1 Überblick über die Sensorik

Seite 240
478 Anhang C2: Verallgemeinerter Halleffekt
Anhang C2: Verallgemeinerter Halleffekt 479
wobei ((1)) den Einheitstensor beschreibt.
Die Tatsache, daß es bei einer anisotropen Leitfähigkeit in (11) außerhalb der Tensordiagonalen
Komponenten ungleich Null gibt, hat eine wichtige praktische Konsequenz:
Der Stromdichtevektor enthält auch Komponenten senkrecht zur Feldrichtung,
d.h. es fließt auch eine Stromkomponente senkrecht zum elektrischen Feld! Legt man
das elektrische Feld z.B. in die Richtung 1, dann hat E die Komponenten E a1 ,0,0.
Die Komponente j n
2
des Stromdichtevektors in Richtung 2 hat im isotropen Fall (12)
den Wert Null, im anisotropen Fall (11) aber den Wert |q|ρ n µ 21 n E a1 ≠0. Auf diese
Weise lassen sich sukzessiv die Komponenten des Beweglichkeitstensors experimentell
bestimmen: µ n ik ergibt sich durch eine Strommessung in Richtung i bei Anlegen eines
elektrischen Feldes in Richtung k. Die gemessenen Werte hängen ab von der Wahl
der Richtungen 1, 2 und 3 relativ zu den kristallographischen Achsen des Werkstoffs, sie
lassen sich aber für jede Wahl des Koordinatensystems umrechnen nach den Gesetzen
der Tensortransformation.
Eine Konsequenz des Auftretens nichtdiagonaler Komponenten im Leitfähigkeits- oder
Beweglichkeitstensor bei anisotroper Leitung ist eine Verdrehung der Vektoren des
elektrischen Feldes E a und des Stromdichtevektors j n gegeneinander (s. Bild C2-2a).
In diesem Fall wirkt nämlich der Tensor wie eine Drehmatrix (Bewegung): Hat beispielsweise
das äußere Feld die Richtung der x-Achse, dann führen die nichtverschwindenden
Komponenten des Stromdichtevektors in y- und z-Richtung dazu, daß der
Stromdichtevektor einen Hallwinkel θ H (bei Abwesenheit von Magnetfeldern auch
als Pseudo- oder unechter Hallwinkel bezeichnet) relativ zur x-Achse bildet. Bild
C2-2a zeigt die Verhältnisse in der xy-Ebene. Der Hallwinkel θ H xy hat dann die
Größe:
Anisotrope Leitfähigkeiten können werkstoffbedingt permanent vorhanden sein aufgrund
einer Kristallanisotropie, andererseits können sie aber auch in Werkstoffen
aber mit isotroper Leitfähigkeit (bzw. spezifischem Widerstand ρ sp ) induziert werden
durch anisotrope mechanische Spannungen (s. Abschnitt 4.1.3) und den Einfluß anderer
physikalischer Größen. Auch die Wirkung von Magnetfeldern in elektrischen Leitern,
bei denen die Reibungskraft (welche die Streuung der Ladungsträger beim Stromtransport
beschreibt) berücksichtigt werden muß, führt zu einer Verdrehung des Stromdichtevektors
und des Vektors der elektrischen Feldstärke gegeneinander (Abschnitt
5.1.1; ausführlich in Band 11, Abschnitt 1.2.3), wodurch der Hall-Effekt entsteht. Alle
diese Effekte führen zu einem elektrisch sehr ähnlichen Verhalten, nämlich der Entstehung
einer Transversalspannung (Hall– oder Pseudo-Hallspannung) bei endlich
ausgedehnten Widerständen.
Bild C2-2a gibt die geometrischen Verhältnisse bei gegeneinander verdrehten Stromdichte-
und Feldvektoren für den Fall eines unendlich ausgedehnten Widerstandes wieder:
Dann gilt die Gleichung (13) ohne die Einschränkung durch äußere Randbedingungen,
wie sie bei endlich ausgedehnten Widerständen auftreten: Bei einem endlich
ausgedehnten stabförmigen Widerstand wie in Bild C2-1b muß nämlich zusätzlich die
Randbedingung (7a) erfüllt sein, daß die Stromdichten in y- und z-Richtungen Null
werden. Dieses ist nur möglich, wenn z.B. in y-Richtung ein zu der transversalen Teilchenstromdichtekomponente
j T ny entgegengesetzt gerichteter gleich großer Teilchenstrom
jTH ny fließt, so daß gilt:
Die Differenz der Fermienergien zwischen dem oberen und unteren Rand des Widerstandes
führt (bei dem zugrundegelegten isothermen Fall) zu einer von außen meßbaren
elektrischen (Pseudo-)Hallspannung, also einer EMK (s. Anhang C1), die sich auch
charakterisieren läßt durch ein von außen meßbares elektrisches (Pseudo-) Hallfeld
E ay =:E a
H
(Bild C2-2c).
Anschaulich läßt sich der durch Bild C2-2 beschriebene Halleffekt auf die folgende
Weise deuten: Der in Richtung der positiven x-Achse verlaufende Elektronen-Teilchenstrom
wird in Richtung der positiven y-Achse abgelenkt, so daß sich der obere
Rand des stabförmigen Widerstands in Bild C2-2b negativ auflädt, weil dort die Elektronen
nicht abfließen können. Gleichzeitig entsteht eine positive Flächenladung am
unteren Rand des Widerstandes, weil dort Elektronen abgezogen werden. Durch diese
Ladungsanreicherung, bzw. –entleerung entstehen zwei Effekte:
– aufgrund der entstandenen Ladungsdoppelschicht verschieben sich die chemischen
Potentiale (Fermienergien) an den Rändern des räumlich begrenzten Widerstandes
gegeneinander, dadurch entsteht eine EMK bzw. ein von außen meßbares
elektrisches Feld, dessen Richtung von der positiven zur negativen Flächenladung
zeigt (s. Bild C1-1).
– es entsteht ein Elektronendichtegradient von oben nach unten
Beide Effekte bewirken eine Kraft auf die Elektronen, die von oben nach unten gerichtet
ist, diese entspricht der chemischen Kraft (= -∆W F /∆x), die in (14) eingeht.
Kennzeichnend für die oben durchgeführte Betrachtung ist eine Verdrehung zwischen