1 Überblick über die Sensorik

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224 5.1 Halleffekt-Sensoren 5.1.1 Halleffekt 225
Wirkt zusätzlich zu dem Magnetfeld ein elektrisches Feld E, dann wird (1) erweitert
zu:
(2) beschreibt die Feldkraft auf die Ladungsträger, zu der im allgemeinen (Band 1,
Abschnitt 4.1.1, Band 2, Abschnitt 4.3.2) eine Diffusionskraft F diff aufgrund von Ladungsträger-Dichtegradienten
tritt; als Summe von beiden ergibt sich die chemische
Kraft F chem . Die Wechselwirkung der Ladungsträger untereinander läßt sich durch
Einführung einer Reibungskraft beschreiben; nach Band 11, Abschnitt 1.2.3 ergibt
sich dann auch bei Anwesenheit von Magnetfeldern als gemittelte Ladungsträgergeschwindigkeit
aufgrund einer chemischen Kraft die Summe aus der (gemittelten)
Drift (v dr )- und Diffusionsgeschwindigkeit (v diff ):
mit der Ladungsträgerbeweglichkeit µ. Bisher wurde µ nur für die Wirkung elektrischer
Feld- und Diffusionskräfte betrachtet, bei Anwesenheit magnetischer Felder
kann sich die Ladungsträgerbeweglichkeit ändern ([5.1], s.u.).
Als Ladungsträger werden im folgenden zunächst Elektronen (später auch Löcher, s.
Band 2, Abschnitt 2.2.3) betrachtet. Wenn wir bei Abwesenheit von Ladungsträgergradienten
die Diffusionskräfte und -geschwindigkeiten vernachlässigen können, dann
folgt aus (2) und (3):
Es ergibt sich also eine Vektorgleichung für v dr . Die aus der Teilchengeschwindigkeit
resultierende elektrische Stromdichte j (Band 11 oder Anhänge in den Bänden 1 und
2) ist definiert (Volumendichte ρ n = Teilchenzahl N pro Volumen Vol):
und damit für den Fall der Lorentz-Feldkraft:
mit der spezifischen Leitfähigkeit für Elektronen σ sp n .
Aus Gleichung (6) folgt eine wichtige Konsequenz (Bild 5.1.1-2): Wir betrachten den
Stromfluß durch einen Leiter in x-Richtung aufgrund eines in derselben Richtung
wirkenden von außen angelegten Feldes E ax . Aus Gleichung (6) folgt unmittelbar
(Anhang C2), daß bei unendlich ausgedehnten Leitern die Stromdichtevektoren j n
um einen definierten Hallwinkel θ H gegenüber der Richtung des von außen ange
Bild 5.1.1-2
Entstehung des Hallfeldes bei einem stabförmigen Widerstand in x-Richtung
a) Elektronenbahnen aufgrund des angelegten elektrischen Feldes E ax bei Abwesenheit
eines Magnetfeldes B
b) Elektronenbahnen kurz nach dem Einschalten eines Magnetfeldes B (es hat sich
noch kein Hallfeld aufgebaut): Der Elektronenstrom fließt auf einer um den Hallwinkel
θ H geneigten Bahn (freie Elektronen würden sich auf Spiralbahnen, die
gestrichelt eingezeichnet sind, bewegen) zu den Seiten des Stabes hin, die Ablenkung
wird bewirkt durch die Lorentzkraft F = -|q|v x B. Da die Elektronen an den
Seitenflächen nicht nach außen abfließen können, baut sich dort eine Oberflächenladung
auf, welche das Hallfeld E H erzeugt, die hierdurch erzeugte zusätzliche
Kraft ist der Lorentzkraft entgegengerichtet (d.h. das durch die Ablenkung von Elektronen
entstehende Hallfeld zeigt in Richtung der Lorentzkraft).
c) Auf die im Leiter fließenden Elektronen wirken nebeneinander die ablenkende
Kräfte des Magnetfeldes und des Hallfeldes. Beide kompensieren sich gegenseitig,
so daß sich die Elektronen bei langgestreckten Widerständen näherungsweise (s.
Abschnitt 5.1.2) in der durch den geometrischen Aufbau des Stabes festgelegten
Richtung bewegen.
legten Feldes E ax verdreht sind (Bild 5.1.1-2b), wobei gilt: