( )n/1

Aufgabe 1:
In der mechanischen Verfahrenstechnik werden häufig analytische Funktionen, wie die RRSB (Rosin-
Rammler-Sperling-Bennett)- oder die GGS (Gates, Gaudin, Schuhmann)-Verteilung benutzt, um Partikelgrößenverteilungen
zu beschreiben. Sind die entsprechenden Parameter dieser analytischen Funktion
bekannt, können daraus direkt charakteristische Kennwerte der Partikelgrößenverteilung erhalten werden.
Berechnen Sie ausgehend von der RRSB-Verteilung (Gl.1) und der GGS-Verteilung (Gl. 2) die entsprechenden
mathematische Beziehungen für den Medianwert d 50,3 , den Modalwert d h,3 , den Erwartungswert
(Mittelwert) d m,3 sowie den Sauter-Durchmesser d ST .
n
d
Q
3(
d ) 1 exp
(1)
d63,3
k
d
Q
3( d ) 0,8
(2)
d
80,3
Lösung:
Der Medianwert d 50,3 kann aus Q 3 (d) ermittelt werden, wobei Q3(
d50,
3
) 0, 5 ist. Damit folgt
für die RRSB-Gleichung:
für die GGS-Gleichung:
n
d
d
50,3
50,3
1 exp
0,5
0,8 0, 5
d
63,3
d
80,3
k
d
exp
d
50,3
63,3
n
0,5
d
d
50,3
80,3
k
5
8
d
d
50,3
63,3
n
ln 0,5
d
50,3
d
80,3
5
8
1/ k
d
d
d
50,3
63,3
n
ln 2
50,3
d63,3
ln 2
1/ n

Der Modalwert d h,3 stellt das Maximum der Partikelgrößenverteilungsdichte q 3 (d) dar, wobei für q 3 (d)
gilt:
dQ
3( d )
q3( d ) .
d( d )
Damit ist:
für die RRSB-Gleichung:
für die GGS-Gleichung:
n
k1
n
n1
d
d 1
q
3( d ) d exp
q
n
d
3( d ) 0,8
63,3
d
k
63,3
d80,3
d80,3
q ( d )
3
n
d
63,3
d
d
63,3
n1
exp
d
d
63,3
n
q ( d )
3
0,8 k
d
80,3
d
d
80,3
k 1
Für das Maximum gilt:
d 3
q ( d ) 0
d( d )
für die RRSB-Gleichung:
dq3( d )
d( d )
n
d
63,3
d
d
63,3
1
( n 1)
d
d
exp
d
d
d
d
exp
d
n
n
(
1)
d
n2
n
n1
n1
63,3
63,3
63,3
63,3
63,3
d
d
63,3
dq3( d )
d( d )
n
d
63,3
d
exp
d
63,3
n
d
d
63,3
n1
1
d
d
( n 1)
n
d
63,3
n
n
n1
n
für n > 1 ist
n
d d 1
exp
0 , somit muss
d
d63,3
d
63,3 d
( n 1) n
0 sein.
63,3 d
d
63,3
d
( n 1) n
d
h
63,3
n
0
d
d
h
63,3
n
n 1
n
d
d
h
63,3
n 1
n
1/ n
d d
h
63,3
n 1
n
1/ n

für die GGS-Gleichung:
dq ( d )
d( d )
0,8 k d
d
80,3 d
80,3
k2
1
( k 1)
d
80,3
0,8 k( k 1)
d
2
d
80,3 d
80,3
k2
0,8 k( k 1)
d
2
d
d
80,3
k
k ( k 1)
2
d
3
dq3( dh
) k ( k 1)
Q 3( d ) 0
2
d( d ) d
h
Q ( d )
3
für k > 1 wird
k ( k 1)
Q 3( d ) nur 0, wenn Q
2
3 (d) = 0 ist, d.h. d = d min
d
h
Für den Erwartungswert d m,3 (Mittelwert) gilt:
d
m,3
dmax
d q3
dmin
( d ) d( d
)
Somit folgt für die RRSB-Verteilung:
d
n1
n
max
n d d
d
d
,3
exp
d( d )
m
d d
d
dmin
63,3 63,3
63,3
d
m,3
0
n
d
d
63,3
n
exp
d
d
63,3
n
d( d )
hier ist eine Substitution nötig:
n
n1
d
t , d.h.
d n
d dt
d( d )
63,3
d
63,3 d63,3
bzw.
d
d( d )
n
63,3
d
d
63,3
1n
d t
weiterhin folgt aus
n
d
t die Beziehung
d
1/ n
d t
63,3
d
63,3
so dass
d
m,3
d
63,3
0
d
d
63,3
n
d
d
63,3
d
d
63,3
n
exp
d
d
63,3
n
d t d
1/ n
63,3 t
0
exp t
dt
Wie man noch aus der Mathematikvorlesung weiß, gilt
1x
( x ) exp ( t
) t dt wobei ( x )
0
die Gamma-Funktion ist. Weiterhin kann man schreiben

0
1n'
( n' ) exp ( t
) t dt mit
(1
1
n
)
0
exp ( t
) t
1/ n
Somit haben wir die Lösung:
dt
n'
1
1
n
, damit ist
dm,3
63, 3
d (1
1
n
)
für die GGS-Verteilung:
d
m,3
dmax
d q3
dmin
( d ) d( d
)
d
m,3
dmax
dmin
0,8 k
d
d
80,3
d
d
80,3
k 1
d( d
0,8 k
)
d
k
80,3
dmax
k
dmin
d d( d )
d
0,8 k
d
( k 1)
k
80,3
k 1
dmax
dmin
( k
k
0,8
1)
d
d
80,3
k
d
dmax
dmin
d
m,3
k
0,8
( k 1)
d
d
80,3
k
d
dmax
dmin
( k
k
Q
3(
d ) d
1)
dmax
dmin
d
m,3
k
d
( k 1)
max
Wenn d max unbekannt ist, so folgt aus
Q ( d
k
d
max
) 0,8
1 die Beziehung
d
80,3
3 max
d
d
max
80,3
k
5
4
1 / k
bzw. 5
dmax
d80,
3
4
. Somit ist
d
m,3
k 5
( k 1) 4
1 / k
d
80,3
Wenn Sie noch nicht müde sind, könnten wir noch den Sauter-Durchmesser d ST ausrechnen:
d
ST
dmax
dmin
1
q3(
d )
d
d( d
)
für die RRSB-Verteilung:

max
min
d
d
n
63,3
1
n
63,3
63,3
ST
)
d
d(
d
d
exp
d
d
d
n
d
1
1
d
hier ist wieder eine Substitution nötig:
n
d 63,3
d
t
, d.h. )
d( d
d
n
d
d
dt
63,3
1
n
63,3
bzw.
dt
d
1
n
d
d
d
d
)
d
(
d 3
63,
1 )
n
(
63,3
max
min
d
d
n
63,3
1
63,3
63,3
ST
t
d
d
d
exp
d
d
d
d
, aus n
1/
63,3
t
d
d
folgt die Gleichung
n
1/
1
63,3
t
d
d
, so dass
max
min
d
d
n
1/
63,3
ST
t
d
t
exp
t
d
d
0
n'
1
dt
t
)
t
exp (
)
( n'
mit
n
1
1
'
n
bzw.
n
1
n'
1
. Damit ist
0
n
1/
dt
t
)
t
exp (
)
n
1
(1
Somit haben wir die Lösung:
)
n
1
(1
d
d
63,3
ST
für die GGS-Verteilung:
max
min
max
min
max
min
d
d
2
k
k
80,3
d
d
2
k
80,3
d
d
1
k
80,3
80,3
ST
)
d( d
d
d
k
0,8
1
)
d
d(
d
k
d
d
0,8
1
)
d
d(
d
1
d
d
d
k
0,8
1
d
max
max
d
d
3
d
d
k
80,3
d
d
1
k
k
80,3
ST
d
k
1
k
d
1
k
k
1
)
d
Q (
1
k
k
1
d
1
d
d
0,8
1
k
k
1
d
1)
k
(
d
k
0,8
1
d
max
min
max
min
max
min
80,3
k
1/
ST
d
4
5
k
1
1
d

Aufgabe 2:
Gegeben ist ein Pulver von quaderförmigen Kristallen. Diese lassen sich durch eine Kantenlänge d der
quadratischen Querschnittsfläche charakterisieren. Die Länge der Kristalle beträgt 2d.
d
2 d
Die Größenverteilung lässt sich durch folgende Anzahldichteverteilung q 0 (d) beschreiben:
d (
d dmax
)
mit 0 d dmax
q
0(
d ) a
(3)
0
mit d dmax
Lösung:
a) Bestimmen Sie den Parameter a in Abhängigkeit von der maximalen Partikelgröße d max .
d max
q
Normierung: ( d ) d( d ) 1
0
0
dmax
0
2
dmax
max
max
d d
d
a a
3 2
d d d
d( d )
3a 2a
0
3
d
3a
max
3
d
2a
max
3
d
6a
max
1
Somit:
1 3
a d max
6
b) Wie lauten die Partikelgrößenverteilung Q 3 (d) und die Partikelgrößenverteilungsdichte q 3 (d).
q ( d )
3
3
dmax
d q0(
d )
3
mit M
3,0
d q0(
d ) d( d )
M
3,0
dmin
M
3,0
d
max
1
( d
a
dmin
5
d
4
d
max
) d( d
1 d
)
a
6
6
d
5
d
5
max
dmax
0
3
d
5
max

6 d ( d d
3
q
0( d ) dmax
0
max
)
mit
mit
0 d d
d d
max
max
30 d
q ( d )
3
4
( d d
d
6
max
max
)
q ( d )
3
30
d
max
d
d
max
5
d
d
max
4
Q ( d )
3
d
q ( d
3
dmin
) d( d
)
d
Q
3(
d )
dmin
30
d
max
d
d
max
5
d
d
max
4
3
d( d
1
) 30
6
d
d
max
6
1
5
d
d
max
d
5
dmin
Q
3(
d ) 5
d
d
max
6
6
d
d
max
5
c) Welche Oberfläche besitzt die Masse m eines solchen Pulvers mit der Feststoffdichte ρ S .
spezifische Oberfläche des Quaders Q:
A
S ,m,Q
A
S V,
S
,Q
AS ,G
V
S
G
N AQ
N V
S
Q
A
2
2
2 3 3
Q
2 d 2 d d 4 10 d VQ
2 d d 2 d d
A
S ,m,Q
N
S
dmax
N
10 d
dmin
0
dmax
dmin
2
2 d
q
3
0
q
( d ) d( d
0
)
( d ) d( d
)
5
S
M
M
2,0
3,0
dmax
2
M
2,0
d q
dmin
0
( d ) d( d
)
M
2,0
dmax
6 d
dmin
3
( d d
d
3
max
max
)
d( d
6
)
d
3
max
5
d
5
d
max
4
d
4
dmax
dmin
3 2
M
2,0
d sowie
max
10
M
3,0
3
d
5
max
A
S ,m,Q
15
2
S
1
d
max
15 m 1
A
2
S
d max

d) Eine Probe des Pulvers wird nun in eine Flüssigkeit eingebracht, in der sich die Kristalle nicht
auflösen und somit eine stark verdünnte Suspension ergeben. Diese Suspension wird dann mittels
einer Sedimentationsapparatur untersucht, dessen Detektor einzelne Partikeln zählt und für
jede Partikel ein Spannungssignal U aufnimmt, welches proportional zum Volumen der Partikel
ist, d.h.: U = k · d 3 .
Berechnen Sie die mit diesem Gerät gemessene Partikelgrößenverteilungsdichte q 0 (U).
3
Signal: U k d
3
0
U0 k d max
3
dmax
d U
2
Anstieg des Signals: 3 k d
d( d )
q ( d ) d( d ) q0(U ) d(U )
U
3
k d k d
0
q0( d ) d( d ) q0(U ) d(U )
q (U )
0
q0(
d )
d U /
d( d
6 d ( d d
) d
3
max
max
) 1
3 k d
2
U0
U
2
U
1/ 3
0
1
U
Q
0(U ) q0(U ) d(U ) 2
0
U
U
0
2 / 3
2
3
U
U
0
Q0
(U ) 3
U
U
0
2 / 3
2
U
U
0
e) Im folgenden wird ein Pulver betrachtet, dessen maximale Partikelgröße d max 6 mm beträgt.
Dieses Pulver wird einer Siebanalyse untersucht. Dabei soll es sich um eine ideale Siebung handeln,
d.h. jeweils alle Partikeln mit d < w (w Maschenweite des Siebbodens) sind durch das jeweilige
Sieb gefallen. Daraus ergeben sich folgende Werte:
Tab. 1: Siebanalyse des Partikelkollektives.
Nummer des Siebes 1 2 3 4 5 6 7
Maschenweite des Siebbodens
6 5 4 3 2 1 0
w in mm
Masse der Partikelfraktion 0,0 2,632 3,856 2,418 0,915 0,172 0,007
in g
Partikelgrößenverteilung
Q 3 (d) in %
100,0 73,68 35,12 10,94 1,79 0,07 0
Berechnen Sie die Partikelgrößenverteilung Q 3 (d).

d
Q ( d ) q ( d ) d( d )
3
3
dmin
n
i1
3,i
m
i
3,i
n
mi
i1
Ihr Vorgesetzter in der Firma verlangt nun von Ihnen, daß Sie aus diesen Daten (Tab. 1) die
Partikelgrößenverteilungsdichte q 0 (d) bestimmen sollen. Obwohl Sie wissen, daß dies mit signifikanten
Fehlern verbunden sein kann, folgen Sie der Anordnung:
Berechnen Sie q 0 (d) der Siebanalyse und tragen Sie die jeweiligen Werte in die untenstehende
Tabelle 2 ein. Stellen Sie das Ergebnis als Balkendiagramm graphisch dar. Vergleichen Sie das
Ergebnis der Siebanalyse mit der „wahren“ Partikelgrößenverteilungsdichte, die durch q 0 (U) gegeben
ist. Begründen Sie die erhaltenen Abweichungen.
Tab. 2: Berechnungen zur Partikelgrößenverteilungsdichte q 0 (d) der Siebanalyse
Partikeldurchmesser d i in mm 0 1 2 3 4 5 6
q 3 (d) in mm -1 0,0007 0,0172 0,915 0,2418 0,3856 0,2632
d m,i in mm 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5
q 0 (d) in mm -1 0,1999 0,1819 0,2091 0,2013 0,1510 0,0564
q ( d d
3
i
i1
Q
3( di
) Q
3( d
)
d d
i
i1
i1
)
q ( d )
0
3
d
dmax
q3(
d )
3
mit M
3,3
d q3( d ) d( d )
M
3,3
dmin
q ( d
0
d
q ( d d
)
3
N
m,i 3 i i1
3
i
di1
)
M
3 ,3
dm,i
q3(
di
di1
)
M
3,3
i1
d
d
i 1
m,i
di
2
Partikelgrößenverteilungsdichte q 0 (d) in mm -1
0.3
0.2
0.1
q 0 (U) mit Hilfe der Sedimentationapparatur
q 0 (d) mit Hilfe der Siebung
0.0
0 1 2 3 4 5 6
Partikeldurchmesser d in mm
Abb.: Darstellung der Partikelgrößenverteilungsdichten q 0 (d) bzw. q 0 (U), ermittelt aus der
Siebanalyse und aus den Sedimentationsuntersuchungen

Begründung der Abweichung:
Alle Partikel einer Klasse werden einem Intervall zugeordnet (d i-1 … d i ) bei der Siebanalyse, auf
Grund der starken Nichtlinearität (dritte Potenz) zwischen q 3 (d) und q 0 (d) stellt dies auch innerhalb
eines Intervalls eine starke Vereinfachung dar, insbesondere weil eine recht grobe Intervallteilung
vorgenommen wurde.
Feine Partikel tragen auch bei sehr geringer Masse oft einen großen Anteil zur Partikelanzahl bei.
Daher wirken sich kleine Rundungsfehler bzw. Messungenauigkeiten der Wägung stark auf das
Ergebnis aus.
Aufgabe 3:
Das am Lehrstuhl für Mechanische Verfahrenstechnik verfügbare Laserbeugungsspektrometer nutzt die
Intensitätsverteilung der Fraunhofer-Beugung, um die Partikelgrößenverteilungsdichte q 0 (d) eines Partikelkollektives
zu bestimmen. Die Intensitätsverteilung I(N, D, d) lässt sich für N Partikel mit dem
Durchmesser d durch folgende Gleichung beschreiben,
I( N ,D,d
) N
dmax
q
0
dmin
( d )I( D,d )d( d
)
Die obige Gleichung stellt eine Fredholmsche Integralgleichung dar, die hinsichtlich q 0 (d) zu lösen ist.
Für die Intensität I(D, d) gelten die nachfolgenden Gleichungen
I( D,d )
I
0
2
d
4 f
2
2J1(
)
2
d D
f
Hierbei stellen J 1 (ξ) eine Bessel-Funktion erster Art und erster Ordnung, D den Abstand des jeweiligen
Beugungspunktes vom Mittelpunkt des radialen Detektors, λ die Wellenlänge des Lichtes und f die
Brennweite der Fourier-Linse dar.
Diskutieren Sie die Lösungsmöglichkeiten der Fredholmsche Integralgleichung!
Beginnen wir mit einem mathematischen Einschub:

a
Eine Gleichung der Form
K ( x,z ) f ( z ) dz g( x ) bezeichnet man als Fredholmsche Integralgleichung
erster Art, wobei f(z) die gesuchte Funktion, K(x,z) der sogenannte Kern der Integralgleichung
und g(x) die gemessene (bekannte) Funktion ist. Die obige Gleichung zur Auswertung der Fraunhoferdmax
Beugung entspricht eben gerade dieser Form,
N I( D,d ) q0( d ) d( d ) I( N,D,d ) .
dmin
Betrachten wir das Detektorsystem eines Laserbeugungsgerätes zur Messung des Fraunhofer-
Beugungsmusters (radiale Hell-Dunkel-Verteilung, radiale Maxima-Minima-Verteilung), so besteht
dieses aus j verschiedenen Detektor-Kreisringen der Brennebene mit den Radien D j bis D j+1 , wobei jeder
die Lichtleistung L(ΔD j ). (Lichtleistung ist die differentielle Energiemenge, Strahlungsenergie, die pro
Zeiteinheit mittels elektromagnetischer Wellen transportiert wird).
Die in einen Kreisring einfallende Lichtleistung kann durch Integration der lokalen Intensitäten über die
Fläche des Kreisringes berechnet werden:
2
D
L(
D
) N q0(
d ) I(
j
0
j1
dmax
D j
dmin
D,d ) d( d ) D d( D )
d
Hierbei wurden die kartesischen Koordinaten durch Polarkoordinaten ersetzt:
x D cos bzw.
y D sin , so das dx D cos . Bei der Integration werden keine kleinen Flächenelemente dx dy
als Rechtecke oder Quadrate integriert, sondern Ringteilflächen D d( D ) d
!
Die Integration im allgemeinen Fall ergibt:
L(
dmax
D
j
)
dmin
N q ( d ) L( D
0
j
,d
) d( d
)
, wobei
d D
j d D
j d D
j1
d D
2 2
0
2
0
j1
L( D ,d ) I d J
J
J
J
ist.
j
0
0
1
0
1
2 f f f f
Die Integration zur Berechnung von L(ΔD j ,d) erfolgte für φ von 0 bis 2π und für D von D j bis D j+1 , wobei
für die Integration der Bessel-Funktion gilt:
D j 1
2
J1
( x ) 1
2
dx
0
1
x 2
D j
2
J ( x ) J (
x )
J 1 (x) ist die Bessel-Funktion erster Ordnung, J 0 (x) die Bessel-Funktion nullter Ordnung. Die numerischen
Werte sind tabelliert und stellen die Lösung der Besselschen Differentialgleichung dar.

d
dmin
max
Die Gleichung L(
D
j
) N q0(
d ) L( D
j
,d ) d( d ) ist im allgemeinen Fall für q 0 (d) nicht analytisch
lösen, so dass das Integral durch eine Summation über M Teilschritte ersetzt werden muss. Damit
folgt
L( D
L( D
M
di
1
j
) N q0(
d ) L( D
j
,d ) d( d )
i 1 di
M
di
1
j
) N q0( di
) L( D
j
,d ) d( d )
i 1
di
Wenn
d D
2 2
j
L( D
,d ) I d J
j
0
0
2 f
so gilt:
M
L(
D ) N q ( d ) L( D
,d ) d
j
i 1
0
i
j
und
J
0
1
d D
f
j
J
2
0
d D
f
j1
J
0
1
d D
f
j1
konstant ist,
Damit wurde die Fredholmsche Integralgleichung auf ein lineares Gleichungssystem zurückgeführt, das
mit den klassischen mathematischen Ansätzen gelöst werden kann. Allerdings können kleinste Schwankungen
der gemessenen Beugungsintensitäten große numerische Probleme bereiten. Eine Verbesserung
des Lösungsverhaltens ist möglich durch Verwendung bekannter analytischer Partikelgrößenverteilungen,
wie GGS-, RRSB- oder LNVT, oder durch iterative (Provencher) bzw. glättende Methoden (Philips,
Twomey).
Wenn Sie mehr wissen wollen:
M. Heuer: Verfahren zur Berechnung der Partikelgrößenverteilungen aus Beugungsspektren, Vortrag,
Fachtagung „Granulometrie“, 15.12.1983, Dresden
S. Röthele, H. Naumann, M. Heuer: Die Anwendung der Fraunhofer-Beugung unter 1 μm zur Partikelgrößenanalyse
von 0,1μm bis 2000 μm, 4. Europäisches Symposium Partikelmesstechnik, 19.-
21.04.1989, Nürnberg