nmaßstab eine Familie von Harmonischen (mit Cursoren<br />
indiziert) ist <strong>de</strong>utlich zu erkennen.<br />
Ein Zeitsignal mit solchen regelmäßigen Strukturen im Zeitbereich – also Periodizitäten<br />
– wür<strong>de</strong> im Spektrum Linien bei <strong>de</strong>n entsprechen<strong>de</strong>n Frequenzen zeigen.<br />
Entsprechen<strong>de</strong>s ist in Anwendung <strong>de</strong>s Symmetrieprinzips nach <strong><strong>de</strong>r</strong> Fourier-<br />
Rücktransformation im Cepstrum zu erwarten (kleines Teilbild). Die im Cepstrum<br />
entsprechend <strong>de</strong>n Harmonischen indizierte Linie ist <strong><strong>de</strong>r</strong> erste Repräsentant <strong>de</strong>s<br />
´Klanges´.<br />
Als Gedankenexperiment wird das gleiche Spektrum betrachtet, aus <strong>de</strong>m die<br />
Grundfrequenz – hier künstlich – entfernt wur<strong>de</strong>, Abbildung 5.3.<br />
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25<br />
Abbildung 5.3: ... fehlen<strong>de</strong> Grundfrequenz<br />
Obwohl die Grundfrequenz fehlt, ist die Harmonischenfamilie im Cepstrum nach<br />
wie vor scharf indiziert. Aus <strong>de</strong>m Spektrum allein wäre das Auffin<strong>de</strong>n jetzt schon<br />
problematisch.<br />
Die erste Eigenschaft <strong>de</strong>s Cepstrums ist als die Möglichkeit, die fehlen<strong>de</strong> Grundfrequenz<br />
aus <strong>de</strong>m Spektrum zu rekonstruieren. Dies Fähigkeit hat auch das<br />
menschliche Gehör: So kann man z. B. auch am klassischen analogen Telefon<br />
unterschei<strong>de</strong>n, ob man mit einem Mann o<strong><strong>de</strong>r</strong> einer Frau spricht – was vom Frequenzgang<br />
her eigentlich nicht möglich sein sollte.<br />
Da das hier eingeführte Cepstrum aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Fourier-Rücktransformation <strong>de</strong>s Leistungsspektrums<br />
(ohne Phaseninformation) abgeleitet wird, bezeichnet man es<br />
als Leistungscepstrum. Abbildung 5.4 zeigt noch einmal schematisch die Definition.<br />
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26<br />
Zeitbereich<br />
Frequenzbereich<br />
C ( τ )<br />
P<br />
log(F (f))<br />
xx<br />
∆f<br />
1__ __ 2<br />
∆f ∆f<br />
Leistungscepstrum<br />
τ<br />
f<br />
0<br />
Leistungsspektrum<br />
mit regelmäßiger Struktur<br />
f<br />
Abbildung 5.4: Das Leistungscepstrum – Definition<br />
Abbildung 5.5: Spektren und Cepstren an 2 Messpunkten<br />
Einen interessanten Aspekt zeigt Abbildung 5.5: An einer Maschine wur<strong>de</strong>n<br />
Spektren und Cepstren simultan an zwei Messpunkten erfasst – sie repräsentieren<br />
also <strong>de</strong>n selben Betriebszustand.<br />
Man sieht: Die Spektren weisen zwar eine gewisse Verwandtschaft, aber doch<br />
<strong>de</strong>utliche Unterschie<strong>de</strong> auf. Die Linien in <strong>de</strong>n Cepstren – typisch für Zahnradgetriebe<br />
– sind für bei<strong>de</strong> Messpunkte praktisch i<strong>de</strong>ntisch. Die Verwandtschaft<br />
kommt im Cepstrum weit besser zum Ausdruck.<br />
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27<br />
5.1.2 Entfaltung – das komplexe Cepstrum<br />
Für <strong>de</strong>n allgemeinen Fall <strong>de</strong>s komplexen Cepstrums sind die Verhältnisse im<br />
Flussdiagramm Abbildung 5.6 veranschaulicht.<br />
Abbildung 5.6: Berechnung <strong>de</strong>s Cepstrums<br />
Im ursprünglichen Zeitbereich sind Kraft und Schnelle, mathematisch gesehen,<br />
über die sogenannte Faltung verknüpft, Abbildung 5.7. Denkt man sich das Eingangssignal<br />
(Kraft) als Folge von Einzelimpulsen zu <strong>de</strong>n Zeitpunkten t 1 , t 2 , t 3 ... so<br />
kann man die Reaktion (Schwingung) als Folge von entsprechend zeitverschobenen<br />
Impulsantworten konstruieren. Demnach ist die Schwingung zu je<strong>de</strong>m<br />
Zeitpunkt beeinflusst durch (theoretisch) alle vergangenen Einzelimpulse.<br />
Faltungssatz<br />
Aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Faltung im Zeitbereich wird durch die Fouriertransformation eine Multiplikation<br />
im Frequenzbereich.<br />
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28<br />
Abbildung 5.7: Die Faltung von Kraft und Impulsantwort<br />
t<br />
<br />
−∞<br />
y( t)<br />
= x(<br />
t)<br />
∗h(<br />
t)<br />
= x(<br />
τ ) ⋅ h(<br />
t −τ<br />
) dτ<br />
Gl. 5.1<br />
<br />
<br />
Y( f ) = y( t) e − j 2π<br />
ft −<br />
dt e j 2π<br />
= ft x( τ ) ⋅ h( t − τ ) dτ<br />
dt<br />
<br />
− j 2πfτ<br />
− j 2πfu<br />
Y( f ) = e x( τ ) dτ<br />
e h( u)<br />
du<br />
<br />
<br />
{ x( t) ∗ h( t) } = { x( t) }. { h( t)<br />
}<br />
{ x( t) ⋅ h( t) } = { x( t) } ∗<br />
{ h( t)<br />
}<br />
Gl. 5.2<br />
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29<br />
Daraus resultiert auch eine mathematische Erklärung <strong><strong>de</strong>r</strong> besseren Trennbarkeit<br />
im Frequenzbereich.<br />
Man rufe sich jetzt das Strategische Konzept in Erinnerung, die Grundrechenarten<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Signalanalyse (Abschnitt 3.5)!<br />
• Die Fouriertransformation wur<strong>de</strong> schon durchgeführt.<br />
• Durch Logarithmieren wird die Multiplikation zur Addition<br />
• Die Addition bleibt bei <strong><strong>de</strong>r</strong> Fourier-Rückwärtstransformation wegen<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Linearität erhalten. Das Cepstrum C y <strong>de</strong>s Ausganges wird getrennt<br />
in die Cepstren C x von Kraft und C h von Impulsantwort.<br />
Das Schema beschreibt exakt die Möglichkeit <strong><strong>de</strong>r</strong> Trennung von Sprecher und<br />
Sprache, Abbildung 3.3.<br />
Auf dieser Basis lässt sich auch die Ähnlichkeit <strong><strong>de</strong>r</strong> Cepstren in Abbildung 5.5 interpretieren:<br />
Die Linien sind <strong><strong>de</strong>r</strong> kraftbasierte Anteil, die Kraft ist für bei<strong>de</strong> Messpunkte<br />
die gleiche. Die Übertragungsfunktionen – repräsentiert durch die<br />
Cepstren im Bereich niedriger Quefrenzen – sind durchaus unterschiedlich.<br />
Können wir auf diesem Weg die Erregerkraft messen?<br />
Der Gedanke ist reizvoll, wäre die Kraft doch unsere eigentliche Zielgröße. Die<br />
Messung scheitert jedoch an <strong><strong>de</strong>r</strong> Kalibrierbarkeit. Wie<strong><strong>de</strong>r</strong> die perzeptive Entsprechung:<br />
Aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Lautstärke kann nicht unterschie<strong>de</strong>n wer<strong>de</strong>n zwischen einem<br />
lauten Geräusch hinter einer dicken Wand o<strong><strong>de</strong>r</strong> einem leisen<br />
hinter einer dünnen.<br />
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30<br />
5.2 Hüllkurvenanalyse<br />
Bei vielen Geräuschen steckt die Information in einer Hüllkurve. Läuft ein Getriebe<br />
gleichmäßig, empfin<strong>de</strong>t man das (laute) Geräusch normal. Ein Eiern o<strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Knacken wird als unnormal interpretiert – man sagt, es eiert, knackt. Man hat<br />
damit das Knacken vom Gesamtgeräusch getrennt – man hat <strong>de</strong>moduliert. Wie<strong><strong>de</strong>r</strong><br />
die Aufgabe <strong><strong>de</strong>r</strong> Trennung ...<br />
5.2.1 Modulation<br />
Abbildung 5.8: Amplitu<strong>de</strong>nmodulation<br />
Abbildung 5.8 zeigt als einfachsten Repräsentanten eine amplitu<strong>de</strong>nmodulierte<br />
Sinusfunktion, also Sinus (Träger) mit zeitverän<strong><strong>de</strong>r</strong>licher Amplitu<strong>de</strong> (Modulation).<br />
Im Zeitbereich mathematisch zu beschreiben durch eine Multiplikation:<br />
A <br />
m<br />
x( t) = 1<br />
+ cosωmt ⋅ AT cosωT<br />
t =<br />
A <br />
T<br />
= A cosω t + A cosω t ⋅ cosω<br />
t =<br />
T T m m T<br />
Am<br />
Am<br />
= AT<br />
cosωTt<br />
+ cos ( ωT<br />
+ ωm<br />
) t + cos ( ωT<br />
− ωm)<br />
t<br />
2 2<br />
Gl. 5.3<br />
Die kurze mathematische Beschreibung Gl. 4.3 liefert zusammen mit <strong>de</strong>m Bild alle<br />
grundlegen<strong>de</strong>n Informationen:<br />
• Im Zeitbereich sind Träger und Modulation durch Multiplikation verknüpft<br />
• Im Frequenzbereich wird das Spektrum <strong><strong>de</strong>r</strong> Modulation mit seinem<br />
Ursprung and die Stelle <strong><strong>de</strong>r</strong> Trägerfrequenz verschoben<br />
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31<br />
• Die Multiplikation im Zeitbereich wird zur Faltung im Frequenzbereiches<br />
(Symmetrie – Faltungssatz, Abschnitt 5.1.2)<br />
Im allgemeinen Fall wird die Modulation eine periodische Funktion mit mehren<br />
Harmonischen sein, entsprechend wird im Spektrum um die Trägerfrequenz f T<br />
eine Familie von Linien im Abstand von Vielfachen <strong><strong>de</strong>r</strong> Modulationsfrequenz –<br />
eine Seitenbandfamilie auftreten.<br />
Zwei Aufgaben sind – gespiegelt am Muster <strong>de</strong>s schadhaften Zahnradgetriebes –<br />
zu sehen,<br />
• Auffin<strong>de</strong>n <strong><strong>de</strong>r</strong> Seitenbandfamilie<br />
• Extraktion <strong><strong>de</strong>r</strong> Modulation = Demodulation<br />
5.2.2 Detektion von Seitenbän<strong><strong>de</strong>r</strong>n<br />
Die Detektion von Seitenbän<strong><strong>de</strong>r</strong>n erfolgt mit <strong><strong>de</strong>r</strong> Cepstrumanalyse wie schon beschrieben.<br />
5.2.3 Der Ansatz von Hilbert<br />
Hilberts Gedanke hat eigentlich einen ganz an<strong><strong>de</strong>r</strong>en Ansatzpunkt: Ein lineares<br />
System ist charakterisiert durch seine Impulsantwort im Zeitbereich. Die Fouriertransformation<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Impulsantwort ist die komplexe Übertragungsfunktion im<br />
Frequenzbereich.<br />
Im Unterschied zum Signal ist die Impulsantwort auf Grund <strong>de</strong>s Kausalitätsprinzips<br />
immer einseitig. Hilbert hat die Konsequenzen für die Übertragungsfunktion<br />
untersucht und formuliert: Realteil und Imaginärteil hängen über die Hilberttransformation<br />
zusammen.<br />
5.2.4 Demodulation - Hiberttransformation<br />
Symmetriebetrachtung <strong>de</strong>s Hilbertschen Ansatzes:<br />
• Die Fouriertransformation liefert positive und negative Frequenzen<br />
• Das Spektrum reeller Zeitsignale ist hermitisch<br />
• Wir hören nur Frequenzen<br />
• Perzeptiv sind negative Frequenzen nicht zu interpretieren<br />
• Wie sieht ein Zeitsignal mit einseitigem Spektrum aus?<br />
Zunächst: Das gesuchte Zeitsignal ist komplex. Man nennt es das Analytische<br />
Zeitsignal.<br />
Ableitung und Zusammenhänge kann man an Hand von Abbildung 5.9 nachvollziehen.<br />
Im linken Teilbild ist – gezeigt an einer Einzelkomponente – das zweiseitige komplexe<br />
Spektrum mit <strong><strong>de</strong>r</strong> hermitischen Eigenschaft zu sehen. Das rechte Spektrum<br />
zeigt das Spektrum entsprechend <strong>de</strong>m Höreindruck: Die gesamte Energie auf einer<br />
Komponente, <strong><strong>de</strong>r</strong> mit positiver Frequenz. Dazwischen <strong><strong>de</strong>r</strong> spektrale Anteil <strong><strong>de</strong>r</strong><br />
zum gewünschten Ergebnis führt.<br />
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32<br />
Abbildung 5.9: Analytisches Zeitsignal – Hilberttransformation<br />
Die Prozedur lässt sich aus <strong><strong>de</strong>r</strong> Bildfolge ablesen.<br />
Schreibt man für das analytische Zeitsignal<br />
so sieht man<br />
xˆ<br />
( t)<br />
= x(<br />
t)<br />
+ j ⋅ x<br />
~<br />
( t)<br />
• Der Realteil <strong>de</strong>s analytischen Zeitsignals ist gleich <strong>de</strong>m klassischen<br />
reellen Zeitsignal x(t)<br />
• Das Spektrum <strong>de</strong>s Imaginärteils x<br />
~<br />
( t ) entsteht daraus durch Drehung<br />
<strong>de</strong>s Realteils um –90° und <strong>de</strong>s Imaginärteils um + 90°<br />
Abbildung 5.10: Zur Bildung <strong><strong>de</strong>r</strong> Hilberttransformation<br />
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33<br />
Der Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil <strong>de</strong>s Zeitsignals wird<br />
Hiberttransformation genannt. Ihre explizite (komplizierte) mathematische Formulierung<br />
kann an dieser Stelle unterbleiben. Sie nach <strong>de</strong>m Schema von<br />
Abbildung 5.10 nur mit <strong>de</strong>n Grundrechenarten <strong><strong>de</strong>r</strong> Signalanalyse zu ermitteln.<br />
Beispiel: Hilberttransformation <strong>de</strong>s Cosinus<br />
Aus Abbildung 4.1 und Abbildung 5.10 kann man direkt ablesen<br />
• Die Hilberttransformierte von cosωt ist sinωt<br />
• Das analytische Zeitsignal ist die Exponentialfunktion<br />
x(<br />
t)<br />
= Acosω<br />
t<br />
x<br />
~<br />
( t)<br />
= Asin<br />
ω t<br />
xˆ(<br />
t)<br />
= Ae<br />
jω<br />
t<br />
Gl. 5.4<br />
Man erinnert sich an Newton (Abschnitt 3.4.1): Die Einführung <strong><strong>de</strong>r</strong> Exponentialfunktion<br />
als Notierung, ursprünglich argumentiert als eine Art Bequemlichkeit,<br />
war bereits die Hilberttransformation. Neu wird lediglich die Interpretation <strong>de</strong>s<br />
Imaginärteiles.<br />
Der Betrag <strong>de</strong>s analytischen Zeitsignals Gl. 4.4 ist die Amplitu<strong>de</strong> A, die Hüllkurve.<br />
Beispiel: Amplitu<strong>de</strong>nmodulation<br />
x(<br />
t)<br />
= A(<br />
t)cosω<br />
t<br />
x<br />
~<br />
( t)<br />
= A(<br />
t)sin<br />
ω t<br />
xˆ(<br />
t)<br />
= A(<br />
t)<br />
e<br />
jω<br />
t<br />
Gl. 5.5<br />
Die Relation Gl. 4.5 ist gültig, so lange <strong><strong>de</strong>r</strong> Frequenzbereich <strong><strong>de</strong>r</strong> zeitabhängigen<br />
Amplitu<strong>de</strong> A(t) unterhalb <strong><strong>de</strong>r</strong> Trägerfrequenz liegt.<br />
Die Hilberttransformation ist ein Mittel zur Demodulation. Die Ausführung erfolgt<br />
mit <strong>de</strong>n Grundrechenarten <strong><strong>de</strong>r</strong> Signalanalyse.<br />
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34<br />
6. Zusammenfassung<br />
Sortieren<br />
Cepstrum<br />
Demodulation<br />
Kraft Impedanz Schwingung Schwingung<br />
Signal Struktur Signal Signal<br />
Sprache Sprecher Äpfel Birnen<br />
Tabelle 6.1: Eigenschaften strategischer Analysen<br />
7. Schrifttum<br />
Papoulis, A.: Signal Analysis.McGraw-Hill 1977<br />
Bendat, J.S.: The Hilbert Transform and Applications to Correlation Measurements.<br />
Bruel&Kjaer Application Note BT 0008-11<br />
Randall, R. B.: Frequency Analysis. Bruel&Kjaer 1987<br />
<strong>Kolerus</strong>, J.: Zustandsüberwachung von Maschinen. 3. Auflage,<br />
Expert Verlag 2000<br />
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