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Aufgabe 1:<br />
In der mechanischen Verfahrenstechnik werden häufig analytische Funktionen, wie die RRSB (Rosin-<br />
Rammler-Sperling-Bennett)- oder die GGS (Gates, Gaudin, Schuhmann)-Verteilung benutzt, um Partikelgrößenverteilungen<br />
zu beschreiben. Sind die entsprechenden Parameter dieser analytischen Funktion<br />
bekannt, können daraus direkt charakteristische Kennwerte der Partikelgrößenverteilung erhalten werden.<br />
Berechnen Sie ausgehend von der RRSB-Verteilung (Gl.1) und der GGS-Verteilung (Gl. 2) die entsprechenden<br />
mathematische Beziehungen für den Medianwert d 50,3 , den Modalwert d h,3 , den Erwartungswert<br />
(Mittelwert) d m,3 sowie den Sauter-Durchmesser d ST .<br />
n<br />
d <br />
Q <br />
3(<br />
d ) 1 exp <br />
(1)<br />
<br />
<br />
d63,3<br />
<br />
k<br />
d <br />
Q<br />
3( d ) 0,8 <br />
(2)<br />
d<br />
80,3 <br />
Lösung:<br />
Der Medianwert d 50,3 kann aus Q 3 (d) ermittelt werden, wobei Q3(<br />
d50,<br />
3<br />
) 0, 5 ist. Damit folgt<br />
für die RRSB-Gleichung:<br />
für die GGS-Gleichung:<br />
n<br />
d <br />
d <br />
50,3<br />
50,3<br />
1 exp<br />
0,5<br />
0,8 0, 5<br />
<br />
d<br />
63,3 <br />
<br />
<br />
d<br />
80,3<br />
<br />
<br />
k<br />
d<br />
exp<br />
<br />
<br />
d<br />
<br />
50,3<br />
63,3<br />
n<br />
<br />
<br />
0,5<br />
<br />
<br />
d<br />
<br />
d<br />
50,3<br />
80,3<br />
k<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
5<br />
8<br />
d<br />
<br />
d<br />
50,3<br />
63,3<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
ln 0,5<br />
d<br />
50,3<br />
d<br />
80,3<br />
5 <br />
<br />
8 <br />
1/ k<br />
d<br />
<br />
d<br />
d<br />
50,3<br />
63,3<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
ln 2<br />
50,3<br />
d63,3<br />
ln 2<br />
<br />
1/ n
Der Modalwert d h,3 stellt das Maximum der Partikelgrößenverteilungsdichte q 3 (d) dar, wobei für q 3 (d)<br />
gilt:<br />
dQ<br />
3( d )<br />
q3( d ) .<br />
d( d )<br />
Damit ist:<br />
für die RRSB-Gleichung:<br />
für die GGS-Gleichung:<br />
n<br />
k1<br />
n<br />
<br />
n1<br />
d<br />
d 1<br />
q <br />
<br />
3( d ) d exp<br />
q <br />
n<br />
d<br />
<br />
3( d ) 0,8<br />
<br />
63,3<br />
<br />
d<br />
k<br />
63,3 <br />
d80,3<br />
d80,3<br />
q ( d ) <br />
3<br />
n<br />
d<br />
63,3<br />
d<br />
<br />
d<br />
63,3<br />
<br />
<br />
<br />
n1<br />
<br />
exp<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
d<br />
63,3<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
q ( d ) <br />
3<br />
0,8 k <br />
<br />
d<br />
80,3 <br />
d<br />
d<br />
80,3<br />
<br />
<br />
<br />
k 1<br />
Für das Maximum gilt:<br />
d 3<br />
q ( d ) 0<br />
d( d )<br />
für die RRSB-Gleichung:<br />
dq3( d )<br />
<br />
d( d )<br />
n<br />
d<br />
63,3<br />
<br />
<br />
d<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
63,3<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
( n 1)<br />
<br />
d<br />
d<br />
exp<br />
<br />
<br />
d<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
<br />
<br />
d<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
exp<br />
<br />
<br />
d<br />
n<br />
<br />
n<br />
<br />
(<br />
1)<br />
<br />
d<br />
<br />
n2<br />
n<br />
n1<br />
n1<br />
63,3<br />
63,3<br />
63,3<br />
63,3<br />
63,3<br />
d<br />
<br />
d<br />
63,3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dq3( d )<br />
<br />
d( d )<br />
n<br />
d<br />
63,3<br />
d<br />
exp<br />
<br />
<br />
d<br />
63,3<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
<br />
<br />
d<br />
63,3<br />
<br />
<br />
<br />
n1<br />
<br />
1<br />
d<br />
<br />
d<br />
( n 1)<br />
n <br />
<br />
d<br />
63,3<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
n1<br />
n<br />
für n > 1 ist<br />
n<br />
d d 1<br />
<br />
exp<br />
<br />
0 , somit muss<br />
d <br />
<br />
d63,3<br />
<br />
d<br />
63,3 d<br />
( n 1) n <br />
0 sein.<br />
63,3 d<br />
<br />
<br />
d<br />
63,3 <br />
<br />
<br />
d<br />
( n 1) n <br />
d<br />
h<br />
63,3<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
d<br />
<br />
d<br />
h<br />
63,3<br />
n<br />
n 1<br />
<br />
<br />
n<br />
d<br />
d<br />
h<br />
63,3<br />
n 1<br />
<br />
n <br />
1/ n<br />
d d<br />
h<br />
63,3<br />
n 1<br />
<br />
<br />
n <br />
1/ n
für die GGS-Gleichung:<br />
dq ( d )<br />
<br />
d( d )<br />
0,8 k d<br />
<br />
d<br />
80,3 d<br />
80,3<br />
<br />
<br />
<br />
k2<br />
1<br />
( k 1)<br />
<br />
d<br />
80,3<br />
0,8 k( k 1)<br />
d<br />
<br />
<br />
2<br />
d<br />
80,3 d<br />
80,3<br />
k2<br />
0,8 k( k 1)<br />
d<br />
<br />
<br />
2<br />
d<br />
d<br />
80,3<br />
k<br />
k ( k 1)<br />
<br />
2<br />
d<br />
3<br />
<br />
dq3( dh<br />
) k ( k 1)<br />
Q 3( d ) 0<br />
2<br />
d( d ) d<br />
h<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Q ( d )<br />
3<br />
für k > 1 wird<br />
k ( k 1)<br />
Q 3( d ) nur 0, wenn Q<br />
2<br />
3 (d) = 0 ist, d.h. d = d min<br />
d<br />
h<br />
Für den Erwartungswert d m,3 (Mittelwert) gilt:<br />
d<br />
m,3<br />
dmax<br />
d q3<br />
dmin<br />
( d ) d( d<br />
)<br />
Somit folgt für die RRSB-Verteilung:<br />
d<br />
n1<br />
n<br />
max<br />
n d d<br />
d<br />
d <br />
,3<br />
exp<br />
d( d )<br />
m<br />
d d<br />
d<br />
dmin<br />
63,3 63,3<br />
63,3 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
m,3<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
n <br />
<br />
d<br />
d<br />
63,3<br />
n<br />
<br />
exp<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
d<br />
63,3<br />
n<br />
<br />
<br />
d( d )<br />
<br />
<br />
hier ist eine Substitution nötig:<br />
n<br />
n1<br />
d <br />
<br />
t , d.h.<br />
d n<br />
d dt <br />
d( d )<br />
63,3 <br />
d<br />
63,3 d63,3<br />
bzw.<br />
d<br />
d( d ) <br />
n<br />
63,3<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
d<br />
63,3<br />
<br />
<br />
<br />
1n<br />
d t<br />
weiterhin folgt aus<br />
n<br />
d <br />
<br />
t die Beziehung<br />
d <br />
1/ n<br />
<br />
d t<br />
63,3 <br />
d<br />
63,3 <br />
so dass<br />
d<br />
m,3<br />
d<br />
<br />
<br />
63,3<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
d<br />
63,3<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
d<br />
63,3<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
d<br />
63,3<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
<br />
exp<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
d<br />
63,3<br />
n<br />
<br />
<br />
d t d<br />
<br />
<br />
<br />
1/ n<br />
63,3 t<br />
0<br />
<br />
exp t<br />
dt<br />
Wie man noch aus der Mathematikvorlesung weiß, gilt<br />
<br />
1x<br />
( x ) exp ( t<br />
) t dt wobei ( x )<br />
0<br />
die Gamma-Funktion ist. Weiterhin kann man schreiben
0<br />
1n'<br />
( n' ) exp ( t<br />
) t dt mit<br />
(1<br />
<br />
1<br />
n<br />
) <br />
<br />
<br />
0<br />
exp ( t<br />
) t<br />
1/ n<br />
Somit haben wir die Lösung:<br />
dt<br />
n'<br />
1 <br />
1<br />
n<br />
, damit ist<br />
dm,3<br />
63, 3<br />
d (1 <br />
1<br />
n<br />
)<br />
für die GGS-Verteilung:<br />
d<br />
m,3<br />
dmax<br />
d q3<br />
dmin<br />
( d ) d( d<br />
)<br />
d<br />
m,3<br />
<br />
dmax<br />
<br />
dmin<br />
0,8 k <br />
d <br />
d<br />
80,3 <br />
d<br />
d<br />
80,3<br />
<br />
<br />
<br />
k 1<br />
d( d<br />
0,8 k<br />
) <br />
d<br />
k<br />
80,3<br />
dmax<br />
k<br />
<br />
dmin<br />
d d( d ) <br />
d<br />
0,8 k<br />
d<br />
( k 1)<br />
k<br />
80,3<br />
k 1<br />
dmax<br />
dmin<br />
<br />
( k<br />
k <br />
0,8 <br />
1)<br />
<br />
d<br />
d<br />
80,3<br />
k<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
dmax<br />
dmin<br />
d<br />
m,3<br />
k <br />
0,8 <br />
( k 1)<br />
<br />
d<br />
d<br />
80,3<br />
k<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
dmax<br />
dmin<br />
<br />
( k<br />
k<br />
Q<br />
3(<br />
d ) d<br />
1)<br />
dmax<br />
dmin<br />
d<br />
m,3<br />
k<br />
d<br />
( k 1)<br />
max<br />
Wenn d max unbekannt ist, so folgt aus<br />
Q ( d<br />
k<br />
d <br />
max<br />
) 0,8 <br />
1 die Beziehung<br />
d<br />
80,3 <br />
3 max<br />
<br />
d<br />
<br />
d<br />
max<br />
80,3<br />
k<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
5<br />
4<br />
1 / k<br />
bzw. 5 <br />
dmax<br />
d80,<br />
3<br />
4 <br />
. Somit ist<br />
d<br />
m,3<br />
k 5 <br />
<br />
( k 1) 4 <br />
1 / k<br />
d<br />
80,3<br />
Wenn Sie noch nicht müde sind, könnten wir noch den Sauter-Durchmesser d ST ausrechnen:<br />
d<br />
ST<br />
<br />
dmax<br />
<br />
dmin<br />
1<br />
q3(<br />
d )<br />
d<br />
d( d<br />
)<br />
für die RRSB-Verteilung:
max<br />
min<br />
d<br />
d<br />
n<br />
63,3<br />
1<br />
n<br />
63,3<br />
63,3<br />
ST<br />
)<br />
d<br />
d(<br />
d<br />
d<br />
exp<br />
d<br />
d<br />
d<br />
n<br />
d<br />
1<br />
1<br />
d<br />
hier ist wieder eine Substitution nötig:<br />
n<br />
d 63,3<br />
d<br />
t<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
, d.h. )<br />
d( d<br />
d<br />
n<br />
d<br />
d<br />
dt<br />
63,3<br />
1<br />
n<br />
63,3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
bzw.<br />
dt<br />
d<br />
1<br />
n<br />
d<br />
d<br />
d<br />
d<br />
)<br />
d<br />
(<br />
d 3<br />
63,<br />
1 )<br />
n<br />
(<br />
63,3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
max<br />
min<br />
d<br />
d<br />
n<br />
63,3<br />
1<br />
63,3<br />
63,3<br />
ST<br />
t<br />
d<br />
d<br />
d<br />
exp<br />
d<br />
d<br />
d<br />
d<br />
, aus n<br />
1/<br />
63,3<br />
t<br />
d<br />
d<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
folgt die Gleichung<br />
n<br />
1/<br />
1<br />
63,3<br />
t<br />
d<br />
d<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
, so dass<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
max<br />
min<br />
d<br />
d<br />
n<br />
1/<br />
63,3<br />
ST<br />
t<br />
d<br />
t<br />
exp<br />
t<br />
d<br />
d<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
n'<br />
1<br />
dt<br />
t<br />
)<br />
t<br />
exp (<br />
)<br />
( n'<br />
mit<br />
n<br />
1<br />
1<br />
'<br />
n<br />
<br />
bzw.<br />
n<br />
1<br />
n'<br />
1 <br />
<br />
<br />
. Damit ist<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
n<br />
1/<br />
dt<br />
t<br />
)<br />
t<br />
exp (<br />
)<br />
n<br />
1<br />
(1<br />
<br />
Somit haben wir die Lösung:<br />
)<br />
n<br />
1<br />
(1<br />
d<br />
d<br />
63,3<br />
ST<br />
<br />
<br />
<br />
für die GGS-Verteilung:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
max<br />
min<br />
max<br />
min<br />
max<br />
min<br />
d<br />
d<br />
2<br />
k<br />
k<br />
80,3<br />
d<br />
d<br />
2<br />
k<br />
80,3<br />
d<br />
d<br />
1<br />
k<br />
80,3<br />
80,3<br />
ST<br />
)<br />
d( d<br />
d<br />
d<br />
k<br />
0,8<br />
1<br />
)<br />
d<br />
d(<br />
d<br />
k<br />
d<br />
d<br />
0,8<br />
1<br />
)<br />
d<br />
d(<br />
d<br />
1<br />
d<br />
d<br />
d<br />
k<br />
0,8<br />
1<br />
d<br />
max<br />
max<br />
d<br />
d<br />
3<br />
d<br />
d<br />
k<br />
80,3<br />
d<br />
d<br />
1<br />
k<br />
k<br />
80,3<br />
ST<br />
d<br />
k<br />
1<br />
k<br />
d<br />
1<br />
k<br />
k<br />
1<br />
)<br />
d<br />
Q (<br />
1<br />
k<br />
k<br />
1<br />
d<br />
1<br />
d<br />
d<br />
0,8<br />
1<br />
k<br />
k<br />
1<br />
d<br />
1)<br />
k<br />
(<br />
d<br />
k<br />
0,8<br />
1<br />
d<br />
max<br />
min<br />
max<br />
min<br />
max<br />
min<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
80,3<br />
k<br />
1/<br />
ST<br />
d<br />
4<br />
5<br />
k<br />
1<br />
1<br />
d
Aufgabe 2:<br />
Gegeben ist ein Pulver von quaderförmigen Kristallen. Diese lassen sich durch eine Kantenlänge d der<br />
quadratischen Querschnittsfläche charakterisieren. Die Länge der Kristalle beträgt 2d.<br />
d<br />
2 d<br />
Die Größenverteilung lässt sich durch folgende Anzahldichteverteilung q 0 (d) beschreiben:<br />
<br />
d (<br />
d dmax<br />
)<br />
<br />
mit 0 d dmax<br />
q<br />
0(<br />
d ) a<br />
(3)<br />
<br />
0<br />
mit d dmax<br />
Lösung:<br />
a) Bestimmen Sie den Parameter a in Abhängigkeit von der maximalen Partikelgröße d max .<br />
d max<br />
q<br />
Normierung: ( d ) d( d ) 1<br />
<br />
0<br />
0<br />
<br />
dmax<br />
<br />
0<br />
2<br />
dmax<br />
max<br />
max<br />
d d<br />
d<br />
<br />
<br />
a a<br />
3 2<br />
d d d<br />
d( d ) <br />
3a 2a<br />
0<br />
3<br />
d<br />
<br />
3a<br />
max<br />
3<br />
d<br />
<br />
2a<br />
max<br />
3<br />
d<br />
<br />
6a<br />
max<br />
1<br />
Somit:<br />
1 3<br />
a d max<br />
6<br />
b) Wie lauten die Partikelgrößenverteilung Q 3 (d) und die Partikelgrößenverteilungsdichte q 3 (d).<br />
q ( d )<br />
3<br />
3<br />
dmax<br />
d q0(<br />
d )<br />
3<br />
mit M<br />
3,0<br />
d q0(<br />
d ) d( d )<br />
M<br />
<br />
3,0<br />
dmin<br />
M<br />
3,0<br />
d<br />
max<br />
1<br />
( d<br />
a<br />
<br />
dmin<br />
5<br />
d<br />
4<br />
d<br />
max<br />
) d( d<br />
1 d<br />
) <br />
a<br />
<br />
6<br />
6<br />
d<br />
<br />
5<br />
d<br />
5<br />
max<br />
<br />
<br />
<br />
dmax<br />
0<br />
<br />
3<br />
d<br />
5<br />
max
6 d ( d d<br />
<br />
3<br />
q<br />
0( d ) dmax<br />
<br />
0<br />
max<br />
)<br />
mit<br />
mit<br />
0 d d<br />
d d<br />
max<br />
max<br />
30 d<br />
q ( d ) <br />
3<br />
4<br />
( d d<br />
d<br />
6<br />
max<br />
max<br />
)<br />
q ( d ) <br />
3<br />
30<br />
d<br />
max<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
d<br />
max<br />
5<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
d<br />
max<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
Q ( d ) <br />
3<br />
d<br />
<br />
q ( d<br />
3<br />
dmin<br />
) d( d<br />
)<br />
d<br />
Q<br />
3(<br />
d ) <br />
dmin<br />
30<br />
d<br />
max<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
d<br />
max<br />
<br />
<br />
<br />
5<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
d<br />
max<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
d( d<br />
1 <br />
) 30 <br />
6<br />
<br />
<br />
d<br />
d<br />
max<br />
6<br />
<br />
<br />
<br />
1 <br />
<br />
5<br />
<br />
<br />
d<br />
d<br />
max<br />
d<br />
5<br />
<br />
<br />
<br />
dmin<br />
<br />
Q<br />
3(<br />
d ) 5<br />
<br />
<br />
d<br />
d<br />
max<br />
6<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
6<br />
<br />
<br />
d<br />
d<br />
max<br />
5<br />
<br />
<br />
<br />
c) Welche Oberfläche besitzt die Masse m eines solchen Pulvers mit der Feststoffdichte ρ S .<br />
spezifische Oberfläche des Quaders Q:<br />
A<br />
S ,m,Q<br />
<br />
A<br />
S V,<br />
<br />
S<br />
,Q<br />
AS ,G<br />
<br />
V<br />
S<br />
G<br />
N AQ<br />
<br />
N V<br />
S<br />
Q<br />
A<br />
2<br />
2<br />
2 3 3<br />
Q<br />
2 d 2 d d 4 10 d VQ<br />
2 d d 2 d d<br />
A<br />
S ,m,Q<br />
<br />
N <br />
S<br />
dmax<br />
<br />
N <br />
10 d<br />
dmin<br />
0<br />
dmax<br />
<br />
dmin<br />
2<br />
2 d<br />
q<br />
3<br />
0<br />
q<br />
( d ) d( d<br />
0<br />
)<br />
( d ) d( d<br />
)<br />
5<br />
<br />
<br />
S<br />
M<br />
M<br />
2,0<br />
3,0<br />
dmax<br />
2<br />
M<br />
2,0<br />
d q<br />
dmin<br />
0<br />
( d ) d( d<br />
)<br />
M<br />
2,0<br />
dmax<br />
6 d<br />
<br />
dmin<br />
3<br />
( d d<br />
d<br />
3<br />
max<br />
max<br />
)<br />
d( d<br />
6<br />
) <br />
d<br />
3<br />
max<br />
<br />
<br />
<br />
5<br />
d<br />
5<br />
d<br />
max<br />
4<br />
d <br />
<br />
4 <br />
dmax<br />
dmin<br />
3 2<br />
M<br />
2,0<br />
d sowie<br />
max<br />
10<br />
M<br />
3,0<br />
<br />
3<br />
d<br />
5<br />
max<br />
A<br />
S ,m,Q<br />
15<br />
<br />
2 <br />
S<br />
1<br />
d<br />
max<br />
15 m 1<br />
A <br />
2 <br />
S<br />
d max
d) Eine Probe des Pulvers wird nun in eine Flüssigkeit eingebracht, in der sich die Kristalle nicht<br />
auflösen und somit eine stark verdünnte Suspension ergeben. Diese Suspension wird dann mittels<br />
einer Sedimentationsapparatur untersucht, dessen Detektor einzelne Partikeln zählt und für<br />
jede Partikel ein Spannungssignal U aufnimmt, welches proportional zum Volumen der Partikel<br />
ist, d.h.: U = k · d 3 .<br />
Berechnen Sie die mit diesem Gerät gemessene Partikelgrößenverteilungsdichte q 0 (U).<br />
3<br />
Signal: U k d<br />
3<br />
0<br />
U0 k d max<br />
3<br />
dmax<br />
d U<br />
2<br />
Anstieg des Signals: 3 k d<br />
d( d )<br />
q ( d ) d( d ) q0(U ) d(U )<br />
U<br />
3<br />
k d k d<br />
0<br />
q0( d ) d( d ) q0(U ) d(U )<br />
q (U )<br />
0<br />
q0(<br />
d )<br />
<br />
d U /<br />
d( d<br />
6 d ( d d<br />
<br />
) d<br />
3<br />
max<br />
max<br />
) 1<br />
<br />
3 k d<br />
2<br />
U0<br />
<br />
<br />
U<br />
2<br />
<br />
U<br />
1/ 3<br />
0<br />
1<br />
U<br />
<br />
Q<br />
<br />
<br />
0(U ) q0(U ) d(U ) 2<br />
0<br />
<br />
<br />
U<br />
U<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
2 / 3<br />
<br />
2<br />
3<br />
<br />
U<br />
U<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Q0<br />
(U ) 3<br />
<br />
<br />
U<br />
U<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
2 / 3<br />
2<br />
U<br />
U<br />
0<br />
e) Im folgenden wird ein Pulver betrachtet, dessen maximale Partikelgröße d max 6 mm beträgt.<br />
Dieses Pulver wird einer Siebanalyse untersucht. Dabei soll es sich um eine ideale Siebung handeln,<br />
d.h. jeweils alle Partikeln mit d < w (w Maschenweite des Siebbodens) sind durch das jeweilige<br />
Sieb gefallen. Daraus ergeben sich folgende Werte:<br />
Tab. 1: Siebanalyse des Partikelkollektives.<br />
Nummer des Siebes 1 2 3 4 5 6 7<br />
Maschenweite des Siebbodens<br />
6 5 4 3 2 1 0<br />
w in mm<br />
Masse der Partikelfraktion 0,0 2,632 3,856 2,418 0,915 0,172 0,007<br />
in g<br />
Partikelgrößenverteilung<br />
Q 3 (d) in %<br />
100,0 73,68 35,12 10,94 1,79 0,07 0<br />
Berechnen Sie die Partikelgrößenverteilung Q 3 (d).
d<br />
<br />
<br />
Q ( d ) q ( d ) d( d ) <br />
3<br />
3<br />
dmin<br />
n<br />
i1<br />
3,i<br />
<br />
m<br />
i<br />
3,i<br />
n<br />
mi<br />
i1<br />
Ihr Vorgesetzter in der Firma verlangt nun von Ihnen, daß Sie aus diesen Daten (Tab. 1) die<br />
Partikelgrößenverteilungsdichte q 0 (d) bestimmen sollen. Obwohl Sie wissen, daß dies mit signifikanten<br />
Fehlern verbunden sein kann, folgen Sie der Anordnung:<br />
Berechnen Sie q 0 (d) der Siebanalyse und tragen Sie die jeweiligen Werte in die untenstehende<br />
Tabelle 2 ein. Stellen Sie das Ergebnis als Balkendiagramm graphisch dar. Vergleichen Sie das<br />
Ergebnis der Siebanalyse mit der „wahren“ Partikelgrößenverteilungsdichte, die durch q 0 (U) gegeben<br />
ist. Begründen Sie die erhaltenen Abweichungen.<br />
Tab. 2: Berechnungen zur Partikelgrößenverteilungsdichte q 0 (d) der Siebanalyse<br />
Partikeldurchmesser d i in mm 0 1 2 3 4 5 6<br />
q 3 (d) in mm -1 0,0007 0,0172 0,915 0,2418 0,3856 0,2632<br />
d m,i in mm 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5<br />
q 0 (d) in mm -1 0,1999 0,1819 0,2091 0,2013 0,1510 0,0564<br />
q ( d d<br />
3<br />
i<br />
i1<br />
Q<br />
3( di<br />
) Q<br />
3( d<br />
) <br />
d d<br />
i<br />
i1<br />
i1<br />
)<br />
q ( d )<br />
0<br />
3<br />
d<br />
<br />
dmax<br />
q3(<br />
d )<br />
3<br />
mit M<br />
3,3<br />
d q3( d ) d( d )<br />
M<br />
<br />
3,3<br />
dmin<br />
q ( d<br />
0<br />
d<br />
q ( d d<br />
)<br />
3<br />
N<br />
m,i 3 i i1<br />
3<br />
i<br />
di1<br />
) <br />
M<br />
3 ,3<br />
dm,i<br />
q3(<br />
di<br />
di1<br />
)<br />
M<br />
3,3<br />
i1<br />
d<br />
d<br />
i 1<br />
m,i<br />
<br />
di<br />
2<br />
Partikelgrößenverteilungsdichte q 0 (d) in mm -1<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
q 0 (U) mit Hilfe der Sedimentationapparatur<br />
q 0 (d) mit Hilfe der Siebung<br />
0.0<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
Partikeldurchmesser d in mm<br />
Abb.: Darstellung der Partikelgrößenverteilungsdichten q 0 (d) bzw. q 0 (U), ermittelt aus der<br />
Siebanalyse und aus den Sedimentationsuntersuchungen
Begründung der Abweichung:<br />
Alle Partikel einer Klasse werden einem Intervall zugeordnet (d i-1 … d i ) bei der Siebanalyse, auf<br />
Grund der starken Nichtlinearität (dritte Potenz) zwischen q 3 (d) und q 0 (d) stellt dies auch innerhalb<br />
eines Intervalls eine starke Vereinfachung dar, insbesondere weil eine recht grobe Intervallteilung<br />
vorgenommen wurde.<br />
Feine Partikel tragen auch bei sehr geringer Masse oft einen großen Anteil zur Partikelanzahl bei.<br />
Daher wirken sich kleine Rundungsfehler bzw. Messungenauigkeiten der Wägung stark auf das<br />
Ergebnis aus.<br />
Aufgabe 3:<br />
Das am Lehrstuhl für Mechanische Verfahrenstechnik verfügbare Laserbeugungsspektrometer nutzt die<br />
Intensitätsverteilung der Fraunhofer-Beugung, um die Partikelgrößenverteilungsdichte q 0 (d) eines Partikelkollektives<br />
zu bestimmen. Die Intensitätsverteilung I(N, D, d) lässt sich für N Partikel mit dem<br />
Durchmesser d durch folgende Gleichung beschreiben,<br />
I( N ,D,d<br />
) N<br />
dmax<br />
<br />
q<br />
0<br />
dmin<br />
( d )I( D,d )d( d<br />
)<br />
Die obige Gleichung stellt eine Fredholmsche Integralgleichung dar, die hinsichtlich q 0 (d) zu lösen ist.<br />
Für die Intensität I(D, d) gelten die nachfolgenden Gleichungen<br />
I( D,d )<br />
I<br />
0<br />
2<br />
d<br />
<br />
<br />
4 f<br />
2<br />
2J1(<br />
) <br />
<br />
<br />
2<br />
d D<br />
<br />
f<br />
Hierbei stellen J 1 (ξ) eine Bessel-Funktion erster Art und erster Ordnung, D den Abstand des jeweiligen<br />
Beugungspunktes vom Mittelpunkt des radialen Detektors, λ die Wellenlänge des Lichtes und f die<br />
Brennweite der Fourier-Linse dar.<br />
Diskutieren Sie die Lösungsmöglichkeiten der Fredholmsche Integralgleichung!<br />
Beginnen wir mit einem mathematischen Einschub:
a<br />
Eine Gleichung der Form<br />
K ( x,z ) f ( z ) dz g( x ) bezeichnet man als Fredholmsche Integralgleichung<br />
erster Art, wobei f(z) die gesuchte Funktion, K(x,z) der sogenannte Kern der Integralgleichung<br />
und g(x) die gemessene (bekannte) Funktion ist. Die obige Gleichung zur Auswertung der Fraunhoferdmax<br />
Beugung entspricht eben gerade dieser Form,<br />
N I( D,d ) q0( d ) d( d ) I( N,D,d ) .<br />
dmin<br />
Betrachten wir das Detektorsystem eines Laserbeugungsgerätes zur Messung des Fraunhofer-<br />
Beugungsmusters (radiale Hell-Dunkel-Verteilung, radiale Maxima-Minima-Verteilung), so besteht<br />
dieses aus j verschiedenen Detektor-Kreisringen der Brennebene mit den Radien D j bis D j+1 , wobei jeder<br />
die Lichtleistung L(ΔD j ). (Lichtleistung ist die differentielle Energiemenge, Strahlungsenergie, die pro<br />
Zeiteinheit mittels elektromagnetischer Wellen transportiert wird).<br />
Die in einen Kreisring einfallende Lichtleistung kann durch Integration der lokalen Intensitäten über die<br />
Fläche des Kreisringes berechnet werden:<br />
2<br />
D<br />
L(<br />
D<br />
) N q0(<br />
d ) I(<br />
j<br />
<br />
0<br />
j1<br />
dmax<br />
D j<br />
<br />
dmin<br />
D,d ) d( d ) D d( D )<br />
d<br />
Hierbei wurden die kartesischen Koordinaten durch Polarkoordinaten ersetzt:<br />
x D cos bzw.<br />
y D sin , so das dx D cos . Bei der Integration werden keine kleinen Flächenelemente dx dy<br />
als Rechtecke oder Quadrate integriert, sondern Ringteilflächen D d( D ) d<br />
!<br />
Die Integration im allgemeinen Fall ergibt:<br />
L(<br />
dmax<br />
D<br />
j<br />
) <br />
dmin<br />
N q ( d ) L( D<br />
0<br />
j<br />
,d<br />
) d( d<br />
)<br />
, wobei<br />
d D<br />
j d D<br />
j d D<br />
j1<br />
d D <br />
2 2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
j1<br />
L( D ,d ) I d J<br />
<br />
J<br />
<br />
J<br />
<br />
J<br />
<br />
<br />
ist.<br />
j<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
2 f f f f <br />
Die Integration zur Berechnung von L(ΔD j ,d) erfolgte für φ von 0 bis 2π und für D von D j bis D j+1 , wobei<br />
für die Integration der Bessel-Funktion gilt:<br />
D j 1<br />
2<br />
J1<br />
( x ) 1<br />
2<br />
dx <br />
0<br />
1<br />
x 2<br />
D j<br />
2<br />
J ( x ) J (<br />
x ) <br />
J 1 (x) ist die Bessel-Funktion erster Ordnung, J 0 (x) die Bessel-Funktion nullter Ordnung. Die numerischen<br />
Werte sind tabelliert und stellen die Lösung der Besselschen Differentialgleichung dar.
d<br />
dmin<br />
max<br />
Die Gleichung L(<br />
D<br />
j<br />
) N q0(<br />
d ) L( D<br />
j<br />
,d ) d( d ) ist im allgemeinen Fall für q 0 (d) nicht analytisch<br />
lösen, so dass das Integral durch eine Summation über M Teilschritte ersetzt werden muss. Damit<br />
folgt<br />
L( D<br />
L( D<br />
M<br />
di<br />
1<br />
j<br />
) N q0(<br />
d ) L( D<br />
j<br />
,d ) d( d )<br />
i 1 di<br />
M<br />
di<br />
1<br />
j<br />
) N q0( di<br />
) L( D<br />
j<br />
,d ) d( d )<br />
i 1<br />
di<br />
Wenn<br />
d D<br />
2 2<br />
j<br />
L( D<br />
,d ) I d J<br />
<br />
j<br />
0<br />
0<br />
2 f<br />
so gilt:<br />
M<br />
L(<br />
D ) N q ( d ) L( D<br />
,d ) d<br />
j<br />
<br />
i 1<br />
0<br />
i<br />
j<br />
und<br />
<br />
J<br />
<br />
0<br />
1<br />
d D<br />
<br />
f<br />
j<br />
<br />
J<br />
<br />
2<br />
0<br />
d D<br />
<br />
f<br />
j1<br />
<br />
J<br />
<br />
0<br />
1<br />
d D<br />
<br />
f<br />
j1<br />
<br />
konstant ist,<br />
<br />
Damit wurde die Fredholmsche Integralgleichung auf ein lineares Gleichungssystem zurückgeführt, das<br />
mit den klassischen mathematischen Ansätzen gelöst werden kann. Allerdings können kleinste Schwankungen<br />
der gemessenen Beugungsintensitäten große numerische Probleme bereiten. Eine Verbesserung<br />
des Lösungsverhaltens ist möglich durch Verwendung bekannter analytischer Partikelgrößenverteilungen,<br />
wie GGS-, RRSB- oder LNVT, oder durch iterative (Provencher) bzw. glättende Methoden (Philips,<br />
Twomey).<br />
Wenn Sie mehr wissen wollen:<br />
M. Heuer: Verfahren zur Berechnung der Partikelgrößenverteilungen aus Beugungsspektren, Vortrag,<br />
Fachtagung „Granulometrie“, 15.12.1983, Dresden<br />
S. Röthele, H. Naumann, M. Heuer: Die Anwendung der Fraunhofer-Beugung unter 1 μm zur Partikelgrößenanalyse<br />
von 0,1μm bis 2000 μm, 4. Europäisches Symposium Partikelmesstechnik, 19.-<br />
21.04.1989, Nürnberg