1 Ãberblick über die Sensorik
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Seite 240<br />
478 Anhang C2: Verallgemeinerter Halleffekt<br />
Anhang C2: Verallgemeinerter Halleffekt 479<br />
wobei ((1)) den Einheitstensor beschreibt.<br />
Die Tatsache, daß es bei einer anisotropen Leitfähigkeit in (11) außerhalb der Tensordiagonalen<br />
Komponenten ungleich Null gibt, hat eine wichtige praktische Konsequenz:<br />
Der Stromdichtevektor enthält auch Komponenten senkrecht zur Feldrichtung,<br />
d.h. es fließt auch eine Stromkomponente senkrecht zum elektrischen Feld! Legt man<br />
das elektrische Feld z.B. in <strong>die</strong> Richtung 1, dann hat E <strong>die</strong> Komponenten E a1 ,0,0.<br />
Die Komponente j n<br />
2<br />
des Stromdichtevektors in Richtung 2 hat im isotropen Fall (12)<br />
den Wert Null, im anisotropen Fall (11) aber den Wert |q|ρ n µ 21 n E a1 ≠0. Auf <strong>die</strong>se<br />
Weise lassen sich sukzessiv <strong>die</strong> Komponenten des Beweglichkeitstensors experimentell<br />
bestimmen: µ n ik ergibt sich durch eine Strommessung in Richtung i bei Anlegen eines<br />
elektrischen Feldes in Richtung k. Die gemessenen Werte hängen ab von der Wahl<br />
der Richtungen 1, 2 und 3 relativ zu den kristallographischen Achsen des Werkstoffs, sie<br />
lassen sich aber für jede Wahl des Koordinatensystems umrechnen nach den Gesetzen<br />
der Tensortransformation.<br />
Eine Konsequenz des Auftretens nichtdiagonaler Komponenten im Leitfähigkeits- oder<br />
Beweglichkeitstensor bei anisotroper Leitung ist eine Verdrehung der Vektoren des<br />
elektrischen Feldes E a und des Stromdichtevektors j n gegeneinander (s. Bild C2-2a).<br />
In <strong>die</strong>sem Fall wirkt nämlich der Tensor wie eine Drehmatrix (Bewegung): Hat beispielsweise<br />
das äußere Feld <strong>die</strong> Richtung der x-Achse, dann führen <strong>die</strong> nichtverschwindenden<br />
Komponenten des Stromdichtevektors in y- und z-Richtung dazu, daß der<br />
Stromdichtevektor einen Hallwinkel θ H (bei Abwesenheit von Magnetfeldern auch<br />
als Pseudo- oder unechter Hallwinkel bezeichnet) relativ zur x-Achse bildet. Bild<br />
C2-2a zeigt <strong>die</strong> Verhältnisse in der xy-Ebene. Der Hallwinkel θ H xy hat dann <strong>die</strong><br />
Größe:<br />
Anisotrope Leitfähigkeiten können werkstoffbedingt permanent vorhanden sein aufgrund<br />
einer Kristallanisotropie, andererseits können sie aber auch in Werkstoffen<br />
aber mit isotroper Leitfähigkeit (bzw. spezifischem Widerstand ρ sp ) induziert werden<br />
durch anisotrope mechanische Spannungen (s. Abschnitt 4.1.3) und den Einfluß anderer<br />
physikalischer Größen. Auch <strong>die</strong> Wirkung von Magnetfeldern in elektrischen Leitern,<br />
bei denen <strong>die</strong> Reibungskraft (welche <strong>die</strong> Streuung der Ladungsträger beim Stromtransport<br />
beschreibt) berücksichtigt werden muß, führt zu einer Verdrehung des Stromdichtevektors<br />
und des Vektors der elektrischen Feldstärke gegeneinander (Abschnitt<br />
5.1.1; ausführlich in Band 11, Abschnitt 1.2.3), wodurch der Hall-Effekt entsteht. Alle<br />
<strong>die</strong>se Effekte führen zu einem elektrisch sehr ähnlichen Verhalten, nämlich der Entstehung<br />
einer Transversalspannung (Hall– oder Pseudo-Hallspannung) bei endlich<br />
ausgedehnten Widerständen.<br />
Bild C2-2a gibt <strong>die</strong> geometrischen Verhältnisse bei gegeneinander verdrehten Stromdichte-<br />
und Feldvektoren für den Fall eines unendlich ausgedehnten Widerstandes wieder:<br />
Dann gilt <strong>die</strong> Gleichung (13) ohne <strong>die</strong> Einschränkung durch äußere Randbedingungen,<br />
wie sie bei endlich ausgedehnten Widerständen auftreten: Bei einem endlich<br />
ausgedehnten stabförmigen Widerstand wie in Bild C2-1b muß nämlich zusätzlich <strong>die</strong><br />
Randbedingung (7a) erfüllt sein, daß <strong>die</strong> Stromdichten in y- und z-Richtungen Null<br />
werden. Dieses ist nur möglich, wenn z.B. in y-Richtung ein zu der transversalen Teilchenstromdichtekomponente<br />
j T ny entgegengesetzt gerichteter gleich großer Teilchenstrom<br />
jTH ny fließt, so daß gilt:<br />
Die Differenz der Fermienergien zwischen dem oberen und unteren Rand des Widerstandes<br />
führt (bei dem zugrundegelegten isothermen Fall) zu einer von außen meßbaren<br />
elektrischen (Pseudo-)Hallspannung, also einer EMK (s. Anhang C1), <strong>die</strong> sich auch<br />
charakterisieren läßt durch ein von außen meßbares elektrisches (Pseudo-) Hallfeld<br />
E ay =:E a<br />
H<br />
(Bild C2-2c).<br />
Anschaulich läßt sich der durch Bild C2-2 beschriebene Halleffekt auf <strong>die</strong> folgende<br />
Weise deuten: Der in Richtung der positiven x-Achse verlaufende Elektronen-Teilchenstrom<br />
wird in Richtung der positiven y-Achse abgelenkt, so daß sich der obere<br />
Rand des stabförmigen Widerstands in Bild C2-2b negativ auflädt, weil dort <strong>die</strong> Elektronen<br />
nicht abfließen können. Gleichzeitig entsteht eine positive Flächenladung am<br />
unteren Rand des Widerstandes, weil dort Elektronen abgezogen werden. Durch <strong>die</strong>se<br />
Ladungsanreicherung, bzw. –entleerung entstehen zwei Effekte:<br />
– aufgrund der entstandenen Ladungsdoppelschicht verschieben sich <strong>die</strong> chemischen<br />
Potentiale (Fermienergien) an den Rändern des räumlich begrenzten Widerstandes<br />
gegeneinander, dadurch entsteht eine EMK bzw. ein von außen meßbares<br />
elektrisches Feld, dessen Richtung von der positiven zur negativen Flächenladung<br />
zeigt (s. Bild C1-1).<br />
– es entsteht ein Elektronendichtegra<strong>die</strong>nt von oben nach unten<br />
Beide Effekte bewirken eine Kraft auf <strong>die</strong> Elektronen, <strong>die</strong> von oben nach unten gerichtet<br />
ist, <strong>die</strong>se entspricht der chemischen Kraft (= -∆W F /∆x), <strong>die</strong> in (14) eingeht.<br />
Kennzeichnend für <strong>die</strong> oben durchgeführte Betrachtung ist eine Verdrehung zwischen