1 Überblick über die Sensorik

Seite 11
20 2.2 Stromdichtegleichungen 2.2 Stromdichtegleichungen 21
mit den Elektronen- und Löcherdichten n und p . Die Ladungsträgerbeweglichkeiten
– welche die Reaktion eines Teilchens auf eine wirkende Kraft beschreiben – können
in verschiedenen Werkstoffen eine sehr unterschiedliche Größe haben: Nach der
Diskussion im Abschnitt 2.1 (s. auch Band 1, Abschnitt 4.1.3) reagieren in einem Metall
die Elektronen mit Energien weit unterhalb der Fermienergie (Fermikante) überhaupt
nicht auf die chemische Kraft, weil für diesen Prozeß keine unbesetzten Zustände zur
Verfügung stehen. Nur eine "effektive" Elektronendichte in einem Bereich der energetischen
Breite kT um die Fermienergie herum (und alle Elektronen mit noch größeren
Energien, deren Dichte aber wegen der relativ geringen Besetzungswahrscheinlichkeit
vernachlässigt werden kann) tragen zur Stromleitung bei, so daß man mit der Zustandsdichte
(Band 2, Abschnitt 1.1.3) N(W n ) pro Volumen anstelle von (12) auch schreiben
kann:
Daraus ergeben sich dieTeilchenstromdichten j n
T
und j p
T
für Elektronen und Löcher
n ist in diesem Fall die (ebenfalls gemittelte) Beweglichkeit aller beweglichen Elektronen
in der Umgebung der Fermikante.
Man erkennt an dieser Stelle, daß die Berechnung der Stromdichte in Metallen selbst im
einfachstmöglichen Fall bereits erhebliche Probleme aufwirft, insbesondere ist die
Kenntnis der Zustandsdichte an der Fermikante – und damit der Flächen gleicher Energie
im k-Raum (Fermiflächen, Band 2, Abschnitte 2.1.2 und 2.2.1) erforderlich, was
schnell an die Grenzen des gegenwärtig vorhandenen Wissens führt. Aus diesem Grund
können viele Materialparameter metallischer Sensoren auch heute noch nur relativ ungenau
theoretisch berechnet werden, so daß weitgehend experimentell bestimmte Daten
angewendet werden müssen.
Sehr viel einfacher liegen diese Verhältnisse bei den Halbleitern, insbesondere dann,
wenn die Boltzmannäherung (2.1-4) mit den daraus resultierenden einfachen Formeln
(2.1-6 und 7) angewendet werden kann (Modell des klassischen Elektronengases).
In diesem Fall werden nur Elektronen betrachtet mit Energien weit oberhalb der Fermienergie
(Bild 2.1-2; W n –W F >> k T), d.h. die Elektronen finden mit Sicherheit unbesetzte
Zustände vor, in die sie durch Anregung über die chemische Kraft übergehen können.
Viele der bei den Halbleitern relativ einfach zu berechnenden Effekte finden sich
auch bei Metallen wieder, wenn auch eine quantitative Übereinstimmung zwischen
Theorie und Experiment nicht erwartet werden kann.
Im folgenden werden noch einmal die relevanten Beziehungen für den allgemeinen, d.h.
nicht isothermen Fall zusammengestellt. Die chemische Kraft F n chem und F p chem für Elektronen
und Löcher ist nach (3), wenn wir die Entropie pro Elektron mit S n (bisher allgemeiner
als Entropie pro Teilchen verwendet) und die pro Loch mit S p bezeichnen:
und die elektrischen Stromdichten j n und j p zu:
Der Gradient der Fermienergie wird auch als das von außen meßbare oder äußere
elektrische Feld E a bezeichnet:
Damit bekommen die Gleichungen (17) die Form:
Für die Entropien pro Elektron oder Loch können bei der Berechnung von Elektronenund
Lochgasen in Boltzmann-Näherung die Ausdrücke (2.1-10 und 14) eingesetzt werden.