1 Überblick über die Sensorik

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meterbereich. Bei Frequenzen im Mikrowellenbereich und im Bereich atomarer Dimensionen,
sowie bei Anwendung von Werkstoffen mit extremen Materialeigenschaften
muß diese Randbedingung aber sorgfältig beachtet werden.
Die explizite Berechnung der Fermienergie im thermischen Gleichgewicht führt bei
Elektronen und Löchern zu einer charakteristischen Besetzungsstatistik: Die Wahrscheinlichkeit
dafür, ob und wie stark z.B. ein Elektronenzustand mit der Energie W n
(pro Elektron) besetzt ist, wird angegeben durch die Fermi-Dirac-Funktion (k ist
die Boltzmannkonstante, s. Anhang B):
Bild 2.1-2 (Band 2, Bild 1.2.2-2) stellt den Verlauf dieser Funktion dar.
Für die chemische Bindung, sowie den Ladungstransport, sind vor allem diejenigen
Elektronen von Bedeutung, welche sich in den Bändern mit den höchsten Energien
befinden. Die Ursache dafür liegt in der Tatsache, daß Elektronen bei einer energetischen
Anregung (Übergang von einem Zustand niedriger Energie in einen solchen mit
höherer Energie) nur in quantentheoretisch erlaubte, zumindest teilweise noch nicht besetzte
Elektronenzustände übergehen können. Solche Elektronen befinden sich vor allem
in der unmittelbaren Umgebung der Fermienergie, d.h. nach Bild 2.1-2b innerhalb
einer Energiebreite von ungefähr kT. Elektronen mit niedrigeren Energieeigenwerten
W n >
W F hingegen gibt es zu wenige Elektronen, die überhaupt angeregt werden können.
In dem Bändermodell nach Bild 2.1-1 gibt es oberhalb der besetzten Bänder noch
weitere unbesetzte Energiebänder: Diese könnten zwar im Prinzip nach den Gesetzen
der Quantentheorie mit Elektronen besetzt werden, im Festkörper sind jedoch für deren
Besetzung nicht ausreichend Elektronen vorhanden. Von besonderem Interesse sind
nach der vorangegangenen Betrachtung daher gerade diejenigen Bänder (oder das
Band), die sich in der Umgebung der Fermienergie befinden, alle anderen spielen nur in
Spezialfällen eine Rolle.
Bild 2.1-2:
a) Energieabhängigkeit der Fermi-Dirac-Funktion für verschiedene Temperaturen:
Bei 0 K hat die Funktion den Verlauf einer Stufe, bei höheren Temperaturen
flacht der Kurvenverlauf zunehmend ab. Bei sehr niedrigen Energien W n geht
die Besetzungswahrscheinlichkeit asymptotisch gegen Eins, bei hohen gegen
Null.
b) Ein Richtwert für die energetische "Breite" des Übergangsgebietes in der Besetzungswahrscheinlichkeit
f FD zwischen Eins und Null ist die thermische
Energie kT.
Bild 2.1-3:
Lage der Fermienergie W F im Bändermodell: W V und W L bezeichnen die Energien
der Valenz- und Leitungsbandkanten, sie begrenzen jeweils das Valenz- und
Leitungsband
a) Metalle: die Fermienergie liegt innerhalb eines Bandes
b) Halbleiter (Beispiel Silizium): die Fermienergie liegt bei T = 0 K auf dem oberen
Rand des Valenzbandes, bei T > 0 K liegt sie in der Energielücke zwischen Valenz-
und Leitungsband
c) Isolator (Beispiel Quarz, SiO 2 ): Verhältnisse wie in b), der Bandabstand W g
nimmt jedoch besonders große Werte an.
d) Sonderfall eines Halbmetalls: Die Fermienergie liegt wie in b) oder c), Valenz-
und Leitungsband haben aber solche Energiewerte, daß sie sich überlappen.
Elektrisch verhält sich dieser Werkstoff daher ähnlich wie ein Metall in a).
In Bild 2.1-3 werden einige typische Fälle für die Lage der Fermienergie im Bandsche-