1 Ãberblick über die Sensorik
1 Ãberblick über die Sensorik
1 Ãberblick über die Sensorik
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
Seite 7<br />
12 2.1 Bändermodell 2.1 Bändermodell 13<br />
ma und <strong>die</strong> Anordnung der Bänder betrachtet. Die speziellen Verhältnisse führen zur<br />
Einteilung der Werkstoffe in Metalle, Halbleiter und Isolatoren.<br />
Für <strong>die</strong> <strong>Sensorik</strong> haben alle drei Werkstoffklassen eine Bedeutung, bei den Isolatoren<br />
insbesondere <strong>die</strong> keramischen Werkstoffe.<br />
Die Berechnung der elektrischen Eigenschaften ist besonders einfach im Fall der Halbleiter,<br />
weil hier der klassische Grenzfall (Band 2, Abschnitt 1.2.3), bei dem <strong>die</strong> Fermi-<br />
Dirac-Funktion in <strong>die</strong> mathematisch erheblich einfacher zu behandelnde Boltzmannfunktion<br />
f B<br />
übergeht, in der Praxis häufig realisiert ist. Innerhalb <strong>die</strong>ser Näherung können praktisch<br />
alle relevanten Effekte ohne großen mathematischen Aufwand berechnet werden. Eine<br />
allgemeinere Behandlung mit Anwendung der ungenäherten Fermi-Dirac-Statistik<br />
führt in vielen Fällen zu vergleichsweise geringen numerischen Abweichungen, selten<br />
aber zu qualitativ neuen Effekten. Deshalb werden – im Sinne einer qualitativen Behandlung<br />
– in <strong>die</strong>sem Band <strong>die</strong> Halbleiter häufig als Modellsubstanz verwendet, auch<br />
wenn <strong>die</strong> eigentliche Sensorrealisierung bevorzugt mit anderen Werkstoffen (z.B. Metallen)<br />
erfolgt. Eine quantitative Berechnung der elektrischen Eigenschaften von Metallen<br />
kann außerordentlich aufwendig werden, wobei in vielen Fällen <strong>die</strong> quantentheoretisch<br />
bestimmte dreidimensionale Bandstruktur (Band 2, Abschnitt 2.1.2) berücksichtigt<br />
werden muß.<br />
Bei Metallen und Halbleitern wird <strong>die</strong> Dichte der Elektronen im Leitungsband bestimmt<br />
durch<br />
In Halbleitern sind neben den Elektronen im Leitungsband auch fehlende Elektronen im<br />
Valenzband (mit Energien dicht unterhalb der Valenzbandkante), <strong>die</strong> Defektelektronen<br />
oder Löcher (Band 2, Abschnitt 2.2.3), von großer Bedeutung. Die Löcherdichte<br />
ergibt sich unter den Randbedingungen der Boltzmannstatistik zu<br />
Die für <strong>die</strong> Ladungsträger in Halbleitern relevanten Größen sind in dem Bändermodell<br />
in Bild 2.1-4 zusammengestellt. Da <strong>die</strong> Elektronen- und Löcherkonzentrationen (6) und<br />
(7) in verschiedenen Bändern auftreten, können sie auch unabhängig voneinander variieren<br />
und zunächst jeweils für sich ein thermisches Gleichgewicht bilden (Band 2, Abschnitt<br />
2.2). Dieses führt zur Entstehung zweier unabhängiger Quasifermienergien<br />
W F<br />
nL<br />
für Elektronen und W F<br />
nV<br />
für Löcher (gemessen in der Energieskala für Elektronen),<br />
<strong>die</strong> in (6) und (7) eingesetzt werden müssen.<br />
Dabei bezeichnet N(W n ) <strong>die</strong> Funktion der Zustandsdichte (Band 2, Abschnitt 1.1.3).<br />
Unter den Voraussetzungen des klassischen Grenzfalls (Boltzmannstatistik) läßt sich<br />
das Integral (5) geschlossen lösen, man erhält dann <strong>die</strong> besonders einfache Form<br />
Bild 2.1-4:<br />
Bändermodell von Halbleitern: Zur Leitfähigkeit in Halbleitern tragen zwei Ladungsträgersorten<br />
bei: <strong>die</strong> Elektronen und Löcher. Beide verhalten sich in vielen Fällen<br />
wie <strong>die</strong> Teilchen idealer Gase aus nicht wechselwirkenden Teilchen mit den potentiellen<br />
Energien W L (Elektronen) und W V (Löcher). Sie haben eine mittlere kinetische<br />
Energie von 3kT/2. Aus den Teilchendichten können <strong>die</strong> Fermienergien<br />
beider Gase nach (6) und (7) unmittelbar bestimmt werden. Im Bändermodell (mit der<br />
Elektronenenergie als Abszisse) lassen sie sich eintragen als W F<br />
nL<br />
(Elektronen im<br />
Leitungsband) und W F<br />
nV<br />
(Elektronen im Valenzband).<br />
mit der effektiven Zustandsdichte N L . Diese Formel findet in vielen praktisch bedeutsamen<br />
Fällen eine Anwendung.<br />
Aus einem Bändermodell wie in Bild 2.1-4 kann als weitere für alle thermische Effekte<br />
relevante Größe <strong>die</strong> Entropie pro Elektron S n direkt abgelesen werden. Lösen wir<br />
nämlich <strong>die</strong> Gleichungen (6) und (7) nach den Quasifermienergien auf: