1 Überblick über die Sensorik

Seite 114
226 5.1 Halleffekt-Sensoren 5.1.1 Halleffekt 227
Dabei werden die entsprechenden Komponenten der Vektoren j n
T
und v dr
n
verwendet.
Bei endlich ausgedehnten, z.B. stabförmigen Widerständen wie in Bild 5.1.1-2,
führt die Stromflußkomponente j T ny in Richtung der y-Achse, also senkrecht zur Widerstandsachse,
zu einer elektrostatischen Aufladung an den Seitenflächen des Widerstandes:
Dadurch entsteht ein elektrisches Hallfeld E H in der Richtung der negativen
y-Achse.
Die Wirkung dieses Feldes ist, daß eine Hallstromdichte fließt, welche die y-Komponente
j ny
T
der Stromdichte j n
T
exakt kompensiert (Anhang C2):
d.h. aufgrund des Hallfeldes wird der Strom wieder in die ursprüngliche (Bild 5.1.1-
2a), durch die Widerstandsgeometrie vorgegebene Richtung abgelenkt (Bild 5.1.1-
2c).
Das elektrische Feld E setzt sich dann insgesamt aus zwei Anteilen zusammen (Bild 5.1.1.3):
Bild 5.1.1-3
Darstellung der Vektorgrößen beim Halleffekt für Elektronen: Eingezeichnet sind
das von außen angelegte elektrische Feld E ax , aufgrund dessen ein Strom durch
den Stab fließt. Die Lorentzkraft F B wird bestimmt durch den Vektor v dr x B z , der
in positiver y-Richtung verläuft, und die negative Ladung der Elektronen, sie zeigt
damit in die Richtung der negativen y-Achse. In dieser Richtung zeigt auch nach
(11) das Hallfeld, das eine Kraft F H auf die Elektronen in die Richtung der positiven
y-Achse bewirkt, die damit der Lorentzkraft entgegengerichtet ist.
Das von außen angelegte Feld E ax addiert sich vektoriell mit dem Hallfeld E H zu
einem Gesamtfeld E, welches senkrecht auf der magnetischen Induktionsflußdichte
B z steht. Der Hallwinkel θ H zwischen elektrischem Feld E und angelegtem Feld
E ax hat dieselbe Größe wie der Winkel zwischen dem Stromdichtevektor j n und
angelegtem Feld E ax bei unendlich ausgedehnten Widerständen (Anhang C2).
mit dem spezifischen Widerstand des n-Leiters ρ sp n . Bei einer genaueren Betrachtung
muß die Magnetfeldabhängigkeit der spezifischen Leitfähigkeit berücksichtigt
werden (magnetische Widerstandsänderung, s.Abschnitt 5.2).
Mit (5) kann man in (11) die Driftgeschwindigkeit durch die Stromdichte ersetzen. Für
einen stabförmigen Widerstand und eine Orientierung des Magnetfeldes wie in Bild
5.1.1-2 und 3 folgt dann
mit der Hallkonstanten R H
n
für Elektronen:
Die Projektion auf die y-Achse ergibt dann mit den Einheitsvektoren e x , e y , e z in
Richtung der Koordinatenachsen erwartungsgemäß einen negativen Wert, da das Hallfeld
(13) in Richtung der negativen x-Achse zeigt:
Eine aufwendigere Berechnung über die Boltzmanngleichung führt nur zu einem zusätzlichen
statistischen Faktor der Größenordnung 1.