1 Überblick über die Sensorik

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18 2.2 Stromdichtegleichungen 2.2 Stromdichtegleichungen 19
nergie (Zeit für den Übergang in ein lokales thermisches Gleichgewicht) herangezogen
worden. Bei Anwendung der Boltzmannäherung (2.1-4), die zu den Ausdrücken (2.1-6
und 7) führte, ist das Modell des Elektronengases eine natürliche Konsequenz: Die
"klassische" Gasstatistik, die von ungeladenen Gasteilchen ausgeht, welche nur durch
einen mechanischen Zusammenstoß miteinander wechselwirken können (also nicht
über eine Streuung, d.h. gegenseitige Ablenkung aufgrund eines langreichweitigen
Wechselwirkungsfeldes), führt zu denselben Eigenschaften wie die von Elektronen in
einem Potentialkasten (Band 1, Abschnitt 1.2.3).
Die Wirkung einer chemischen Kraft auf ein Elektron wird durch die Randbedingungen
des Elektronengasmodells bestimmt: Innerhalb der Zeitspanne wirkt nur die
chemische Kraft auf das Elektron, nicht aber eine andere Wechselwirkung, d.h. die Bewegung
erfolgt beschleunigt (Anhang C1, ballistische Bewegung) aufgrund des von
außen angelegten Feldes. Die Richtung der Bewegung (häufig in Richtung der chemischen
Kraft, bei Wirkung von Magnetfeldern beispielsweise aber nicht, s.Abschnitt
5.1.1) wird durch den folgenden Stoß umgelenkt. Erst nach mehreren Stoßprozessen,
d.h. für t >> , überlagert sich der zeitlich veränderlichen thermischen Geschwindigkeit
v th eine zeitlich konstante mittlere Driftgeschwindigkeit v D , die – bei nicht
zu großen wirkenden Kräften – proportional ist zur chemischen Kraft (Bild 2.2-2, s. Diskussion
in Band 1, Abschnitt 2.7.2, Band 2, Abschnitte 4.3.2 und 4.3.3).
Die Proportionalitätskonstante zwischen Driftgeschwindigkeit und chemischer Kraft
wird in der Elektrotechnik definiert als Quotient aus der Ladungsträgerbeweglichkeit
und der Elementarladung |q|:
d.h. für den Fall des homogenen Leiters in (5 und 6) ergibt sich einfach (der Index n bezieht
sich auf den Ladungsträger Elektron)
Unter denselben Voraussetzungen ergibt sich für die positiv geladenen Löcher (ausführliche
Behandlung in Band 2, Abschnitt 4.3.2)
Durch die Teilchenbewegung wird ein Teilchenstrom erzeugt, die dazugehörige Teilchenstromdichte
j T ist nach Band 4, Abschnitt 1.2:
Bild 2.2-2
Statistische Bewegung eines Gasteilchens in der xy-Ebene unter Einfluß einer chemischen
Kraft F chem in x-Richtung
a) Ballistische Bahn des Teilchens
b) Zu a) gehörende integrierte Geschwindigkeit v x in x-Richtung: Nach einigen Zusammenstößen
mit anderen Gasteilchen (Ablauf einiger mittlerer Stoßzeiten )
stellt sich eine mittlere Driftgeschwindigkeit v D in Richtung der chemischen Kraft
ein; diese ist bei nicht zu großen chemischen Kräften proportional zu F chem .
Dabei muß über alle zur Teilchstromdichte beitragenden Teilchengeschwindigkeiten v k
(Summe aus der thermischen Geschwindigkeit v k th , deren Mittelwert Null beträgt,
und Driftgeschwindigkeit v D ) und die dazugehörigen Teilchendichten k summiert
werden. Für Elektronen ergibt sich speziell