1 Überblick über die Sensorik

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ma und die Anordnung der Bänder betrachtet. Die speziellen Verhältnisse führen zur
Einteilung der Werkstoffe in Metalle, Halbleiter und Isolatoren.
Für die Sensorik haben alle drei Werkstoffklassen eine Bedeutung, bei den Isolatoren
insbesondere die keramischen Werkstoffe.
Die Berechnung der elektrischen Eigenschaften ist besonders einfach im Fall der Halbleiter,
weil hier der klassische Grenzfall (Band 2, Abschnitt 1.2.3), bei dem die Fermi-
Dirac-Funktion in die mathematisch erheblich einfacher zu behandelnde Boltzmannfunktion
f B
übergeht, in der Praxis häufig realisiert ist. Innerhalb dieser Näherung können praktisch
alle relevanten Effekte ohne großen mathematischen Aufwand berechnet werden. Eine
allgemeinere Behandlung mit Anwendung der ungenäherten Fermi-Dirac-Statistik
führt in vielen Fällen zu vergleichsweise geringen numerischen Abweichungen, selten
aber zu qualitativ neuen Effekten. Deshalb werden – im Sinne einer qualitativen Behandlung
– in diesem Band die Halbleiter häufig als Modellsubstanz verwendet, auch
wenn die eigentliche Sensorrealisierung bevorzugt mit anderen Werkstoffen (z.B. Metallen)
erfolgt. Eine quantitative Berechnung der elektrischen Eigenschaften von Metallen
kann außerordentlich aufwendig werden, wobei in vielen Fällen die quantentheoretisch
bestimmte dreidimensionale Bandstruktur (Band 2, Abschnitt 2.1.2) berücksichtigt
werden muß.
Bei Metallen und Halbleitern wird die Dichte der Elektronen im Leitungsband bestimmt
durch
In Halbleitern sind neben den Elektronen im Leitungsband auch fehlende Elektronen im
Valenzband (mit Energien dicht unterhalb der Valenzbandkante), die Defektelektronen
oder Löcher (Band 2, Abschnitt 2.2.3), von großer Bedeutung. Die Löcherdichte
ergibt sich unter den Randbedingungen der Boltzmannstatistik zu
Die für die Ladungsträger in Halbleitern relevanten Größen sind in dem Bändermodell
in Bild 2.1-4 zusammengestellt. Da die Elektronen- und Löcherkonzentrationen (6) und
(7) in verschiedenen Bändern auftreten, können sie auch unabhängig voneinander variieren
und zunächst jeweils für sich ein thermisches Gleichgewicht bilden (Band 2, Abschnitt
2.2). Dieses führt zur Entstehung zweier unabhängiger Quasifermienergien
W F
nL
für Elektronen und W F
nV
für Löcher (gemessen in der Energieskala für Elektronen),
die in (6) und (7) eingesetzt werden müssen.
Dabei bezeichnet N(W n ) die Funktion der Zustandsdichte (Band 2, Abschnitt 1.1.3).
Unter den Voraussetzungen des klassischen Grenzfalls (Boltzmannstatistik) läßt sich
das Integral (5) geschlossen lösen, man erhält dann die besonders einfache Form
Bild 2.1-4:
Bändermodell von Halbleitern: Zur Leitfähigkeit in Halbleitern tragen zwei Ladungsträgersorten
bei: die Elektronen und Löcher. Beide verhalten sich in vielen Fällen
wie die Teilchen idealer Gase aus nicht wechselwirkenden Teilchen mit den potentiellen
Energien W L (Elektronen) und W V (Löcher). Sie haben eine mittlere kinetische
Energie von 3kT/2. Aus den Teilchendichten können die Fermienergien
beider Gase nach (6) und (7) unmittelbar bestimmt werden. Im Bändermodell (mit der
Elektronenenergie als Abszisse) lassen sie sich eintragen als W F
nL
(Elektronen im
Leitungsband) und W F
nV
(Elektronen im Valenzband).
mit der effektiven Zustandsdichte N L . Diese Formel findet in vielen praktisch bedeutsamen
Fällen eine Anwendung.
Aus einem Bändermodell wie in Bild 2.1-4 kann als weitere für alle thermische Effekte
relevante Größe die Entropie pro Elektron S n direkt abgelesen werden. Lösen wir
nämlich die Gleichungen (6) und (7) nach den Quasifermienergien auf: