1 Ãberblick über die Sensorik
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Seite 114<br />
226 5.1 Halleffekt-Sensoren 5.1.1 Halleffekt 227<br />
Dabei werden <strong>die</strong> entsprechenden Komponenten der Vektoren j n<br />
T<br />
und v dr<br />
n<br />
verwendet.<br />
Bei endlich ausgedehnten, z.B. stabförmigen Widerständen wie in Bild 5.1.1-2,<br />
führt <strong>die</strong> Stromflußkomponente j T ny in Richtung der y-Achse, also senkrecht zur Widerstandsachse,<br />
zu einer elektrostatischen Aufladung an den Seitenflächen des Widerstandes:<br />
Dadurch entsteht ein elektrisches Hallfeld E H in der Richtung der negativen<br />
y-Achse.<br />
Die Wirkung <strong>die</strong>ses Feldes ist, daß eine Hallstromdichte fließt, welche <strong>die</strong> y-Komponente<br />
j ny<br />
T<br />
der Stromdichte j n<br />
T<br />
exakt kompensiert (Anhang C2):<br />
d.h. aufgrund des Hallfeldes wird der Strom wieder in <strong>die</strong> ursprüngliche (Bild 5.1.1-<br />
2a), durch <strong>die</strong> Widerstandsgeometrie vorgegebene Richtung abgelenkt (Bild 5.1.1-<br />
2c).<br />
Das elektrische Feld E setzt sich dann insgesamt aus zwei Anteilen zusammen (Bild 5.1.1.3):<br />
Bild 5.1.1-3<br />
Darstellung der Vektorgrößen beim Halleffekt für Elektronen: Eingezeichnet sind<br />
das von außen angelegte elektrische Feld E ax , aufgrund dessen ein Strom durch<br />
den Stab fließt. Die Lorentzkraft F B wird bestimmt durch den Vektor v dr x B z , der<br />
in positiver y-Richtung verläuft, und <strong>die</strong> negative Ladung der Elektronen, sie zeigt<br />
damit in <strong>die</strong> Richtung der negativen y-Achse. In <strong>die</strong>ser Richtung zeigt auch nach<br />
(11) das Hallfeld, das eine Kraft F H auf <strong>die</strong> Elektronen in <strong>die</strong> Richtung der positiven<br />
y-Achse bewirkt, <strong>die</strong> damit der Lorentzkraft entgegengerichtet ist.<br />
Das von außen angelegte Feld E ax ad<strong>die</strong>rt sich vektoriell mit dem Hallfeld E H zu<br />
einem Gesamtfeld E, welches senkrecht auf der magnetischen Induktionsflußdichte<br />
B z steht. Der Hallwinkel θ H zwischen elektrischem Feld E und angelegtem Feld<br />
E ax hat <strong>die</strong>selbe Größe wie der Winkel zwischen dem Stromdichtevektor j n und<br />
angelegtem Feld E ax bei unendlich ausgedehnten Widerständen (Anhang C2).<br />
mit dem spezifischen Widerstand des n-Leiters ρ sp n . Bei einer genaueren Betrachtung<br />
muß <strong>die</strong> Magnetfeldabhängigkeit der spezifischen Leitfähigkeit berücksichtigt<br />
werden (magnetische Widerstandsänderung, s.Abschnitt 5.2).<br />
Mit (5) kann man in (11) <strong>die</strong> Driftgeschwindigkeit durch <strong>die</strong> Stromdichte ersetzen. Für<br />
einen stabförmigen Widerstand und eine Orientierung des Magnetfeldes wie in Bild<br />
5.1.1-2 und 3 folgt dann<br />
mit der Hallkonstanten R H<br />
n<br />
für Elektronen:<br />
Die Projektion auf <strong>die</strong> y-Achse ergibt dann mit den Einheitsvektoren e x , e y , e z in<br />
Richtung der Koordinatenachsen erwartungsgemäß einen negativen Wert, da das Hallfeld<br />
(13) in Richtung der negativen x-Achse zeigt:<br />
Eine aufwendigere Berechnung über <strong>die</strong> Boltzmanngleichung führt nur zu einem zusätzlichen<br />
statistischen Faktor der Größenordnung 1.