1 Ãberblick über die Sensorik
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Seite 113<br />
224 5.1 Halleffekt-Sensoren 5.1.1 Halleffekt 225<br />
Wirkt zusätzlich zu dem Magnetfeld ein elektrisches Feld E, dann wird (1) erweitert<br />
zu:<br />
(2) beschreibt <strong>die</strong> Feldkraft auf <strong>die</strong> Ladungsträger, zu der im allgemeinen (Band 1,<br />
Abschnitt 4.1.1, Band 2, Abschnitt 4.3.2) eine Diffusionskraft F diff aufgrund von Ladungsträger-Dichtegra<strong>die</strong>nten<br />
tritt; als Summe von beiden ergibt sich <strong>die</strong> chemische<br />
Kraft F chem . Die Wechselwirkung der Ladungsträger untereinander läßt sich durch<br />
Einführung einer Reibungskraft beschreiben; nach Band 11, Abschnitt 1.2.3 ergibt<br />
sich dann auch bei Anwesenheit von Magnetfeldern als gemittelte Ladungsträgergeschwindigkeit<br />
aufgrund einer chemischen Kraft <strong>die</strong> Summe aus der (gemittelten)<br />
Drift (v dr )- und Diffusionsgeschwindigkeit (v diff ):<br />
mit der Ladungsträgerbeweglichkeit µ. Bisher wurde µ nur für <strong>die</strong> Wirkung elektrischer<br />
Feld- und Diffusionskräfte betrachtet, bei Anwesenheit magnetischer Felder<br />
kann sich <strong>die</strong> Ladungsträgerbeweglichkeit ändern ([5.1], s.u.).<br />
Als Ladungsträger werden im folgenden zunächst Elektronen (später auch Löcher, s.<br />
Band 2, Abschnitt 2.2.3) betrachtet. Wenn wir bei Abwesenheit von Ladungsträgergra<strong>die</strong>nten<br />
<strong>die</strong> Diffusionskräfte und -geschwindigkeiten vernachlässigen können, dann<br />
folgt aus (2) und (3):<br />
Es ergibt sich also eine Vektorgleichung für v dr . Die aus der Teilchengeschwindigkeit<br />
resultierende elektrische Stromdichte j (Band 11 oder Anhänge in den Bänden 1 und<br />
2) ist definiert (Volumendichte ρ n = Teilchenzahl N pro Volumen Vol):<br />
und damit für den Fall der Lorentz-Feldkraft:<br />
mit der spezifischen Leitfähigkeit für Elektronen σ sp n .<br />
Aus Gleichung (6) folgt eine wichtige Konsequenz (Bild 5.1.1-2): Wir betrachten den<br />
Stromfluß durch einen Leiter in x-Richtung aufgrund eines in derselben Richtung<br />
wirkenden von außen angelegten Feldes E ax . Aus Gleichung (6) folgt unmittelbar<br />
(Anhang C2), daß bei unendlich ausgedehnten Leitern <strong>die</strong> Stromdichtevektoren j n<br />
um einen definierten Hallwinkel θ H gegenüber der Richtung des von außen ange<br />
Bild 5.1.1-2<br />
Entstehung des Hallfeldes bei einem stabförmigen Widerstand in x-Richtung<br />
a) Elektronenbahnen aufgrund des angelegten elektrischen Feldes E ax bei Abwesenheit<br />
eines Magnetfeldes B<br />
b) Elektronenbahnen kurz nach dem Einschalten eines Magnetfeldes B (es hat sich<br />
noch kein Hallfeld aufgebaut): Der Elektronenstrom fließt auf einer um den Hallwinkel<br />
θ H geneigten Bahn (freie Elektronen würden sich auf Spiralbahnen, <strong>die</strong><br />
gestrichelt eingezeichnet sind, bewegen) zu den Seiten des Stabes hin, <strong>die</strong> Ablenkung<br />
wird bewirkt durch <strong>die</strong> Lorentzkraft F = -|q|v x B. Da <strong>die</strong> Elektronen an den<br />
Seitenflächen nicht nach außen abfließen können, baut sich dort eine Oberflächenladung<br />
auf, welche das Hallfeld E H erzeugt, <strong>die</strong> hierdurch erzeugte zusätzliche<br />
Kraft ist der Lorentzkraft entgegengerichtet (d.h. das durch <strong>die</strong> Ablenkung von Elektronen<br />
entstehende Hallfeld zeigt in Richtung der Lorentzkraft).<br />
c) Auf <strong>die</strong> im Leiter fließenden Elektronen wirken nebeneinander <strong>die</strong> ablenkende<br />
Kräfte des Magnetfeldes und des Hallfeldes. Beide kompensieren sich gegenseitig,<br />
so daß sich <strong>die</strong> Elektronen bei langgestreckten Widerständen näherungsweise (s.<br />
Abschnitt 5.1.2) in der durch den geometrischen Aufbau des Stabes festgelegten<br />
Richtung bewegen.<br />
legten Feldes E ax verdreht sind (Bild 5.1.1-2b), wobei gilt: