Partikel-/Schüttgutmechanik

12
3 Einführung in die Partikel- und Schüttgutmechanik 13
3.1 Partikelmechanik und Partikelhaftkräfte in Schüttgütern 14
3.1.1 Übersicht über wesentliche Partikelhaftkräfte in Schüttgütern14
3.1.2 Physikalische Grundlagen des elastisch-plastischen & dissipativen
Kontaktverhaltens mit lastabhängiger Partikelhaftung18
3.1.2.1 Normalkraft-Weg-Beziehungen 18
3.1.2.2 Tangentialkraft-Weg-Beziehungen 18
3.1.2.3 Rollmoment-Rollwinkel-Beziehungen 18
3.1.2.4 Torsionsmoment-Drehwinkel-Beziehungen 18
3.2 Kontinuumsmechanische Grundlagen des Fließverhaltens vorverdichteter
Partikelpackungen 19
3.2.1 Zweiachsiger Spannungszustand 19
3.2.2 Kontinuumsmechanische Fließkriterien (Bruchhypothesen)24
3.2.3 Partikelmechanisch begründete Fließkriterien 29
3.2.4 Partikelmechanische Schüttguteigenschaften und Fließkennwerte
32
3.2.5 Kompressionsfunktionen, Schüttgut- und Packungsdichte 39
3.3 Messung der Fließeigenschaften von Schüttgütern 46
3.3.1 Übersicht der Meßgeräte 46
3.3.2 Meßmethodik eines direkten Scherversuches 47
3.3.3 Numerische Versuchsauswertung 50
3.4 Fließkennwerte von Schüttgütern und deren Beeinflussung 50
3.5 Tabelle mit „Datenblatt Schüttgutkennwerte“ 51
3.6 Durchströmungs-, Fluidisier- und Entlüftungsverhalten 53
3.6.1 Durchströmungsverhalten von Partikelschichten 53
3.6.2 Durchströmung von Wirbelschichten 60
3.6.3 Entlüftungsverhalten 71
3.7 Feldgleichungen des ebenen Spannungszustandes 83
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3 Einführung in die Partikel- und Schüttgutmechanik
13
− Flüssigkeit
• zur Beschreibung des Fließverhaltens Angabe der
Viskosität = f (Temperatur, Zusammensetzung) meist ausreichend
∗ horizontale Oberfläche
p
∗ keine Zugfestigkeit
∗ iso- oder hydrostatischer p
H
h
Druck:
p v
p = p = ρ ⋅ g ⋅ H ( 3.1)
H
v
h
l
Bild 3.1: Flüssigkeitsdrücke
− Festkörper
• zur Beschreibung des Festigkeitsverhaltens, gewöhnlich Druck- u.
Zugfestigkeit, und des elastischen Deformationsverhaltens, E-Modul
notwendig
∗ beliebige Oberfläche möglich
∗ p v
= m ⋅ g / A ( 3.2)
p v p h
∗ ohne Deformation p h = 0
∗ hohe Zugfestigkeit
Bild 3.2: Festkörperdrücke
− Schüttgut
p
α p h
H
p w
p v
H
Bild 3.3: Schüttgutdrücke
p w
p h p v
• charakteristische Höhenverteilung des Vertikaldruckes p v , des Horizontaldruckes
p h und des Wandreibungsdruckes p w (Wandschubspannung),
daher
∗ kegelförmig aufgeschüttete Oberfläche möglich, sog Schüttkegel
∗ geringe aber vorhandene Zugfestigkeit (siehe Abschn. Haftkräfte)
• Zur Beschreibung des Fließverhaltens eine Anzahl von Kennwerten
= f (Partikelgröße, Feuchte, Lagerzeit ...) notwendig
• sog. "4. Aggregatzustand" mit Übergänge zum Verhalten von Festkörpern
bei Zeitverfestigungen bzw. Flüssigkeiten bei Flüssigkeitssättigung
oder Wirbelschichtfluidisierung
• komplizierteste Fall zur Formulierung von Fließkriterien bzw. Fließhypothesen
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14
3.1 Partikelmechanik und Partikelhaftkräfte in Schüttgütern
− Haftkraftmechanismen an unverfestigten Partikelkontakten, siehe F 3.1
− Haftkraft = (1+κ)⋅Haftkraft im unverfestigten Zustand + κ⋅verfestigende
(äußere) Normalkraft, siehe Gl.( 3.72)
− elastisch-plastischer Kontaktverfestigungskoeffizient oder Haftkraftanstieg:
κ = tanϕ
/ tanϕ
−1
− einaxiale Druckfestigkeit
st
i
σ
c=
a1⋅σ1
+ σc,
o
− minimale Trichteröffnungsweite, siehe auch Schüttec_4.doc - bmin:
(m + 1) σc,osin2(
ϕW
+ Θ)
bmin
=
ρ ⋅g
(1 − a ⋅ff )
b
1
3.1.1 Übersicht über wesentliche Partikelhaftkräfte in Schüttgütern
1) Van-der-Waals-Kräfte
− verursacht durch elektrische Dipolmomente von Atomen und Molekülen,
siehe auch MVT_e_6.doc - Adhäsionsarbeit ff.
− geringe Richtweite, nur im unmittelbaren Kontaktbereich wirksam
− bei sehr trockenen Pulvern wirksam, werden durch Adsorptionsschichten
beeinflußt, siehe F 3.2, plastischer Repulsionskoeffizient κ p :
pVdW
CH
κ
p
= =
( 3.3)
3
p 6 ⋅ π ⋅ a ⋅ p
f
0
f
f
3
f
C H = 3...45⋅10 -20 J HAMAKER-Konstante
a ≈ a 0 = 0,3...0,4 nm Gleichgewichtsabstand (≈ Durchmesser eines
Wassermoleküls)
p ≈ ⋅ σ plastischer Fließdruck (Fließgrenze bei Zugbeanspruchung)
bzw. Materialhärte, p f ≈500 MPa für Kalkstein,
p f ≈ 20 GPa Tonerde (Korund)
dreiachsige Zugfestigkeit der unverfestigten Partikelkontakte für Van-der-
Waals-Kräfte
1− ε
F
0 H0
σ
0
= ⋅
mit ( 3.4)
2
ε0
d
CH,sfs⋅
d
r
⎡ d / d ⎤
r
F
H0
= ⋅ ⎢1
+
( 3.5)
2
2
12⋅
a
0 ⎣
( 1+
d ⋅ ) ⎥ r
/(2 a
0)
⎦
d r ≈ 0,1 µm mittlere Rauhigkeitsabmessung
d
Partikelgröße
ε 0
aus Gl.( 3.121) mit der Schüttdichte ρ b,0 einer lockeren
Aufschüttung
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2) Flüssigkeitsbrückenbindungen
− Adsorptionsschichtbereich,
‣ Dreiachsige Zugfestigkeit unverfestigter Partikelkontakte, F 3.3
1− ε σ ⎛ ⎞
Z,A
⋅ π⋅a
0
⋅ ⎜
XW
a
σ =
⎟
0
−
ε
( 3.6)
0
d ⎝ XW,m
2a
0 ⎠
d
Partikelgröße
X = m / m Wassergehalt bezogen auf trockenes Gut, für Pulver
W
W
σ Z,A ≈ 10 MPa
X
M
s
⋅ A
ist Xw ≈ 0,1 ... 0,4 % sehr gering
Zugfestigkeit einander "durchdringender" Wasseradsorptionsschichten
W S,m
W,m
= Wassergehalt für ideale Monoschichtbelegung
A
W
⋅ N
A
N A =6,024•10 23 mol -1
A W =0,126 nm 2
M w = 18 kg/kmol
A S,m
der Oberflächen der Partikeln
AVOGADRO-Zahl
Platzbedarf eines Wassermoleküls
Molmasse des Wassers
massebezogene Oberfläche des Schüttgutes
‣ Einaxiale Druckfestigkeit direkt abgeschätzt:
8,88⋅
( 1− ε)
⋅σlg
⋅sin
⋅ d ⋅( 1−
sin ϕ )
ϕ ⎛ ρ
⎜
⎝
⋅
i s
σ
c
=
0,75
⎜ X
W ⎟
( 3.7)
ε
i
ρl
σ lg =72•10 -3 J/m 2
⎞
⎟
⎠
0,75
15
Grenzflächenspannung des adsorbierten Wassers
− ab etwa einer relativen Luftfeuchte ϕ = p D /p DS = 0,8 (Dampfdruck/Sattdampfdruck)
tritt Kapillarkondensation an den Partikelkontakten ein. Das
entspricht etwa Xw = 0.3 bis 0,8 % je nach spezifischer Oberfläche eines
Pulvers, siehe Bilder F 3.4, F 3.5;
− Brückenbereich
‣ voll ausgebildete Flüssigkeitsbrücken
8,25⋅( 1− ε)( 2 − ε)
⋅σlg
⋅sin
ϕi
ρs
σ
c
=
XW
( 3.8)
ε ε ⋅d
⋅ 1−
sin ϕ ρ
( )
i
‣ gewöhnlich für Sättigungsgrad (Flüssigkeitshohlraumanteil)
ρs ( 1− ε)
⋅ X
W
S = < 0,3
( 3.9)
ρ ⋅ ε
l
‣ Berücksichtigung innerer Feuchte kapillarporöser Partikel
‣ innere Feuchte in den Kapillaren der Partikeln
‣ Kapillarkondensation beschreibbar mit der Kelvin-Gl. bei ϑ = 20° C
4
p ⎡ ⎤ ⎛
⎞
D
M
W
⋅ pK
7,389 ⋅10
= ϕ = exp⎢−
⎥ ≈ exp
⎜−
⋅ pK
⎟ ( 3.10)
pS
⎣ ρW
⋅ R ⋅ T ⎦ ⎝ bar ⎠
M W
= 18kg kmol Molmasse des Wassers
3 3
ρ
W
=10 kg m
Dichte des Kondensates (Wasser)
l
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J
R = 8,3145
allg. Gaskonstante
mol ⋅ K
16
3) Festkörperbrücken
außerordentlich problematisch für die Handhabung von Schüttgütern, Überblick
siehe F 3.6; (⇒ Folien mit Festkörperbrücken zeigen)
‣ Spannungsübertragung in den Partikelkontakten, F 3.7
a) Kristallisationsbrücken
− durch Austrocknung von Flüssigkeitsbrücken bestehend aus gesättigten
Lösungen löslicher Inhaltsstoffe des Schüttgutmaterials
− für leichtlösliche Schüttgüter als Zeitverfestigungen, F 3.8
⎡ t ⎤
σ
ct
= σDs
⋅ ( 1− ε) ⋅ YS
⋅ ( X
W0
− X
WE
) ⎢1
− exp( − ) ⎥ ( 3.11)
⎣ t
63 ⎦
σ Ds Druckfestigkeit des kristallisierenden Feststoffes (= 30
MPa für Sylvinit)
Y S =m sl /m w Sättigungslöslichkeit (= 0,341 bei 20°C für Sylvinit)
m sl
m w
X W0
X WE
t
t 63
Masse gelöster Stoff
Masse Wasser
Anfangsfeuchte
End- bzw. Gleichgewichtsfeuchte
Lagerzeit
Stofftransportwiderstand des Wassers im Schüttgut
− wenn t = t 63 sind 63 % von der Endfestigkeit erreicht t 63 = f (spez. Oberfläche,
Porosität, Temperatur, Diffusionsweg ...)
⇒ berechenbar für diffusionsgesteuerten Stofftransport, F 3.8
− Vergleich der mittels Scherzelle und einaxialen Druckfestigkeitstest gemessenen
Druckfestigkeiten, F 3.9
b) Brücken durch chemische Reaktionen
− Einbau von Wasser in das Kristallgitter, = Hydration bei hydraulischen
Bindemitteln (Zement, Gips, Aschen), Bild F 3.10
− Wassergehalte meist im Adsorptionsschichtbereich X WA ≈ 0,1 ... 0,4 %
falls nicht aus Umweltgründen Wasser zugegeben (Staubbindung)
Ms
⋅ X
WA
k
W
⋅ t
σ
ct
= σDs
⋅ ( 1− ε)
⋅ ⋅
( 3.12)
M ⋅ϑ k ⋅ t + 1
W
W
W
σ Ds ≈ 35 MPa Druckfestigkeit eines Betonmörtels B 35 aus Portlandzement
(PZ 1/35)
M w = 18 kg/kmol Molmasse des Wassers
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17
M s ≈ 5400 kg/kmol Molmasse des hydratisierten Feststoffes
ν w ≈ 64
stöchiometrischer Faktor einer Beispielreaktion des
Stoffes + ϑ ⋅ H O ⇔ hs zu hydratisiertem Gut
s
W 2
k w ≈ 97 d -1 Geschwindigkeitskonstante der Reaktion (hier z.B. Zement)
⎛ EA
⎞
k
W
= k
W∞
( Am
) ⋅ exp⎜−
⎟ ( 3.13)
⎝ R ⋅T
⎠
E A
k w∞
Aktivierungsenergie
Konstante für T → ∞
⇒ alles gültig σ ct ↔ σ Ds für spröde Materialien
c) Brücken durch Sintervorgänge
− für weiche, plastische, bzw. viskos bis viskoplastisch-fließende Materialien
z. B. Plastpulver, Futter- u. Nahrungsmittel, ab einer Temperatur von
etwa
T = (0,75 ... 0,9)⋅T m ( 3.14)
der Schmelztemperatur möglich, F 3.11
− Der innerer Reibungswinkel der Zeitverfestigung ϕ it ist physikalisch
sinnvoll über eine Beziehung mit dem stationären Reibungswinkel ϕ st
verknüpft, siehe auch Gl.( 3.104):
tan ϕ
st
= ( 1+ κ + κt
) ⋅ tan ϕit
= const. ≠ f (t)
( 3.15)
Damit folgt für den Anstiegswinkel des linearen Zeitfließortes,
Gl.Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden. im Abschnitt
3.2.4:
tan ϕi
tan ϕ
it
=
( 3.16)
2 ⋅σZs
⋅ tan ϕi
⋅ t
1+
5⋅ηs
( T) ⋅ tan ϕst
σ
Zs
= 10MPa... Zugfestigkeit des Feststoffes
η > 10 13 Pa ⋅s
Feststoffviskosität
s
mit der Temperaturabhängigkeit der Festoffviskosität:
⎛ E
γ&
⎞
ηs
= ηs,min
⋅exp
⎜
⎝ R( T − T ) ⎟⎟ r ⎠
sog. "Aktivierungsenergie"
E
γ&
200 K < T r < 400 K Temperaturparameter
( 3.17)
R = 8315 J/(kmol K) allgemeine Gaskonstante
1− ε F 1
t
0 H0,t − ε π ⋅ σ
0 Zs
⋅ σsg
⋅
σ
0t
= ⋅ = ⋅
( 3.18)
2
ε d ε 5 ⋅ η ⋅ d
σ sg
0
0
s
spezifisch freie Grenzflächenenergie (Grenzflächenspannung
fest-gasförmig) ≈ 0,1 ... 1 J/m²
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18
3.1.2 Physikalische Grundlagen des elastisch-plastischen & dissipativen
Kontaktverhaltens mit lastabhängiger Partikelhaftung
...ergänzen
3.1.2.1 Normalkraft-Weg-Beziehungen
...ergänzen
3.1.2.2 Tangentialkraft-Weg-Beziehungen
...ergänzen
3.1.2.3 Rollmoment-Rollwinkel-Beziehungen
...ergänzen
3.1.2.4 Torsionsmoment-Drehwinkel-Beziehungen
...ergänzen
siehe auch:
Tomas, J., Adhesion of ultrafine particles - a micromechanical approach,
Chemical Engineering Science 62 (2007), 1997-2010, doi:
10.1016/j.ces.2006.12.055
..\..\..\Forschung\FLIESSEN\Adhäsion\CES\Tomas_CES_2006_revised.doc
..\..\..\Forschung\FLIESSEN\Adhäsion\CES\Offprint_Tomas_CES_7149.pd
f
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3.2 Kontinuumsmechanische Grundlagen des Fließverhaltens vorverdichteter
Partikelpackungen
3.2.1 Zweiachsiger Spannungszustand
− Vorzeichendefinition
• Druckspannungen positiv, Zugspannungen negativ,
• Verdichtung positiv, Ausdehnung = negative Volumenänderung,
• positives Auftragen von Winkeln im mathematisch positiven Drehsinn,
d.h. entgegen dem Uhrzeigersinn,
• Eine Schubspannung τ
xy
bedeutet:
- 1. Index: x - Richtung der Flächennormalen,
- 2. Index: y - Spannungsrichtung,
- treten paarweise auf, betragsmäßig gleich: τ
xy
= τyx
, τ
xy=−τyx
,
- und sind → momentenfrei!
• positive Richtung einer Schubspannung,
- wenn diese mit der Richtung der im mathematisch positiven Sinne
um 90° gedrehten, im Volumenelement nach innen zeigenden Normalen
der Schnittfläche übereinstimmt, oder
- wenn beide Richtungen, sowohl die Flächennormalenrichtung als
auch die Spannungsrichtung positiv sind,
- wenn beide Richtungen, sowohl die Flächennormalenrichtung als
auch die Spannungsrichtung negativ sind,
− Im allgemeinen dreiachsiger Spannungszustand eines Volumenelements:
dV = dx ⋅ dy ⋅ dz
( 3.19)
19
y
z
x
dy
Bild 3.4: Abmessungen eines Volumenelements,
F 3.12
dx
dz
− aber nur zweiachsiger, d.h. ebener Spannungszustand betrachtet:
• lineares Fortschreiten der Spannungen nach einer Taylor-Reihe,
2
df
• ( ) ( )
( x) 1 d f ( x)
2
f x + Δx,
y = f x + ⋅ Δx
+ ⋅ Δx
+ ... ( 3.20)
2
dx 2! dx
• z.B. in x-Richtung mit Abbruch nach der ersten Ableitung:
σx
dy
σ
+ Δσ = δσ
x
σ + δx dx
x x x
dz
Bild 3.5: Horizontalspannungen am Volumenelement
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→ Kräftegleichgewicht ∑ F →=
0
∂σx
0=
σx⋅dy⋅dz−σx⋅dy⋅dz−
dxdydz
∂x
und komplett, siehe F 3.12
∂τyx
∂σx
0=σx⋅dy⋅dz+τyx⋅dx⋅dz−(
τyx+
dy)dxdz −σxdydz−
dxdydz
∂y
∂x
∂τyx
∂σ
= +
( 3.21)
∂y
∂x
0 x
∑
∂τxy
F↓=
0=σ
y
⋅dxdz+τxy⋅dydz−(
τxy+
dx)dydz
∂x
∂σy
− ( σy+
dy)dxdz+ρb⋅g⋅
dy⋅dz⋅dx
∂y
∂σy
∂τxy
ρ
b⋅g
= +
( 3.22)
∂y
∂x
→ 2 Gleichungen aber 3 Unbekannte, d.h. gesucht wird eine weitere Gl.,
d.h. Fließkriterium bzw. "Stoffgesetz", siehe Gl.( 3.61)
‣ zusätzlich: rotationssymmetrischer Spannungszustand, Draufsicht:
ψ
y
σ ψ
σ x σ
dψ
x
+ Δ σ x
xdψ
dx
x x
x
σ ψ dψ
σ
dψ ψ
Bild 3.6: Kreissegment eines axialsymmetrischen Schüttgutelements
σ ⋅xdψ⋅dy+σ
x
ψ
dxdψdy−(
σ
x
+Δσ )(x+
dx)dψdy=
0
∂σx
∂σx
≈ 0 sehr klein
σx⋅x+σψ
dx−σ
x
x−σ
xdx−
dx⋅x−
dx⋅
dx=
0
∂x
∂x
0 σx
−σψ
∂σ
= +
x
x ∂x
x
20
( 3.23)
Berücksichtigung in der allg. Gleichung siehe F 3.12 mittels Faktor m = 1
σ −σ
für den Term: m ⋅ x ψ
, siehe Trichterdimensionierung Schüttec_4.doc -
x
Trichterformfaktor_m im Abschnitt 4.
Bogenlänge:
π ⋅ d = 360°
π ⋅ r = 180°
dψ
⋅ r = dψ
⋅ x
∑ F →= 0
Zweiachsige Spannungszustände am Mohrschen Spannungskreis
− Suche eines Fließkriteriums in der Weise, die Unabhängigkeit von einem
willkürlichen Koordinatensystem garantiert
− d.h. für ein Schüttgutprisma der Länge dz, siehe F 3.13
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21
Bild 3.7: zweiachsiger
Spannungszustand
am homogenen
Schüttgutprisma
dy
τ xy
σ x
α
σ α
τ α
σ y
ds
dx
τ yx
σ x cosα
dz
α
σ y
σ x
α
σ y sinα
α
- Druckspannungen und damit Kompression sind positiv definiert,
- Schubspannungsrichtung ist positiv, wenn sowohl der Flächennormalenvektor
als auch die Achsenrichtung positiv (vom Nullpunkt wegzeigen)
oder beide negativ sind.
- α-Winkel ist positiv, wenn er entgegen dem Uhrzeigersinn aufgetragen
wird,
Kräftegleichgewichte
− in σα-Richtung: ∑ F
σ α
= 0
σ α
⋅ ds ⋅ dz − σ
x
cos α ⋅ dy ⋅ dz − σ
y
sin α dxdz − τ
xy
sin α dydz
− τ
yx
cos α dxdz = 0
dy = ds ⋅ cos α
außerdem sind:
und τ
xy
= τyx
dx = ds ⋅ sin α
2
2
σ α
⋅ds−σx ⋅dscos
α−σ
ysin
αds−τxysincosαds− τxy
cosα⋅sinαds=
0 mit
2sinα⋅
cosα = sin2α
2 1
cos α = (1+
cos2α)
2
2
2
σ α
= σx
cos α+σysin
α+ 2τxysinαcosα
σx
σx
2
= + cos2α+σ
y( 1−cos
α ) +τxysin2α
2 2
σ σ
σ σ
x x
y y
= + cos2α+σ
y−
− cos 2α+τ
xysin2α
2 2
2 2
σx
+σ
y
σx
−σy
σ α
= + cos2α+τ
xysin2α
( 3.24)
2 2
∑ τ α
Kräftegleichgewicht in τ α -Richtung: F = 0
0 = τ
0= τ
α
α
⋅ ds ⋅ dz + σ
⋅ ds + σ
x
x
dydzsin α − σ
dssin α cosα − σ
y
y
dxdz cos α −τ
xy
dssin α cosα − τ
2
2
− cos α + sin α = − cos 2α
σ σ
x
y
τ α
= − sin 2α + sin 2α + τxy
cos 2α
2 2
cosαdydz
+ τ
xy
cos
2
yx
αds
+ τ
xy
sin αdxdz
sin
2
αds
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σx
− σy
τ α
= − sin 2α + τxy
cos 2α
2
Hauptspannungen:
22
( 3.25)
− gesucht der Winkel, bei dem σ α maximal bzw. minimal wird, d.h. aus
Gl. ( 3.24)
dσ
σ
α
= 0 = −2
dα
x
− σ
2
y
sin 2α + 2τ
xy
cos 2α = 2τ
α
( 3.24)
gemäß Gl. ( 3.25) verschwindet somit die Schubspannung τ α = 0
Der Winkel α o ist dann:
2τxy
π
tan 2α o
= = tan 2( αo
+ )
( 3.26)
σ −σ
2
x
y
wegen der Periodizität der Tangensfunktion in π
− Es gibt 2 Flächen, die aufeinander senkrecht stehen, bei denen τ α = 0
verschwindet. Die Normalspannungen auf diese Flächen werden größte
und kleinste Hauptspannung genannt. D.h.
σx
+ σy
σx
− σy
σ1
= + cos 2αo
+ τxy
sin 2αo
2 2
σx
+ σy
σx
− σy
σ2
= − cos 2αo
− τxy
sin 2αo
2 2
2
⎛ σx
+ σy
⎞ ⎛ σx
− σy
⎞
⎜σ
cos 2
xy
sin 2
2
⎟ =
⎜
α + τ α
2
⎟
α
−
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎛ σ
⎜
⎝
x
− σ
2
⎛ σ
+
⎜−
⎝
x
y
τ
2
α
⎛ σ
=
⎜−
⎝
⎞
cos 2α
⎟
⎠
2
x
− σy
⎞
sin 2α
⎟
2 ⎠
− σ
2
y
⎛ σ
+ 2
⎜
⎝
2
2
wobei 1 = sin α + cos α gilt.
2
x
⎛ σ
− 2
⎜
⎝
sin 2α + τ
− σ
2
x
y
− σ
2
xy
⎞
⎟ cos 2α ⋅ τ
⎠
y
2
⎞
cos 2α
⎟
⎠
xy
⎞
⎟sin 2ατ
⎠
2
sin 2α + τ
xy
2
xy
cos 2α + τ
sin
2
xy
2
cos
2α
2
2α
2
⎛ σx
+ σy
⎞ 2 ⎛ σx
− σy
⎞ 2 2
⎜σα − ⎟ + τα
= ⎜ ⎟ + τxy
cos 2α
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
2
( 3.27)
Dies ist nun die allgemeine Gleichung des Mohrkreises. Für das Verschwinden
der Schubspannung τ xy = 0 gilt ebenfalls
α = α0
±
( 3.28)
4
* π
und somit auch die folgenden Gleichungen, F 3.13
2
⎛ σ1 + σ2
⎞ 2 σ1
− σ2
⎜σ − ⎟ + τ =
oder ( 3.29)
⎝ 2 ⎠ 2
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2 2 2
( − σM ) + τ = σR
σ mit der ( 3.30)
Radiusspannung
und der Mittelpunktsspannung
σ1
+σ2
σ1−σ
2
σ = + cos2α
2 2
σ1
−σ2
τ = − sin2α
2
σ1−σ
2
τ
max
= − für sin2α=
1
2
1 π
d.h. α = arcsin(1) ⋅ =
2 4
σ1
− σ2
σ
R
=
2
( 3.31)
σ1
+ σ2
σ
M
=
2
( 3.32)
σ
σ 1
τ
α
σ 2
23
Bild 3.8: zweiachsige Hauptspannungen am Schüttgutprisma
Die Richtungen der Hauptspannungen lassen sich durch eine Dreiecksbeziehung
im Kreis (Satz des Thales) ermitteln, F 3.14.
Übung
bei gegebenen Hauptspannungen σ1, σ2 und Gleitwinkel α
gesucht: σ x = ?, σ y = ?, τ xy = ?
Bild 3.9: Grafische Darstellungen
der Spannungen im zweiachsigen
Spannungszustand mit einem sog.
MOHR-Kreis
τ
σ y
2α
τ yx
σ R
σ M σ x
σ 2 - Richtung
τ xy
σ 1
σ
Bild 3.10: zweiachsiger Spannungszustand
Der Winkel α wird entgegen dem Uhrzeigersinn abgetragen
τ xy
τ = 0
σ x
σ 1
⇒ Berücksichtigung des Vorzeichens (-) in der Gl.(
3.35) durch Auftragen im Uhrzeigersinn
σ1
+ σ2
σ1
− σ2
σx = + ⋅ cos 2α
2 2
σ y
( 3.33)
σ1
+ σ2
σ1
− σ2
σy = − ⋅ cos 2α
2 2
( 3.34)
σ1
− σ2
τxy = − ⋅ sin 2α
2
( 3.35)
oder auch mit den Mittelpunkts- und Radiusspannungen:
α
τ yx
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σx = σM
+ σR
⋅ cos 2α
( 3.36)
σy = σM
− σR
⋅ cos 2α
( 3.37)
τxy = −σR
⋅ sin 2α
( 3.38)
24
3.2.2 Kontinuumsmechanische Fließkriterien (Bruchhypothesen)
• Formulierung sog. Bruchhypothesen für mehrachsige Spannungszustände,
d.h. Fließkriterien, die dann das Materialverhalten charakterisieren
sollen (Rückführung auf einachsige Beanspruchungsstände)
• Vergleichsspannungshypothesen bei mehrachsigen Spannungszuständen
• in Bauteilen meist mehrachsige Spannungszustände
(1) Hauptspannungshypothese
• maximale Hauptnormalspannung für den Bruch verantwortlich
σ
V
= σ 1
wenn σ
1
> σ2
> σ3
• für duktiles (dehnbares, zähes) Material σv zu klein, d.h. unsicher, angenommen
(2) Hauptdehnungshypothese
• Bruch tritt bei der größten Dehnung
ε = Δl/l 0 ein, σ = F / A
l − l0
ε
y
= ε = > 0 ( 3.39)
l
0
N
o
y
Δl
x
σ
l 0
Verdichtung ist positiv (+) vereinbart
und Dehnung ist negativ
d
Bild 3.11: Deformationen eines
(-) vereinbart
zylindrischen Volumenelementes
Querdehnung:
d0
− d Δd
ε
x
= εq
= = < 0
( 3.40)
d0
d0
Es ist ε q
= −ν ⋅ε
mit ν - Querdehnungszahl (bzw. Querkontraktionszahl
= 0,3 für Metalle), siehe Hookesche Gesetz:
1
ε = ⋅ σ bzw. σ = E ⋅ ε
( 3.41)
E
E = Elastizitätsmodul (Steifigkeit oder Deformationswiderstand)
E = 210⋅10 3 MPa für Stahl und E = 70⋅10 3 MPa für Aluminium
Verschiebung für γ

25
Bild 3.12: Verschiebung eines Volumenelementes
1
elast. Bereich: γ = ⋅ τ bzw. τ = G ⋅γ
( 3.43)
G
G Gleit- bzw. Schubmodul
Hooksche Gesetz für Schub und damit der Zusammenhang
E = 2(1+ ν)⋅G ( 3.44)
Die Hauptdehnung ist dann
σV
1
ε = = [ σ1−ν⋅
( σ2+
σ3)
]
( 3.45)
E E
bzw. σ =σ −ν⋅ σ + σ )
( 3.46)
V
1
(
2 3
→ berücksichtigt alle 3 Hauptspannungen
→ liefert aber zu kleine Werte!
(3) Formänderungsarbeit
W = Fds = pdV
( 3.47)
∫
∫
• elast. Deformationen
• keine Bewegungsenergie, d.h. sehr langsame Vorgänge
→ äußere Arbeit ist einer inneren Arbeit äquivalent
→ Formänderungsarbeit je Volumeneinheit dV
W = W
*
F
F
/ dV
=
∫
σ⋅d
ε =
ε
∫
o
E⋅ε⋅
dε
* E 2 1 2
WF
= ⋅ε = ⋅σ
2 2E
( 3.48)
Bild 3.13: Formänderungsarbeit
dε
ε
→ bzw. für den zweiachsigen Spannungszustand:
* 1 2 2
1 2
WF
= ( σx
+σy
−2σ
xσy
) + τxy
2E
2G
( 3.49)
→ Die Formänderung bei einem isostatischen Druck- oder Spannungszustand
führt zu keinem Bruch ! D.h. für eine mittlere Spannung
1
σ
m
= ( σx
+σy+
σz
)
3
( 3.50)
→ und einer Volumenänderung
dV
e= = ε +ε + ε
( 3.51)
V 0
x
y
z
→ entsteht eine Volumenänderungsarbeit
* 1 1−2ν
2
Wv = σm⋅
e = ( σx
+σy+
σz
)
( 3.52)
2 6E
die „wirksame“ Gestaltänderungsarbeit ist folglich
σ
∗
dW F
= σ(
ε)
⋅ dε
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W
*
G
= W
*
F
−W
*
V
1 ⎡
=
⎛ ⎞
⎢⎜σ
− σ ⎟
12G ⎣⎝
x y ⎠
+
+
( σ − σ )
2 2 2 2 ⎤
( σ −σ ) + 6 ⋅ ( τ + τ + τ ) ⎥⎦
y
z
2
x
xy
z
xz
2
yz
( 3.53)
26
→ für den einachsigen Druck ist
2
* 2σ
V
WG(1)
= ( 3.54)
12G
→ und bei gleicher Gestaltänderungsarbeit W * G(1) = W G * des allgemeinen
dreiachsigen Spannungszustandes folgt für die Vergleichsspannung
σ
=
1
⋅
2 ⎣
⎡
2
2
2 2 2 2 ⎤
⎢( σx
−σ
y
) + ( σx
−σz
) + ( σ
y−σ
z
) + ⋅ ( τxy+τxz
+τyz
) ⎥⎦
V
6
( 3.55)
(4) Hypothese von Huber-Mises-Hencky
• Bruch tritt nach Erreichen der gleichen maximalen Gestaltänderungsarbeit
ein wie bei einem einachsigen Spannungszustand, siehe entsprechend
Hypothese (3)
• Nutzung im Maschinen- und Anlagenbau!
• Vergleichsnormalspannung σ V
≤ σ zul. d.h.
2 2 2 2 ⎤
( σx
−σ
y
) +σx
+σy
+ τxy
zul
1 ⎡
σ
V
=σ1=
⋅
6
2
⎢
⎥ ≤σ
( 3.56)
⎣
⎦
Für eine große Anzahl von Stoffen reicht diese kontinuumsmechanische
Bruchhypothese nicht mehr aus, da das Versagen des Werkstoffes schon
durch geringere Schubspannungen τ zul < σ zul verursacht wird. Der Zusammenhang
einer Schubspannung als Funktion der Normalspannung τ =
f(σ) (hier werden Druckspannungen positiv dargestellt) wird für ein gegebenes
Material durch die Einhüllende aller MOHR-Kreise dargestellt, die
den Bruchzustand charakterisieren:
(5) Schubspannungshypothese von Tresca
• Bruch durch maximale Schubspannung τ max , F 3.15
• beispielsweise: Bruch schon nach halber Größe der Druck- bzw. Zugfestigkeit
bei einaxialer Belastung
• Bruch- oder Scherfläche um den sog. Gleitwinkel von α = π/4 = 45°
zur Richtung der beiden Hauptspannungen geneigt,
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σy
σc
τ
max=
=
2 2
• Vergleichsspannung σ
V
=
2⋅
τ
max
• Für die Vergleichsspannung gilt:
2 2
[( σx−σy
) + τxy
] ≤
zul
σ 2 σ ( 3.57)
V=
τmax=
4
• Beschreibung des plastischen Fließens von
zähen oder duktilen Werkstoffen, z.B. Metallen
→ ungeeignet für:
σc=σy
τ
α
27
Bild 3.14: Scherbruch bei
einachsiger Belastung
• spröde Werkstoffe, da σ Zug

τ = tanϕ ⋅ σ + τ = tanϕ ⋅ ( σ + σ )
( 3.60)
i
c
i
Z
28
oder auch: im obigen Bild 3.15 liest man die Dreiecksbeziehung ab:
σ1
− σ2
σ1
+ σ2
σ
R
= = sin ϕi
⋅ ( σM
+ σZ
) mit σ
M
=
( 3.61)
2
2
oder in σ 1 - σ 2 - Koordinaten
1+
sinϕi
2 ⋅ sinϕi
σ
1
= ⋅ σ2+
⋅ σZ
( 3.62)
1−
sinϕ
1−
sinϕ
Kennwerte, F 3.15:
ϕ i
σ Z
τ c
i
i
Reibungswinkel bzw. μ i = tanϕ i Reibungskoeffizient
Zugfestigkeit (dreiachsig!)
Kohäsion, svw. Scherwiderstand bei einer äußeren Normalspannung
σ = 0; beachte jedoch das Wirken einer zusätzlichen
inneren Druckspannung -σ Z aufgrund der Partikelhaftung!
τ
c
= tanϕi
⋅ σZ
( 3.63)
→ nicht geeignet: für fließende Schüttgüter bei geringen Spannungen σ
< 100 kPa
(7) Fließkriterium nach Jenike
• Spannungen fließender Schüttgüter oft weit unter 100 kPa
• "modifizierter" Coulomb-Körper mit zumindest 3 Erweiterungen
1. Unterscheidung in stationäres (zeitinvariantes) und beginnendes
Fließen notwendig!
⇒ stationäres kohäsionslosen Fließens von Schüttgütern, d.h.
effektiver Fließort F 3.16:
σR
σ1
− σ2
= = sin ϕe
σ σ + σ
ϕ e
M
1
2
( 3.64)
effektiver (oder wirksamer innerer) Reibungswinkel
⇒ folgt notwendiger Weise aus der Aufgabenstellung in der
Schüttgutmechanik das Fließen erzwingen zu müssen
⇒ eine Grenzspannungsfunktion für stationäres Fließen
2. Grenzspannungsfunktionen hängen von der Verdichtung, d.h.
Schüttgutdichte bzw. Porosität ab
3. Grenzspannungsfunktionen haben jeweils einen Endpunkt =ˆ Zustand
des „kohäsionslosen“ stationären Fließens, svw. effektives
stationäres Fließen ⇒ liefert den sog. effektiven Fließort
und zusätzlich nach Schwedes:
4. Grenzspannungsfunktionen haben im Bereich kleiner Druckspannungen
einen gekrümmten Verlauf
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29
⇒ aber: Grenzspannungsfunktion von Gesteinen auch oftmals gekrümmt;
Grenzspannungsfunktion = Ort an dem plastisches
Fließen bzw. der Bruch eintritt = Fließort = yield locus
⇒ bis hierher Aussagen der Kontinuumsmechanik!
3.2.3 Partikelmechanisch begründete Fließkriterien
(8) Fließkriterium nach Molerus
⇒ hier so benannt nach MOLERUS (1978)
‣ Erstmalige Einführung partikelmechanischer Haftkraftmodelle
zur physikalisch begründeten Erklärung bisher nur kontinuumsmechanisch
zugänglicher Stoffgesetze.
‣ Grenzspannungsfunktion ist von der Wirkung der Haftkräfte zwischen
den Partikeln abhängig
‣ Nur irreversible, rein plastische Partikelkontaktdeformation A pl
betrachtet (- Vorzeichen = Haftung, + Repulsion):
∑ F = 0 = −FH
0
− pVdW
⋅ A
pl
− FN
+ pf
⋅ A
pl
( 3.65)
‣ Diese mittleren mikroskopischen Kontaktkräfte F T und F N und die
resultierenden Spannungen im Kontinuum τ und σ lassen sich unter
bestimmten Voraussetzungen analytisch ineinander umrechnen
(1-ε Packungsdichte):
1− ε FT
, FN
τ , σ = ⋅
( 3.66)
2
ε d
Mit zumindest 4 Erweiterungen bei σ < 100 kPa, F 3.15:
1. stationäres Fließen kohäsiver Schüttgüter ist "kohäsiv"
⇒ "stationärer Fließort" als Coulomb-Gerade
σ = f σ
( 3.67)
R,st
( σ)
( )
M,st
τ = f . ( 3.68)
2. Lage der Grenzspannungsfunktionen wird von der Vorverfestigung
und davon abhängiges Wirken der Haftkräfte in den Partikelkontakten
beeinflußt
⇒ Übergang von der Kontinuummechanik zur Partikelmechanik
⇒ Haftkraftzuwachs als ein lineares "Verfestigungsgesetz"
F
H
F H0
F N
= F + κ ⋅ F
( 3.69)
H0
p
N
Haftkraft in den unverfestigten Kontakten
"äußere" Normalkraft in den Partikelkontakten
3. Physikalischer Zusammenhang zwischen dem stationären ϕ st und
dem inneren ϕ i Reibungswinkel:
tan ϕ = (1 + κ ) ⋅ tan ϕ const.
( 3.70)
st p
i
=
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30
4. Schar von Grenzspannungsfunktionen läßt sich nur mit 3 physikalisch
begründeten Fließkennwerten plus dem Einfluß eines charakteristischen
mittleren Druckes beschreiben:
(1) ϕ i - innere Festkörperreibung (Gleitreibung) versagender Partikelkontakte
(2) ϕ st - stationäre Partikelreibung, Zunahme der Reibung infolge
verfestigende äußere Kräfte, abgeleitet aus κ p Gl.( 3.69)
(3) σ 0 - dreiachsige Zugfestigkeit des unverfestigten Schüttgutes,
abgeleitet aus F H0 Gl.( 3.69)
(4) σ M,st Einfluß der mechanischen Beanspruchungsvorgeschichte,
svw. mittlerer Vorverfestigungsdruck, im Schüttgutkontinuum;
unmittelbarer Zusammenhang zur Schüttgutdichte ρ b =
f(σ M,st ) Gl.( 3.121).
(9) Einführung eines neuen elastisch-plastischen und viskoplastischen
Fließkriteriums nach Tomas (1987/99):
NEU!: Wesentliche Erweiterung bisheriger partikel- und kontinuumsmechanischer
Bruchhypothesen durch Einführung neuer, physikalisch
begründeter Modelle der
Momentanfließorte, stationären Fließorte und Verfestigungsorte
für elastisch-plastische Kontaktdeformationen und reibungsbehaftetem
Kontaktgleiten mit lastabhängiger Haftkraft sowie der
Zeitfließorte mit viskoplastischer Kontaktdeformation (Anfang
1987 siehe Diss. B 1991, CET 2003):
‣ Rein elastische Abplattungen unter der Einwirkung äußerer Kräfte
sind für die Haftkraftverstärkung verhältnismäßig bedeutungslos, da
diese Verformungen nach Wegfall der äußeren Kräfte völlig verschwinden.
‣ Wesentlich für die Haftkraftverstärkung ist deshalb eine kombinierte
elastisch-plastische Verformung des Partikelkontaktbereiches zu
einem kleinen Platte-Platte-Kontakt aufgrund des Einwirkens der
Haftkraft F H0 (siehe Gl.( 3.5)) selbst und einer zusätzlichen äußeren
Normalkraft F N . Mit dem Kräftegleichgewicht des weichen Kontaktes
zweier steifer Partikeln
( Ael
+ A
pl
) + FN
− FW,el
− pf
⋅ A
pl
∑ F = 0 = FH
0
+ pVdW
⋅
( 3.71)
folgt für die gesamte Haftkraft F H nach einigen Umrechnungen (siehe
../../../Forschung/FLIESSEN/B_Theorie_FliessKW/Schüttec_-
3_Kontakt_Theorie.doc#FHA_ges):
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folgt für die gesamte Haftkraft F H nach einigen Umrechnungen 1 :
κ
κ
A
p
FH
= ⋅ FH0
+ ⋅ FN
= ( 1+ κ) ⋅ FH0
+ κ ⋅ FN
( 3.72)
κ − κ κ − κ
H
A
H0
p
A
( F F )
H0
N
p
F = F + κ ⋅ +
( 3.73)
31
für Details siehe auch ..\..\Forschung\FLIESSEN\Berichte\Schüttec-
_3_Sem_0.doc – Haftkraftgesneu,
‣ Der elastisch-plastische Kontaktverfestigungskoeffizient κ
κp
κ =
( 3.74)
κ − κ
A
p
enthält sowohl den charakteristischen dimensionslosen Kennwert eines
elastisch-plastischen Kontaktflächenverhältnisses κ A (wobei
A K = A el + A pl )
2 1 A
pl
κ
A
= + ⋅
3 3 A + A
( 3.75)
el
pl
‣ als auch den plastischen Repulsionskoeffizienten κ p als Verhältnis
des attraktiven VAN-DER-WAALS-Kohäsionsdruckes zur repulsiven
plastischen Steifigkeit des Platte-Platte-Kontaktes eines
Partikelpaares:
pVdW
C
κp
= =
p 6 ⋅ π ⋅ a
f
H
3
F=
0
⋅ p
f
( 3.76)
p f ≈ 3⋅σ F plastischer Fließdruck (≈ 3⋅Fließgrenze für Zugbeanspruchung),
Oberflächenmikrohärte bzw. Partikelkontaktsteifigkeit
‣ Grenzspannungsfunktion ist von der Summe der elastischen A el , irreversibel
plastischen A pl und zeitabhängigen viskoplastischen
∑
(svw. viskosen) A vis Partikelkontaktdeformationen abhängig:
F = 0 = −F
H0
− p
VdW
⋅
( Ael
+ A
pl
+ A
vis
) − FN
+ FW,el
+ pf
⋅ A
pl
+ ηs
/ t ⋅ A
vis
( 3.77)
1 Diesem einfachen Modell liegen Versuche auf einer Zentrifuge mit einer engen Partikelgrößenklasse
(Kalkstein, mittlere Partikelgröße d mi = 60 µm, p f ≈ 500 MPa, C H,svs = 15⋅10 -20
J) zugrunde. Die Partikel wurden auf ein poliertes Stahlplättchen so aufgebracht, daß die
Zentrifugalkraft zunächst als Anpreßkraft F N und anschließend nach Wenden als Abreißkraft
F H wirkt. Bemerkenswert ist die lineare Zunahme der Haftkraft mit einer äußeren
Normalkraft F N , die auf eine Verformung sehr kleiner Rauhigkeitserhebungen im nm-
Bereich zurückzuführen ist. Bei stärkerer Anpressung werden auch größere Bereiche der
Kontaktzone plastisch verformt. In diesem Fall ist die Zunahme der Haftkraft manchmal
kleiner als im Anfangsteil.
©
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32
‣ Gegenüber Gl.( 3.69) Einführung einer neuen erweiterten Haftkraftgleichung
zur Beschreibung der viskoplastischen Partikelkontaktverfestigung
infolge eingeprägter Normalkräfte F H0 und F N bei σ <
100 kPa:
F
H,ges
H
Ht
( 1+ κ + κt
) ⋅ FH0
+ ( κ + κt
) ⋅ FN
= F + F =
. ( 3.78)
‣ Einführung einer zusätzlichen viskosen Kontaktrepulsion bzw.
Kontaktverfestigung κ t bei σ < 100 kPa (σ a ≡ p VdW Kontaktfestigkeit,
siehe auch siehe auch Gl.( 3.16):
κ
t
η V
ε&
V
σa
=
η ⋅ ε&
V
V
pVdW
≈ ⋅ t
η (T)
s
Volumenviskosität (viskoplastische Steifigkeit),
Kontaktdeformationsgeschwindigkeitsgradient,
( 3.79)
‣ Damit gilt für den Zusammenhang zwischen stationärer und instationärer
innerer Reibung, siehe auch analoge Gl.( 3.104):
tan ϕ = (1 + κ + κ ) ⋅ tan ϕ ≠ f (t) const.
( 3.80)
st t
it
=
‣ Umgerechnet auf einen Reibungswinkel (hier Anstiegswinkel des
Zeitfließortes) ist:
tan ϕi
tan ϕ
it
=
( 3.81)
tan ϕi
⋅ pVdW
⋅ t
1+
tan ϕ ⋅ η
st
s
( T)
‣ Zusätzlich zu den 3 Kennwerten ϕ i , ϕ st , σ 0 in der Gl.( 3.85), 2 neue
physikalisch begründete Fließkennwerte:
(1) ϕ it innere Festkörperreibung versagender Partikelkontakte
und
(2) σ
0t
= κt
⋅ σ0
dreiachsige Zugfestigkeit des Schüttgutes.
3.2.4 Partikelmechanische Schüttguteigenschaften und Fließkennwerte
Grenzspannungsfunktionen bei Schüttgütern sind keine Materialkonstanten
sondern Funktionen, und zwar = f(Zeit, Material, Partikelgröße, Feuchte,
Temperatur usw. ...), F 3.16.
‣ Stationärer Fließort
• Gewöhnlich als Gerade approximiert mit den Kennwerten:
∗ ϕ st stationärer innerer Reibungswinkel
∗ σ 0 dreiachsige Zugfestigkeit unverfestigter Partikelkontakte
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33
• Einhüllende aller Mohrkreise des stationären Fließens als kohäsives
stationäres Fließen
• weitestgehend unabhängig von der Vorverfestigung im Spannungsbereich
1 ... 100 kPa
‣ Erheblich einfachere Gleichung (als MOLERUS) für den stationärer
Fließort, siehe F 3.16, erhalten. Mit dem linearen Stoffgesetz
der lastabhängigen Haftkraft F H (F N ), Gl.( 3.72),
F
H
( 1+ κ) ⋅ FH0
+ κ ⋅ FN
= , ( 3.72)
der Grenzbedingung der Tangentialkraft im adhäsiven Partikelkontakt
(Coulomb-Reibung)
T,C,H
i
( 1+ κ)( ⋅ F F )
F = μ ⋅ + , ( 3.82)
H0
N
sowie mit einem näherungsweise konstantem elastisch-plastischen
Kontaktverfestigungskoeffizienten κ ≈ const., siehe Gl.( 3.74), und
mit dem Mikro-Makro-Übergang der Kontaktkräfte in Spannungen,
Gl.( 3.66), folgt eine bequeme lineare Gleichung des stationären
Fließortes (Index st für stationäres Fließen)
τ = tan ϕ ⋅
i
( 1+ κ)( ⋅ σ + σ ) = tan ϕ ⋅ ( σ + σ )
0
und als Radius-Mittelpunkt-Funktion σ R,st = f(σ M,st ):
( σ + )
R,st
= sin ϕst
⋅
M,st
σ0
st
0
( 3.83)
σ ( 3.84)
‣ Momentanfließort für beginnendes Fließen nach elastisch-plastischer
Partikelkontaktverfestigung, Gl.( 3.71) und F 3.16:
Fließort =ˆ individueller Fließort = Momentanfließort (yield locus):
meist als Geradengl.( 3.60) approximiert mit den Kennwerten:
∗ ϕ i innerer Reibungswinkel
∗ τ c Kohäsion
∗ σ Z Zugfestigkeit (dreiachsig)
∗ σ c einaxiale Druckfestigkeit
∗ σ 1 größte Hauptspannung beim Verfestigen, d.h. beim
stationärem Fließen
⎡ ⎛ sin ϕ ⎞
⎤
st
ϕ
⎢
⋅ sin
st
= sin ϕ
⎜ ⎟
i
⋅ σM
+ −1
σM,st
+ ⋅ σ ⎥ ( 3.85)
⎣ ⎝ sin ϕi
⎠ sin ϕi
⎦
σR
0
oder vereinfacht mit der Gl.Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden
werden. des stationären Fließortes:
σ
R
= sin ϕi
⋅( σM
− σM,st
) + σR,
st
( 3.86)
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34
Der Fließort hat einen positiven Anstieg (+ Vorzeichen vor σ M bzw.
σ), beginnt links im Punkt der isostatischen Zugfestigkeit σ Z und endet
rechts im Mohrkreis des stationären Fließens σ M = σ M,st :
σ
⎛ sinϕ
⎜
⎝
⎞
⎟ ⋅
⎠
sinϕ
R,st
st
st
σ
Z
= − σM,st
= −1
σM,st
+ ⋅ σ0
( 3.87)
sinϕi
sinϕi
sinϕi
Dementsprechend ist im τ = f(σ) – Diagramm:
⎡ ⎛ sin ϕ ⎞
⎤
st
ϕ
⎢
⋅ sin
st
= tan ϕ
⎜ ⎟
i
⋅ σ + −1
σM,st
+ ⋅ σ ⎥ ( 3.88)
⎣ ⎝ sin ϕi
⎠ sin ϕi
⎦
τ
0
⎡ σR,st
⎤
τ = tan ϕi
⋅ ⎢σ + − σM,
st ⎥ . ( 3.89)
⎣ sin ϕi
⎦
‣ Verfestigungsort beinhaltet alle Spannungszustände, die zu einer
Vorverfestigung - also Vorverdichtung und Konsolidierung - eines
kohäsiven Schüttgutes führen F 3.16:
R
i
( − σM
+ σiso) = sinϕi
⋅ ( − σM
+ σM,st
) + σR,
st
σ = sinϕ
⋅
( 3.90)
⎡ ⎛ sinϕ
⎞
⎤
st
sinϕst
= sin ϕi
⋅ ⎢− σM
+ ⎜ + 1⎟ ⋅ σM,st
+ ⋅ σ ⎥ ( 3.91)
⎣ ⎝ sinϕi
⎠ sinϕi
⎦
σR
0
Dieser Verfestigungsort hat einen negativen Anstieg (- Vorzeichen
vor σ M bzw. σ), beginnt links im Mohrkreis des stationären Fließens
σ M = σ M,st und endet rechts im Punkt des isostatischen Druckes σ iso :
σR,st
⎛ sinϕ
⎞
st
sinϕst
σ
iso
= + σM,st
= 1 σM,st
+ ⋅ σ0
sin
⎜ +
i
sin
⎟ ⋅
( 3.92)
ϕ ⎝ ϕi
⎠ sinϕi
Die Funktion τ = f(σ) ist:
⎡ ⎛ sinϕ
⎞
⎤
st
sinϕst
= tan ϕi
⋅ ⎢− σ + ⎜ + 1⎟ ⋅ σM,st
+ ⋅ σ ⎥ ( 3.93)
⎣ ⎝ sinϕi
⎠ sinϕi
⎦
τ
0
⎡ σR,st
⎤
τ = tan ϕi
⋅ ⎢− σ + + σM,
st ⎥ . ( 3.94)
⎣ sinϕi
⎦
Mikroskopische Ursache dieser typischen makroskopischen Schüttgutverfestigung
sind die sich entwickelnden elastisch-plastischen
Partikelkontaktverfestigungen gemäß Gl.( 3.71).
‣ Zeitfließort, d.h. beginnendes Fließen nach zusätzlicher viskoplastischer
Kontaktverfestigung, Gln. ( 3.77) und ( 3.78):
∗ ϕ it innerer Reibungswinkel
∗ τ ct Kohäsion
∗ σ Zt Zugfestigkeit
∗ σ ct einaxiale Druckfestigkeit
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35
• charakterisiert zeitabhängige Verfestigung, wenn stationäres Fließen
die Beanspruchungsvorgeschichte war
• Verfestigungsspannung σ 1 folgt damit aus Momentanfließort bzw. stationärem
Fließort, d.h. konstanter Druck während der Zeitverfestigung
⎡ σR,st
⎤
σRt
= sin ϕit
⋅ ⎢σMt
+ − σM,
st ⎥
( 3.95)
⎣ sin ϕit
⎦
und im τ = f(σ) – Diagramm ist:
⎡ σR,st
⎤
τt
= tan ϕit
⋅ ⎢σt
+ − σM,
st ⎥ . ( 3.96)
⎣ sin ϕit
⎦
Der Verlauf o.g. Grenzspannungsfunktionen hängt folglich ab von
• den granulometrischen Eigenschaften,
• den Bedingungen und Stoffgesetzen der Kontaktverfestigung oder
Haftkraftverstärkung der Partikel im Schüttgut und vor allem
• von den Vorverfestigungsspannung σ M,st sowie
• von der Packungsdichte (Porosität).
effektiver (oder wirksamer stationärer) Fließort (effective yield locus)
• Tangente an Mohrkreise des stationären Fließens mit dem Kennwert:
• ϕ e effektiver - wirksamer - innerer Reibungswinkel
• charakterisiert des kohäsionslose stationäre Fließen als eine vereinfachte
wirksame Rechengröße
• notwendig zur einfachen Berechnung der Silodrücke
• folgt für σ Z = 0 aus Gl.( 3.62)
σR,st
σ1− σ2
sinϕ e
= =
( 3.97)
σ σ + σ
M,st
1
2
• Seine Abhängig von der Mittelpunktsspannung σ M,st lässt sich durch
Einsetzen der Gl Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden
werden. des stationären Fließorte in Gl.( 3.97) zeigen:
( σ + σ )
sinϕ
⎛ ⎞
st
⋅
M,st 0
σ
⎜
0
sin ϕ =
= ϕ ⋅ ⎟
e
sin
st
1+
σ
( 3.98)
M,st
⎝ σM,st
⎠
• Daraus gewinnt man mit Hilfe der Gl.( 3.127)
σ
+ σ
1 0
σ
M,st
+ σ0
=
( 3.127)
1 + sinϕst
sin ϕ = sinϕ
e
st
⎛ σ1
+ σ0
⎜
⎜ 1 + sinϕst
⋅
⎜ σ1
+ σ0
⎜ − σ
⎝ 1 + sinϕst
0
⎞ ⎛ σ1
+ σ0
⎟ ⎜
⎟ ⎜ 1+
sinϕst
= sinϕst
⋅
⎟ ⎜ σ1
+ σ0
− σ0
− σ0
⎟ ⎜
⎠ ⎝ 1+
sinϕst
⋅ sinϕ
st
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
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36
die Abhängigkeit des effektiven Reibungswinkels ϕ e von der größten
Hauptspannung σ 1 , siehe auch F 3.17:
⎛ σ ⎞
1
+ σ0
sin ϕ
⎜
⎟
e
= sin ϕst
⋅
( 3.99)
⎝ σ1
− σ0
⋅ sin ϕst
⎠
Übung
Herleitung der Gln. für
a) einaxiale Druckfestigkeit σ = f ( σ bzw. τ , ϕ ) ?
c Z
c i
=
Z 1
= f ( σZbzw.
τc,
ϕi
) =
b) einaxiale Zugfestigkeit σ
?
c) Tangentialpunkt σ Ta des σ c -Kreises
Zu a) einaxialer Spannungszustand, d.h. σ 2 = 0 in Gl. ( 3.62)
2sinϕi
2 cosϕi
σ
c
= σ1
= ⋅ σZ
= τc
( 3.100)
1−
sinϕ
1−
sinϕ
i
Zu b) Zugbereich, d.h. negative σ σ
1
= 0 und σ2
= σZ
1
2sinϕ
i
2 cosϕ
i
i
σ
Z1
= σ2
= − σZ
= − σZ
( 3.101)
1+
sinϕi
1+
sinϕi
Zu c) Tangentialpunkt σ Ta des σ c -Kreises, siehe Bild 3.16:
σM
− σTa
Dreieckswinkel: sin ϕ
i
=
σ
σ
Ta
= σ
M
− σ
R
⋅sin ϕ
i
Für die einaxiale Druckfestigkeit ist σ 2 = 0 und damit σ R = σ M =
σ c /2:
σc
σ
Ta
=
2
σc
− ⋅ sin ϕi
2
σc
= ⋅
2
R
( 1−
sin ϕ )
Nach Einsetzen von Gl.( 3.100) für σ c folgt:
2 ⋅ τc
⋅ cos ϕi
σ
Ta
=
⋅ 1−
sin ϕi
= τc
⋅ cos ϕ
( 3.102)
2 ⋅ 1−
sin ϕ
( ) ( ) i
i
Die Strecke von τ c (auf der τ-Achse) entlang des Fließortes um den
Betrag τ c verlängert ergibt den Tangentialpunkt σ Ta des σ c -Kreises.
Von hier das Lot auf den Fließort gezogen ergibt den Mohr-
Kreismittelpunkt σ M auf der σ-Achse.
i
τ
Fließort
ϕ i
τ c
σ R
σ Ta
σ
σ Z
σ 2 = 0 σ 1
σ Z,1
σ M
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Bild 3.16: Spannungen und Fließkennwerte am linearen Fließort
37
(kinematischer) Wandfließort (wall yield locus)
• charakterisiert das stationäre Reibungsverhalten eines Schüttgutelementes
an einer festen Wand
• oft als Gerade approximiert mit den Kennwerten:
∗ ϕ w (kinematischer) Wandreibungswinkel
∗ τ a Adhäsion, falls vorhanden
∗ σ Z,W Zugfestigkeit, falls vorhanden
• ansonsten ϕ = arctan τ σ
( 3.103)
W W
/
W
• abhängig von der Wandrauhigkeit, siehe auch F 3.17.
Zusammenhänge zwischen den Reibungswinkeln von Partikelpackungen
⇒ aus den Haftkraftbetrachtungen, siehe Abschnitt 3.1, folgen auch mathematisch-physikalische
Zusammenhänge zwischen den Reibungswinkeln
von Schüttgütern; Beispielsweise gelten folgende Abhängigkeiten der
Reibungswinkel untereinander, siehe Bild F 3.17:
− stationärer Reibungswinkel, allgemein gültige Definitionsgleichung
( 1+ κ) ⋅ tan ϕ const.
tan ϕ =
( 3.104)
st i
=
• κ = 0 ... 1 = f (HAMAKER-Konstante, Kontaktabstände, Partikelgröße
1/d, Feuchte X W , ...), siehe auch Gl.( 3.3)
− innerer Reibungswinkel einer Zeitverfestigung ϕ it für viskoplastisch
fließende Materialien (Sinterbrücken), s. Zeitfließort Gl.( 3.16)
− effektiver innerer Reibungswinkel ϕ e , siehe Gl.( 3.99) oben
ϕ st
τ
stationärer Fließort
σ
σ
0
σ
c,st
=
2 ⋅ sin ϕst
⋅ σ
1−
sin ϕ
st
0
Bild 3.17 einaxiale Druckfestigkeit beim kohäsiven stationären Fließen
− kinematischer Wandreibungswinkel ϕ W
⎪⎧
tan ϕ ⎛ ⎞ ⎡ ⎛ ⎞⎤⎪⎫
W
* tan ϕW
*
h
r,W
tan ϕ ⎨ +
⎜ −
⎟ ⋅ ⎢ −
⎜−
⋅
⎟
W
= tan ϕe
⋅
1
1 exp k
r ⎥⎬
( 3.105)
⎪⎩
tan ϕe
⎝ tan ϕe
⎠ ⎣ ⎝ d50
⎠⎦⎪⎭
tanϕ W * Wandreibungsbeiwert für eine glatte Wand, F 3.17
h r,W /d 50 bezogene Wandrauhigkeit
h r,W
mittlere Wandrauhtiefe
h r,W
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k r
Anpassungsfaktor
Bild 3.18: Wandrauhigkeiten
38
Fließfunktion (nach Jenike, flow function)
• zur Charakterisierung der Fließfähigkeit von Schüttgütern
ff c = σ 1 /σ c bzw. ff ct = σ 1 /σ ct ( 3.106)
• für kohäsionsloses Gut ist τ c = 0 ⇒ σ c = 0 ⇒ ff c = ∞
• bei verhärtetem Gut ist während einer Lagerzeit t in Ruhe σ ct > σ 1 ,
d.h., das Gut zeigt zunehmend Festkörpereigenschaften
• Tabelle 3.1: Charakterisierung der Fließfähigkeit von Schüttgütern
Fließfunktionswerte Bewertung Beispiele
10 ≤ ff c freifließend, rieselfähig trockener Sand
4 ≤ ff c < 10 leichtfließend feuchter Sand
2 ≤ ff c < 4 kohäsiv trockene Pulver
1 ≤ ff c < 2 sehr kohäsiv, feuchte Pulver
ff c < 1 nicht fließend, verhärtet ff c,t
mit Festkörpereigenschaften
gealterter Zement
Verfestigungs- oder Druckfestigkeitsfunktion
• ist im Sinne einer charakteristischen Konsolidierungsfunktion des
Schüttgutes zu interpretieren. Aus den linearisierten Fließorten, Gln.(
3.60) und Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden.
sowie Bilder Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden.
und F 3.18, folgt wiederum eine in den Spannungen lineare Funktion
σ c (σ 1 ):
c
2 ⋅ ( sin ϕst
− sin ϕi
)
( 1+
sin ϕ ) ⋅ ( 1−
sin ϕ )
st
i
1
2 ⋅ sin ϕst
⋅ ( 1+
sin ϕi
)
⋅ σ0
( 1+
sin ϕ ) ⋅ ( 1−
sin ϕ )
σ =
⋅ σ +
( 3.107)
• Diese Druckfestigkeitsfunktion ( 3.107) läßt sich vereinfacht als Geradengleichung
des Types schreiben:
σ
c=
a1⋅
σ1+
σc,0
( 3.108)
• Die Druckfestigkeit des stationären Fließortes folgt mit ϕ i ≡ ϕ st aus
der Gl.( 3.84):
2 ⋅ sin ϕst
σ
c,st
= ⋅ σ0
( 3.109)
1−
sin ϕ
st
st
i
⇒ Übung zur Überprüfung dieser Beziehung:
Für ff c = 1 und σ
1
/ ff c
= σ1=
σc,
st
folgen σ
c,st
= a1⋅
σc,st
+ σc,
0
sowie
σc,0
σ
c,st
= und Gl.( 3.107) eingesetzt
1− a
1
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σ
σ
c,st
c,st
σ
39
⎤
2⋅
( 1+
sin ϕi
) ⋅ sin ϕst⋅
σ0
⎡ 2⋅
( ) ( )
( sin ϕst
−sin
ϕi
)
1+
sin ϕst
⋅ 1−sin
ϕi
⋅ ⎢1
−
⎣ ( 1+
sin ϕ ) ⋅ ( − ϕ ) ⎥ st
1 sin
i ⎦
2⋅
( 1+
sin ϕi
) ⋅ sin ϕst⋅
σ0
⎡
( ) ( )
( 1+
sin ϕ ) ⋅ ( − ϕ ) − ⋅ ( ϕ − ϕ ) ⎤
st
1 sin
i
2 sin
st
sin
i
1+
sin ϕst
⋅ 1−
sin ϕi
⋅ ⎢
⎥
⎣ ( 1+
sin ϕst
) ⋅ ( 1−sin
ϕi
) ⎦
2⋅
( 1+
sin ϕ ) ⋅ sin ϕ ⋅ σ
=
=
c,st
=
1+
sin ϕ
st
−2⋅
sin ϕ
st
i
−sin
ϕ + 2⋅
sin ϕ −sin
ϕ
i
st
1−sin
ϕ
i
0
st
⋅ sin ϕ
+ sin ϕ −sin
⋅sin
ϕ
st i st i
2⋅
( 1+
sin ϕi
) ⋅ sin ϕst⋅
σ0
σ
c,st
=
= 1+
sin ϕi−sin
ϕst⋅( 1+
sin ϕi
)
( 1+
sin ϕi
) ⋅ ( 1−sin
ϕst
)
= ( 1+
sin ϕ )( ⋅ 1−sin
ϕ )
2⋅
sin ϕ
⋅ σ
st 0
σ
c,st
=
q.e.d. ( 3.109)
1−sin
ϕst
• Für Zeitverfestigungen folgt aus dem linearisierten Zeitfließort, Gl.(
ct
3.95), ebenfalls eine in den Spannungen lineare Funktion σ ct (σ 1 ):
2 ⋅ ( sin ϕst
− sin ϕit
)
( 1+
sin ϕ ) ⋅ ( 1−
sin ϕ )
st
it
1
i
2 ⋅ sin ϕst
⋅ ( 1+
sin ϕit
)
⋅ σ0t
( 1+
sin ϕ ) ⋅ ( 1−
sin ϕ )
σ =
⋅ σ +
( 3.110)
st
st
it
i
Böschungswinkel
• nur bei kohäsionslosem Material gilt
ϕ ≈ϕ ≈ϕ ≈ϕ
als Böschungswinkel
i
e
st
B
ϕB1
ϕB2
ϕB3
Aufschütten
eines Kegels
Auslaufen aus einem Behälter
mit horizontalen Boden
Rotation eines zylindrischen
Behälters
Bild 3.19: Auftreten statischer oder dynamischer Böschungswinkel
⇒ ϕ ≠ϕ ≠ϕ
⇒ gewöhnlich abhängig von der Meßmethode
B1
B2
B3
• bei kohäsivem Schüttgut ist ϕ B ≈ ϕ e in grober Näherung bei einer gleitenden
Böschung; ansonsten nur für kohäsionslose Schüttgüter reproduzierbar
meßbar! F 3.19
3.2.5 Kompressionsfunktionen, Schüttgut- und Packungsdichte
• Lückenvolumenanteil:
VLücke V − Vs
ρb
ε = = = 1− ϕs
= 1−
( 3.111)
V V
ρ
ϕ s Feststoffvolumenanteil
• Schüttgutdichte ρ b = m/V
s
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40
⇒ bei sehr lockerer Lagerung Schüttdichte ρ b,0
• Feststoffdichte ρ s
• Von der Art der Packung und von der Partikelgröße abhängig, F 3.20
Die Kompressibilität bei Schüttgütern entspricht der Druckabhängigkeit
der Packungsdichte und wird beeinflußt von folgenden Mikrovorgängen:
(1) Umlagerung steifer Partikeln mit steifen Kontakten zu einer dichteren
Zufallspackung,
(2) Deformation weicher Kontakte von harten (mineralischen) Partikeln
und
(3) Deformation weicher Partikeln (z.B. Biozellen),
(4) Partikelzerkleinerung.
Die oben beschriebenen empirischen Funktionen lassen sich auch aus einer
physikalisch begründeten Beschreibung des Deformations- bzw. Kompressionsverhaltens
gewinnen:
Δl
1
1) analog HOOKschem-Gesetz für Festkörper = ε = ⋅ Δσ
bzw.
l0
E
Δx
1
=γ = ⋅ Δτ mit E = 2( 1+ν
) ⋅ G
( 3.112)
y G
0
2) bei Flüssigkeiten und auch Festkörpern gilt für dreiachsigem Druck:
dV
V0
dp
= κ =
( 3.113)
K
κ Kompressibilität (hier dimensionslos definiert! - im Unterschied
zu κ =1/K siehe HÜTTE S. B 191)
K Kompressionsmodul, = Kompressionswiderstand oder Steifigkeit,
im isotropen Fall gilt
( 1−2ν) ⋅ K
E = 3⋅
( 3.114)
ν = −ε quer
/ ε axial
Querdehnungs- o. POISSON-Zahl,
für inkompressible, volumenerhaltende Stoffe ist maximal
ν = 0,5 und für ν = 0 ist K ≅ E/3
3) für Gase bei adiabatischer (isentroper) Zustandsänderung (= kein
Wärmeaustausch mit der Umgebung, S = const., gültig insbesondere
für schnelle Druckänderungen z.B. infolge Schallwellen):
p ⋅ κad V = const.
( 3.115)
κ ad
Isentropen- oder Adiabatenexponent (κ ad = 5/3 ≈ 1,66 für einatomige
bzw. κ ad = 7/5 = 1,4 für zweiatomige Gase)
Damit folgt (- Vorzeichen für Verdichtung kann entfallen):
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dV κ 1
ad
V
ad −
κ = − −
dp
dV
dp
bzw.
const.
2
p
1 const. V 1 V
= =
( 3.116)
κ ad
κ pV p κ p
ad
dV
V
ad
1 1 dp
≡ κ = ⋅ dp ≡ D.h.
κ p K
ad
RT
K = κad
p = κad⋅
( 3.117)
V
m
Ein hoher Adiabatenexponent bedeutet eine geringe Kompressibilität,
d.h. die höchste Kompressibilität tritt beim idealen Gas κ ad = 1
auf.
4) Kompression eines Schüttgutes
Analog zur adiabaten Gaskompressibilität Gl.( 3.116) ist:
dV 1 V d(V / m) 1 V / m
− = bzw. − =
dp κ ad
p
dp κ ad
p
d(1/ ρb
) dρb
Für die linke Seite ist: − = −
2
dp − ρb
⋅ dp
dρb
1
eingesetzt folgt:
= n ⋅
2
ρb
⋅ dp ρb
⋅ p
dρb
ρb
oder
= n ⋅
dp p
Mit n ≡ 1/ κ wurde eine gutabhängige Konstante – hier der sog.
ad
Kompressibilitätsindex – eingeführt. Wenn man zusätzlich die Vander-Waals-Gleichung
von Gasen, die nahe des Kondensationspunktes
gilt, beachtet (V m molares Volumen),
2
( p a / V ) ⋅( V − b) = R ⋅T
+ ( 3.118)
VdW
m
m
lässt sich nun der Schüttgutdruck durch die mittlere Verfestigungsnormalspannung
plus Haftspannung ausdrücken p = σM,st
+ σ0
:
41
dρ
ρ
b
b
= n ⋅
dp
p
dσ
= n ⋅
σ + σ
0
M,st
M,st
( 3.119)
• Diese Differentialgleichung einer inkrementellen „Verdichtungsgeschwindigkeit“
wird auch als Kompressionsrate bezeichnet:
dρ
dσ
b
M,st
= n ⋅
σ
0
ρb
+ σ
M,st
Mit der Randbedingung ρ b = ρ b,0 wenn σ M,st = 0 ist:
ρ
σ
b
M ,st
dρ
dσ
b
M,st ρb
∫ = n ⋅
ρ
∫
ln = n ⋅ ln σ0
+ σ
σ + σ ρ
ρb,0
b
0 0 M, st
( 3.120)
d.h. [ ( ) − ln σ ]
b,0
M,st
0
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n
⎛ σM,st
b b,0
1 ⎟ ⎞
ρ =ρ ⋅
⎜ +
( 3.121)
⎝ σ0
⎠
Eine sehr hohe Kompressibilität - analog einem idealen Gas - wäre
folglich bei n = 1 zu beobachten, wobei hier der Kompressionswiderstand
oder die Steifigkeit der Packung am niedrigsten ist. Bei inkompressiblen
Gut wäre die Steifigkeit unendlich.
42
Bild 3.20: Darstellung
der
Kompressionsfunktion
nach
Gl.( 3.121)
Schüttgutdichte
ρ b
ρ b,0
σ 0
0
n = 1 ideal kompressibel
0 < n < 1 kompressibel
n = 0 inkompressibel
mittlere Verfestigungsspannung σ M,st
Der Exponent n lässt sich als Kompressibilitätsindex physikalisch
sinnvoll interpretieren. Kohäsive Pulver haben bei geringen Verfestigungsspannungen
σ 1 < 100 kPa meist Werte um n ≈ 0,1 (siehe Tabelle
3.2):
Tabelle 3.2: Charakterisierung der Kompressibilität von Schüttgütern
(Vergleiche n = 1/ κ = 3/5 = 0,6; 5/7 = 0,71)
ad
Kompressibilitätsindex Bewertung Beispiele
0 ≤ n < 0,01 inkompressibel trockener Sand
0,01 ≤ n < 0,05 wenig kompressibel feuchter Sand
0,05 ≤ n < 0,1 kompressibel kohäsive Pulver
0,1 ≤ n < 1 sehr kompressibel sehr kohäsive Pulver
Für kohäsive Schüttgüter ist nun die Verwendung dieser dreiparametrigen
Funktion Gl.( 3.121) ratsam:
‣ mit zusätzlicher Berücksichtigung eines meßbaren Ordinatenabschnittes,
für σ M,st = 0 ist ρ
b=
ρ b, 0
,
‣ und einem Abzissenabschnitt im negativen Zugspannungsbereich,
für ρ b= 0 ist σ M,st = - σ 0 .
Für den Zusammenhang zwischen dem mittleren Druck σ M,st und der
Normalspannung beim Anscheren σ An gemäß der Gl.( 3.122) ist die
Verdichtungsfunktion:
σM,st
1 ⎛ σ ⎞
An
1 + =
⋅
⎜1+
⎟
( 3.122)
σ0
1−
sin ϕi
⋅sin
ϕst
⎝ σ0
⎠
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ρ
ρ
b
1
b,0
⎛ 1
=
⎜
⎝1−
sin ϕi
⋅sin
ϕ
st
⎞
⎟
⎠
n
⎛
⋅
⎜
⎝
σ
+
σ
An
0
⎞
⎟
⎠
n
( 3.123)
43
Diese Verdichtungs- oder Kompressionsfunktion, Gl.( 3.121), lässt
sich auch durch Ersetzen von σ M,st mittels der größten Hauptspannung
σ 1 berechnen:
Die größte Hauptspannung σ 1 ist am MOHR-Kreis des stationären
Fließens:
σ1
− σ2
σ1
+ σ2
σ
1
= + = σR,st
+ σM,st
(3.124)
2 2
Ersetzen der Radiusspannung σ R,st mit Hilfe der Gl.Fehler! Verweisquelle
konnte nicht gefunden werden. des stationären Fließortes
σ
R,st
= sin ϕst
⋅( σM,st
+ σ0
)
Fehler!
Verweisquelle konnte nicht gefunden werden.
und es folgt Umrechnung σ 1 = f(σ M,st ):
( σM,st
+ σ0
) +
M, st
σ (3.125)
1
= sin ϕst
⋅
σ
( 1+
sin ϕst
) + ϕst
⋅σ0
σ (3.126)
1
= σM,st
⋅
sin
Addieren von σ 0 auf beiden Seiten der Gleichung liefert:
σ1 + σ0
= σM,st
⋅ 1+
sinϕst
+ sinϕst
⋅ σ0
+ σ0
= σM,st
⋅ 1+
sinϕst
+ σ0
⋅ 1 + sinϕ
σ
1
+ σ0
= ( 1+
sinϕst
) ⋅ ( σM,st
+ σ0
)
σ
( ) ( ) ( )
+ σ
1 0
σ
M,st
+ σ0
=
( 3.127)
1+
sin ϕst
Einsetzen von Gl.( 3.127) in Gl.( 3.121) liefert die Verdichtungsfunktion
als Funktion ρ b = f(σ 1 ), wie sie für die Trichterauslegung benutzt
wird:
ρ
ρ
⎛
⎜
⎝
σ
+ σ
⎞
⎟
⎠
n
b 1 0
1
= ⎜
=
⋅ 1
b,0
( 1 sin
st
)
0
1 sin ⎜ +
+ ϕ ⋅σ ⎟ ⎜ + ϕ ⎟ ⎟ st
σ0
⎠
⎛
⎜
⎝
1
⎞
⎟
⎠
n
⎛
⎜
⎝
σ
⎞
n
st
ρ
ρ
b
1
b,0
⎛ 1
=
⎜
⎝1+
sin ϕ
st
⎞
⎟
⎠
n
⎛
⋅
⎜
⎝
σ
+
σ
1
0
⎞
⎟
⎠
n
( 3.128)
Dies kann man auch mit einer modifizierten Schüttgutdichte der lockeren
unverfestigten Packung ρ b,0 * ausdrücken:
n
* ⎛ 1 ⎞
ρ
b,0
= ρb,0
⋅
⎜
1 sin
⎟
(3.129)
⎝ + ϕst
⎠
n
* ⎛ σ1
b b,0
1 ⎟ ⎞
ρ = ρ ⋅
⎜ + . ( 3.130)
⎝ σ0
⎠
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44
Für den Zusammenhang zwischen dem mittleren Druck σ M,st und dem
isostatischen Druck σ iso gemäß der Gl. ( 3.131) ist die Verdichtungsfunktion:
sin ϕ ⋅σ
+ sin ϕ ⋅σ
sin ϕ ⋅
( σ + σ )
i iso
i 0
i iso 0
σ
M,st
+ σ0
=
=
( 3.131)
sin ϕst
+ sin ϕi
sin ϕst
+ sin ϕi
ρ
ρ
sin ϕi
⋅( σiso
+ σ0
)
( sin ϕ + sin ϕ ) ⋅σ
b i
1
b,0
⎛
=
⎜
⎝
st
i
0
⎞
⎟
⎠
n
⎛ sin ϕ ⎞
=
⎜
sin
st
sin
⎟
⎝ ϕ + ϕi
⎠
n
⎛
⋅
⎜
⎝
σ
+
σ
iso
0
⎞
⎟
⎠
n
ρ
ρ
b i
1
b,0
⎛ sin ϕ ⎞
=
⎜
sin
st
sin
⎟
⎝ ϕ + ϕi
⎠
n
⎛
⋅
⎜
⎝
σ
+
σ
iso
0
⎞
⎟
⎠
n
( 3.132)
Für ein kohäsionsloses Schüttgut σ 0 = 0 liefert diese Herleitung nun
auch die physikalische Plausibilität einer ursprünglich empirisch aufgestellten
Gleichung Gl.( 3.133). Mit den Randbedingungen ρ b = 0
wenn σ 1 = 0 und ρ b = ρ s /2 wenn σ 1 = σ 1/50 folgt:
ρb
σ1
dρb
dσ1
ρb
σ1
∫ = n ⋅
ρ
∫ d.h. ln = n ⋅ ln
σ
ρ / 2 σ
ρs / 2 b σ1/
50 1
n
s
1 ⎛ ⎞
1
1 ⎜
σ
− ε = ⋅ ⎟
2
( 3.133)
⎝ σ1,50
⎠
σ 1 = σ 1,50 , wenn 1 − ε = 0, 5 wird nahezu die kubische Packung erreicht:
1 − ε = π = 0, 5236
6
• spezifische Kompressionsarbeit eines kohäsiven Schüttgutes
Die Arbeit beim Verdichten ist entlang des Stempelweges s oder bezüglich
einer Volumenverminderung - dV:
W = F(s) ds = p dV
( 3.134)
∫ −∫
d 1/ ρ d / :
dV
1 p( ρ)
m
= −∫
p(V) = −∫
p(V) d = ∫ dρ
( 3.135)
m
ρ ρ
2
und massebezogen kann man schreiben mit ( ) = − ρ ρ
W
2
Zweckmäßig sollte W m = f(p) ausgedrückt werde. Für das Schüttgut sei
mit der Kompressionsrate nach Gl.( 3.120):
ρb
dρ
b
= n ⋅ ⋅ dp
p
p( ρb
) p( ρb
) ρb
dp
W
m,b
= ∫ dρb
= ∫ n ⋅ ⋅ dp = n ⋅
2
2
ρ
ρ
∫
( 3.136)
b
b
p ρb
dp
W
m,b
= n ⋅∫ ( 3.137)
ρ
b
Mit der Gl.( 3.121) der Schüttgutdichte ist also:
W
m,b
σ
M ,st
= n ⋅ ∫
0
1
ρ
b,0
⎛ σ
⋅
⎜
⎝
0
+ σ
σ
0
M,st
⎞
⎟
⎠
−n
dσ
M,st
1/ 50
( 3.138)
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σ0
+ σM,st
wobei z = und dσ M,st
= σ0
⋅ dz mit n ≠ 1:
σ
W
m,b
σ
M ,st
= n ⋅ ∫
0
0
σ
ρ
0
b,0
⋅
() z
−n
n σ
dz = ⋅
1−
n ρ
1−n
0
b,0
⎛ σ
⋅
⎜
⎝
0
+ σ
σ
0
M,st
⎞
⎟
⎠
1−n
σM ,st
0
1−n
n σ ⎛ σ0
+ σ
0
M,st ⎞ n σ ⎛
0
σ ⎞
0
Wm,b
= ⋅ ⋅
1 n
⎜
⎟ − ⋅ ⋅
b,0
0
1 n
⎜
⎟
− ρ ⎝ σ ⎠ − ρb,0
⎝ σ0
⎠
1−n
n σ ⎡⎛
σ + σ ⎞ ⎤
0 0 M,st
W
⋅ ⎢
⎜
⎟
m ,b
= ⋅
−1⎥
( 3.139)
1−
n ρb,0
⎢⎣
⎝ σ0
⎠ ⎥⎦
Vereinfacht lässt sich auch näherungsweise mit 1 – n ≈ 1 schreiben:
1
σ ⎡⎛
σ
0
M,st ⎞ ⎤ σM,st
Wm
,b
≈ n ⋅ ⋅ ⎢
⎜1+
⎟ −1⎥
= n ⋅
( 3.140)
ρb,0
⎢
0 ⎥ ρb,0
⎣⎝
σ ⎠ ⎦
• spezifische Kompressionsarbeit eines kohäsionslosen Schüttgutes
dp
W
m,b
= n ⋅∫ ( 3.137)
ρ
b
Mit der Gl.( 3.133) der Schüttgutdichte ist also:
−n
σ1
2 ⎛ σ ⎞
1
Wm,b
= n ⋅ ∫ ⋅
⎜
⎟ dσ1
ρ
0 s ⎝ σ1/
50 ⎠
σ1
wobei z = und dσ 1
= σ1/
50
⋅ dz mit n ≠ 1:
σ
W
W
m,b
1/50
σ1
σ
= 2n ⋅ ∫
ρ
0
2 ⋅ n
σ
1/ 50
s
⋅
( z)
⎛
⎜
⎝
−n
σ
2 ⋅ n σ
dz = ⋅
1−
n ρ
⎞
⎟
⎠
1−n
1/ 50
s
⎛ σ
⋅
⎜
⎝ σ
1
1/ 50
⎞
⎟
⎠
1−n
σ1
0
( 3.141)
1/ 50 1
m,b
= ⋅ ⋅
1 n ⎜ ⎟
( 3.142)
− ρs
σ1/
50
Vereinfacht lässt sich auch näherungsweise mit 1 – n ≈ 1 schreiben:
σ ⎛
1/ 50
σ ⎞
1
σ1
Wm,b
≈ 2 ⋅ n ⋅ ⋅
⎜
⎟ = 2 ⋅ n ⋅
( 3.143)
ρs
⎝ σ1/ 50 ⎠ ρs
45
Beispiele für Fließparameter von Schüttgütern
a) trockenes kohäsionsloses Gut ϕ
i
=ϕe
= ϕst
, siehe Bild F 3.21
b) allgemeiner Fall eines kohäsiven Gutes
- Anzahl von genannten Kennwerten zur Beschreibung des Fließverhaltens
notwendig
du
c) nasses plastisches Gut, im allgemeinen gilt:
n
τ = τo
+ ηP
⋅ γ& ( 3.144)
η P
Plastizität
dy
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γ& = du / dy Schergeschwindigkeitsgradient, F 3.22
τ
n>1
n=1
n 1 dilatantes Verhalten
Bild 3.21: Fließkurven
46
mit Festkörperreibungsanteil:
n
τ = tanϕ ⋅ ( σ+σ + η ⋅ γ& ( 3.145)
i Z)
P
mit Term für Partikelkollisionen
n
2 2
τ = tanϕ
( σ + σ ) + η ⋅ γ& + a ⋅ρ ⋅d
⋅γ&
( 3.146)
i
d Partikelgröße,
a K
Z
Materialparameter
P
K
b
3.3 Messung der Fließeigenschaften von Schüttgütern
3.3.1 Übersicht der Meßgeräte
Überblick über die wichtigsten Meßgeräte, F 3.23
1) Direktschergeräte
a) Translationsscherzelle (Jenike-Scherzelle), F 3.24
⇒ direkte Messung der Scher- und Normalspannungen, F 3.25
⇒ geeignet zur Messung aller genannten Fließkennwerte
⇒ Wandreibungsmessung mit Anordnung b)
⇒ Zeitverfestigungsmessung mit Anordnung a) und einem Zellensatz
⇒ nachteilig: verhältnismäßig hoher zeitlicher Meßaufwand von etwa
3 ... 5 Tagen
c) Torsionsscherzelle
⇒ geeignet für obige Aufgaben
⇒ nachteilig: in der Achse keine Scherung, d.h. Radienabhängigkeit
der Meßergebnisse
⇒ Herausschneiden des Kreiszentrums mit seinen geringen Deformationen
notwendig und Ausformung eines Kreisringes ⇓
e) Ringscherzelle
⇒ gleicht Nachteil c) aus
⇒ geeignet für besonders elastische Materialien mit langen Anscherwege
wie z.B. Abfallstoffe
⇒ nachteilig: ungeeignet für Messung Zeitverfestigungen
direkte Schergeräte meist für Drücke σ = 1 ... 50 kPa ausgelegt
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47
2) indirekte Schergeräte
f) Triaxialgerät
⇒ üblicher in der Bodenmechanik, für σ > 50 kPa
⇒ direkte Messung der Hauptspannungen, F 3.25
⇒ nachteilig: aufwendige Probenpräsentation
dazu gehört auch sog. Biaxialbox
3) einachsiger Druckfestigkeitstest
⇒ Ergänzung der Schergeräte für höhere Festigkeitsbereiche, F 3.9
⇒ direkte Messung der Druckfestigkeit insbesondere bei Zeitverfestigungen
τ t > 50 kPa
3.3.2 Meßmethodik eines direkten Scherversuches
Fließen von Schüttgütern unterteilt in:
− sog. beginnendes (instationäres) Fließen, F 3.26
• überverfestigte Proben
• Fließen unter Auflockerung ρ b ↓, ε↑, Dilatanz
• F S erreicht ein Peak
− sog. stationäres Fließen
• kritisch verfestigte Probe (durch geeignete Vorverfestigunglasten
und Einbringen von Scherspannungen durch Drehschwingungen
des Deckels erreichbar)
• Fließen unter Volumenkonstanz, dV = 0, ρ b = const., ε = const.
• F S = const.
− elastische Deformation
• unterverfestigte Proben
• allmählicher Übergang zum plastischen Fließen mit ständiger Verdichtung,
ρ b ↑, ε↓
• Anstieg von F S bis zum Erreichen des stationären Fließens
− Ausmessen eines Fließortes, Erläuterung der beiden Diagramme, F
3.27, F 3.28, F S = f(s)
→ Anscheren bis zum konstanten F S -Verlauf bei
A , liefert
τ An
= F S, An
A
→ Abscheren unter verminderter Normallast
τ A als Maximalwert (Peak)
Ab
= F S, Ab
σ An
=
σ Ab
=
F N, Ab
F N, An
A , liefert
→ Mittelung der Anscherwerte einschl. Berechnung des Fehlerintervalles
(Vertrauensbereich bei 95 %iger statistischer Sicherheit),
τ
An
= τAn⋅
( 1± ΔτAn
/ τAn
)
( 3.147)
→ wobei der Fehlerbereich (hier Konfidenzintervall der Normalverteilung)
aus der Standardabweichung der mehrfach gemessenen (n ≈ 8
... 12) Anscherwerte abgeschätzt wird:
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48
Δ τ ≈1,96⋅s
( 3.148)
An
τAn
→ Ausgleich der Abweichungen der gewöhnlich doppelt gemessenen
Abscherwerte τ Ab,gem infolge Schwankungen der Anscher- und
Schüttgutdichtewerte durch einfache Meßwertekorrektur mit Anschermittelwert:
τ =τ ⋅ τ / τ
( 3.149)
Ab ,korr
Ab,gem
An
An,gem
→ Gültigkeit der Meßpunkte beachten; Meßpunkte nur gültig, wenn
rechts des Tagentialpunktes des σ c -Kreises gelegen
→ Ermittlung der gefüllten Zellenmasse zur Berechnung der Schüttgutdichte
ρ = m − m V
( 3.150)
b
(
Zelle
)
Zelle
− Gewinnung des σ 1 -Kreises
• punkteweises Auftragen der Einzelmeßwerte und Verbinden durch eine
dünne Gerade, F 3.26
• Suche des Mittelpunktes des σ 1 -Kreises dergestalt, daß Kreis durch
den Anscherpunkt A geht und die gewonnene Gerade tangiert (und
nicht schneidet!), Ablesen σ 1 und σ 2
• Zeichnen einer Tangente an den σ 1 -Kreis durch den Ursprung mit ϕ e
als Anstieg
− Ausmessen des Anstieges ϕ i - des Fließortes
− Suche des Mittelpunktes des σ c -kreises dergestalt, daß der Kreis durch
den Ursprung geht ( σ 2 = 0!) und den Fließort tangiert, liefert σ c , Berechnung
ff c
− Wiederholung für alle gemessenen Fließorte
− Ermittlung der Kennwerte des stationären Fließortes, F 3.18, F 3.29
• Berechnung der Radiusspannung σ
R,st
= ( σ1
− σ2
)/
2 und Mittelpunktsspannung
σ = ( σ + σ )/
2 der Mohr-Kreise für stationäres
M,st
1
2
Fließen
• Einzeichnen in einem σ R,st - σ M,st - Diagramm und Verbinden zu einer
Geraden
• Ermittlung von ϕ st aus dem Anstieg α und σ 0 aus dem negativen Abzissenabschnitt
ϕ
st
= arcsin(tan α)
( 3.151) und σ
0
= σZ
( 3.152)
− Messung der Wandreibung
• kinematische bzw. stationäre Wandreibung
F S
bzw.
τ
Verminderung von σ während
des Schervorganges
unabh. von ρ b !
Bild 3.22: kinematische
Wandreibung
s
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49
→ damit Simulation des Abgleitens von Schüttgutschichten entlang
der Wand, z. B. im Silotrichter bei abnehmendem Druck
⇒ Gleitreibung simuliert
• instationäre Wandreibung
→ Versuchsmethodik wie beim Versuch zur Messung der inneren
Reibung mit Anscheren und Abscheren, z. B.
→ auch als Zeitverfestigungsversuch auf der Wandprobe machbar
liefert in den meisten Fällen eine Adhäsion τ a bzw. die Zugfestigkeit
σ zw beim Auftragen in einem separaten τ - σ -Diagramm:
F S
bzw.
τ
σ = const
σ ↓
s
Bild 3.23: instationäre
Wandreibung
τ
WFO
ϕ W
σ 2
τ W
σ W
σ 1
σ
Bild 3.24:
Wandflie
ßort und
Mohrkreis
aber man
beachte: Wandreibungswinkel ϕ w wird immer aus dem aktuellen
Verhältnis τ W /σ W gebildet, siehe Bild 3.24.
arctan σ
τ
W
ϕ
W
=
( 3.153)
W
τ W
WFO
ϕ W *
Bild 3.25: Wandfließort mit Adhäsion
τ a
σ ZW
σ W
• Wandfließort ist meist eine Gerade bei Stahl u. Metallen
• Wandfließort ist eine Kurve bei Plastbeschichtungen
Messung von Zeitverfestigungen
− Anscheren wie beim Fließort, welcher die größte Hauptspannung σ 1
beim Verfestigen (Beanspruchungsvorgeschichte ist immer stationäres
Fließen!) liefert, F 3.27,
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− Aufbewahren der Proben unter der Last σ t = σ 1 ! eine gewisse Zeit (z.
B. Wochenende) unter den simulierten Umgebungsbedingungen hinsichtlich
Temperatur, Feuchte usw., F 3.28
− Abscheren unter einer gewissen Normallast σ, die durchaus σ > σ An
sein kann ⇒ hängt von der Art, der sich einstellenden Festkörperbrücken
ab,
50
3.3.3 Numerische Versuchsauswertung
− Auswahl numerischer Berechnungsgleichungen, F 3.30
− lineare Regression der Fließorte mit allen Abscherpunkten τ ab,i , ohne
Anscherpunkte τ An,i
− Berechnung der einaxialen Druckfestigkeit σ c
Überprüfung der Gültigkeit der Meßpunkte, d.h.
σ
ab,i
> τ ⋅cosϕ
c
i
→ ansonsten Meßwert verwerfen u. nochmals lineare Regression,
− Berechnung der größten Hauptspannung beim Verfestigen σ 1
− Ermittlung des effektiven Reibungswinkels ϕ e
− Berechnung der kleinsten Hauptspannung σ 2
− Berechnung der Radius- und Mittelpunktsspannungen σ R , σ M
• lineare Regression des stationären Fließortes
• Ermittlung des stationären Reibungswinkels ϕ st
• Ermittlung der dreiaxialen Zugfestigkeit σ 0 der unverfestigten Kontakte
− Berechnung der Druckparameter σ 1,Z bzw. σ 1/50 und des Kompressibilitätsindexes
n in den Funktionen ρ b = f(σ 1 )
→ gehört zum Kennwertediagramm
3.4 Fließkennwerte von Schüttgütern und deren Beeinflussung
− Auftragung der wichtigsten Fließkennwerte als Funktion der Verfestigungshauptspannung
σ 1 , F 3.31
→ stellen Material"gesetze" bzw. Stoffgesetze dar, d.h. invariant gegenüber
gewählter Meßtechnik, -methodik und Koordinatensysteme
→ sind aber Funktionen, und zwar von
• Feuchte
• Partikelgrößenverteilung
• Lagerzeit
• chem.-min. Zusammensetzung
• Temperatur usw.
→ dies sind sozusagen Einflußparameter der Kurven im Bild F 3.31
→ hier wichtigste Kurve: σ c = f(σ 1 )
Druckfestigkeitskennlinien bzw. Verfestigungsfunktion
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51
→ typische Materialeigenschaftsfunktion – hier Geraden, s. Bild F 3.18 -
für die Verfestigung eines Schüttgutes infolge einer Verfestigungsspannung
σ 1 , F 3.32
→ Damit korrespondiert physikalisch begründet eine analoge lineare Funktion
der Verfestigung von Partikelkontakten, F 3.33
→ typische Kurvenverläufe für ein klassifizierbares Schüttgutverhalten →
vergleiche auch mit ff c -Werten, F 3.34:
a) trocken kohäsionslos σ c = 0 ⇒ trockener, rieselfähiger Sand
b) trockene, mineralische Pulver, feinkörnig, ⇒ oft Geraden
c) feuchte, kohäsive, inkompressible (d.h. meist mineralische) Schüttgüter,
verhältnismäßig grob, ⇒ meist flache Kurven (z. B. Glassand)
d) feuchte, kohäsive, feine (gering kompressible) Schüttgüter bzw. Pulver
⇒ meist Geraden, z. B. Filterkuchen, Abfälle
e) feuchte, kohäsive, sehr kompressible Güter,
⇒ d.h. mit viel innerer Porosität, z. B. Rohbraunkohle (Verhalten wie
ein "Schwamm" oder "Ton")
f) trockene fasrige Güter, erst σ c = 0, dann steiler Anstieg,
⇒ formschlüssige Bindungen, "Verhakungen", "Verfilzung"
⇒ vergleiche mit e) ohne Feuchte, z.B. Abfallstoffe, Holzspäne u.ä.
g) hohe Zeitverfestigungen durch Festkörperbrücken, Übergang zum
Festkörperverhalten
• Kristallisation, Anfrierungen
• chemische Reaktionen
• Erstarren hochviskoser Inhaltsstoffe mit Bindemittelwirkung
• Sinterbrücken
3.5 Tabelle mit „Datenblatt Schüttgutkennwerte“
• Übersicht wesentlicher Eigenschaftskenngrößen von Feststoffpartikeln
hinsichtlich Lager- und Förderverhaltens, F 3.35
• oft nur verbal klassifizierbar, z.B. mit Zwischenwerten:
Tabelle 3.3: Schüttgutklassifizierung und Bewertung
laufende Nummer 1 2 3 4 5 6
obere Klassengrenze 0 0,5 1 1,5 2 2,5
verbale Bewertung nicht sehr gering gering mittel stark sehr stark
• Zusammenstellung der 14 Eigenschaftsgruppen (hier ≈ 100 Kennwerte)
sowohl nach praktischen als auch nach wissenschaftlichen Gesichtspunkten
sinnvoll
• noch nicht vollständig, zukünftig erweiterbar !
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Übungsbeispiel
52
− feines Kalzitpulver, SF 2, 3, 4, 5
− Vergleich mit jeweiligen Werten der Studenten
• σ 0 = 0,5 kPa
• ϕ st = 44°
• σ c - Gerade, (ff-Werte, s. 4.)
• ϕ i meist degressiv oder schwach steigend
→ Fließorte werden mit zunehmendem Druck steiler, Reibung steigt
mit zunehmender Abplattung der Partikelkontakte bei trockenen
Gütern
→ bei feuchten Gütern sinkt manchmal ϕ i mit steigendem Druck, d.h.
Auspressen von Wasser aus der inneren Porosität bildet sog. "Gleitfilme"
• ϕ e → abfallend, physikalisch begründet! siehe F 3.18 und Gl.( 3.99),
• ρ b meist Potenzansatz nach Gl.( 3.121) oder ( 3.128).
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53
3.6 Durchströmungs-, Fluidisier- und Entlüftungsverhalten
3.6.1 Durchströmungsverhalten von Partikelschichten
Die Strömung eines Fluids durch eine Partikelschicht spielt bei vielen Prozessen
eine wichtige Rolle. Beispiele dafür sind:
- Wirbelschichtprozesse,
- die mechanische Flüssigkeitsabtrennung durch Filtrieren,
- Trennungen mittels Hochdruck-Flüssigchromatographie (HPLC),
- die Sedimentation im Bereich der Zonensedimentation,
- das pneumatische Mischen, Homogenisieren,
- die pneumatische Förderung und
- Reaktionen in Festbettreaktoren, Schacht-, Hoch- und Drehrohröfen.
Dabei sind die Partikelschichten sowohl hinsichtlich ihrer Auflockerung als
auch ihres Bewegungszustandes voneinander abzugrenzen.
Man spricht von einer ruhenden Schüttschicht (Festbett), wenn die einzelnen
Partikeln mehr oder weniger in Form einer Zufallsanordnung aufeinanderliegen
und die Schicht sich nicht bewegt. Die äußere Porosität ε einer
solchen Schicht hängt vor allem von
‣ der Anordnung der Partikeln zueinander in der Packung,
‣ dem Mischungszustand,
‣ den Partikelkontaktdeformationen,
‣ den Wechselwirkungskräften zwischen den Partikeln sowie auch von
‣ der Partikelgrößen- und Partikelformverteilung ab.
Sie liegt bei vielen Schüttgütern um den Wert ε = 0,4 ... 0,5 MVT_e_1.doc
- Schüttgutporositäten.
In einer bewegten Schüttschicht befinden sich die Partikeln im wesentlichen
noch im Kontakt, aber die Schicht bewegt sich als Ganzes durch den
Prozeßraum. Derartige Verhältnisse liegen z.B. in Schacht- und Hochöfen
vor.
Läßt man durch eine auf einem fluiddurchlässigen Boden lagernde Partikelschicht
ein Gas oder eine Flüssigkeit aufströmen, so wird die Schicht beim
Überschreiten einer unteren Grenzgeschwindigkeit fluidisiert (Lockerungspunkt),
d.h. die Partikeln werden durch den Fluidstrom in Schwebe gehalten
(Δp Druckverlust der Partikelschicht, F G,B Bett- oder Schichtgewicht,
siehe auch Gl.( 3.195)):
F
Δp
/ A
G,B
≈
ρ
b
Δp
⋅ g ⋅ h
b
≈ 1
( 3.154)
sie werden infolge Zunahme der Partikelabstände - damit der Porosität, siehe
Abschnitt 1.3 MVT_e_1.doc - a_phis - relativ zueinander beweglich und
führen insbesondere in Gas-Feststoffsystemen zunehmend durchmischende
Schüttec_3.doc © Vorlesung Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Prof. Dr. J. Tomas, 01.02.2011

Bewegungen aus. Derartige Partikelschichten werden als Wirbelschichten
(fluidized bed, Fließbett) bezeichnet. Der Schichtcharakter ist im Wirbelschichtbereich
noch gewährleistet. Die Porosität der Wirbelschichten körniger
Stoffe umfaßt theoretisch den Bereich zwischen der Porosität am Lockerungspunkt
ε L und ε = 1, d.h. der Partikelschwebegeschwindigkeit. Übersteigt
schließlich die Aufstromgeschwindigkeit die Schwebegeschwindigkeit
der Partikeln, so werden diese von der Strömung transportiert – siehe
Anwendung beim pneumatischen Transport.
Es ist dann eine instationäre Wirbelschicht (Förderzustand der pneumatische
Fließförderung oder Dichtstromförderung) entstanden. Voraussetzung
für eine kontinuierliche, störungsfreie Fließförderung ist eine homogene
Wirbelschicht im Einspeiser. Kanal- oder Blasenbildung führen zu einem
unstetigen Förderstrom. Für die Beschreibung der Dichtstromförderung sind
Kenngrößen des Schüttgutverhaltens notwendig. Dafür werden häufig das
Entlüftungs- oder Gashaltevermögen und die Gasdurchlässigkeit einer
Schüttung verwendet. Beide sind miteinander gekoppelt. Eine hohe Gasdurchlässigkeit
bedingt ein geringes Gashaltevermögen und umgekehrt.
Ein weiterer für die Verfahrenstechnik charakteristischer Zustand, der in
diesem Zusammenhang zu nennen ist, sind die Rieselschichten. Hierbei
bewegen sich die Partikeln aufgelockert unter Schwerkrafteinfluß durch ein
ruhendes oder mit geringer Geschwindigkeit entgegenströmendes Gas.
Beim Durchströmen einer Partikelschicht ist ein Fluid einem Widerstand
ausgesetzt, und somit tritt ein Druckverlust Δp ein, Bild F 3.36.
Am einfachsten läßt sich dieser bei laminarer Durchströmung von Pulverschichten
beschreiben, hier Re < 10, DARCY, CARMAN und KOZENY
pb
k pb
V & Δ Δ
= A ⋅ u = k
b
⋅ A ⋅ = ⋅ A ⋅
h η h
( 3.155)
b
wenn für die Permeabilität einer Partikelschüttung
b
k b
= k / η
( 3.156)
und nach CARMAN und KOZENY (Faktor 180 ⇒ für monodisperse Kugeln)
gilt:
k
b
3 2
ε ⋅ dST
= ( 3.157)
180 ⋅ η ⋅
( 1− ε) 2
Diese CARMAN-KOZENY-Gleichung ( 3.157) läßt sich übrigens auch
unter Mithilfe der Poren-EULER-Zahl Eu ε als laminarer Spezialfall der
ERGUN-Gleichung Gl.( 3.190) aufschreiben:
( 1− ε)
3
Δp
dST
ε
Eu
ε
= ⋅ ⋅ = (180 ...150) ⋅
( 3.158)
2
ρ ⋅ u h 1− ε
Re
f
b
54
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55
Da der Strömungsraum ein vielgestaltiges Porensystem darstellt, dessen
innere Geometrie – svw. Porengrößen- und Porenformverteilung - durch
- die Partikelgrößen- und
- Partikelformverteilung sowie
- den Packungszustand (Porosität, Art der Packung)
bestimmt ist, handelt es sich um ein sehr kompliziert zu beschreibendes
Strömungsphänomen. Für dessen Modellierung sind erhebliche Vereinfachungen
unerläßlich, siehe Tabellen F 3.37, a, b, c. Die dafür existierenden
Modelle lassen sich vom physikalischen Grundansatz in zwei Hauptgruppen
gliedern:
1. Entweder man geht davon aus, daß es sich um eine Strömung durch ein
Kontinuum („festes Dispersionsmittel“) mit inneren Kanälen („disperse
Phase“) handelt, für deren Gestalt entsprechende Annahmen zu treffen
sind (im einfachsten Fall parallele zylindrische Kanäle Gl.( 3.177)), oder
2. man geht so vor, daß sich der Gesamtwiderstand einer Partikelschicht als
Summe der Einzelkorn-Umströmungswiderstände darstellen läßt.
Um wesentliche Zusammenhänge zu verdeutlichen, soll im folgenden ein
kontinuumsmechanischer Modellansatz vorgestellt werden, der zur ersten
oben genannten Hauptgruppe der Porendurchströmung zu zählen ist. Die
Partikelschicht soll eine vollständige Zufallspackung darstellen, deren Querschnitt
sich über die durchströmte Länge L oder Höhe Δh b nicht ändert. Das
Fluid wird unter den vorliegenden Druckabfällen als inkompressibel und
weiterhin mit NEWTONschen Fließeigenschaften vorausgesetzt. Im Bild F
3.36 ist das zugrundegelegte Modell dargestellt. Bezüglich des Anströmprofils
und somit auch der Strömungsverhältnisse im Inneren können vor allem
bei gröberen Körnungen in Randnähe Geschwindigkeitsmaxima auftreten
(sog. Randgängigkeit), die eine Folge dort vorhandener größerer Porositäten
ε → 1 und Porengrößen sind.
Für den Druckverlust bei der Durchströmung eines Rohres gilt
2
FW
U
Rohr⋅L
ρf
⋅u
Δ pRohr
= = λ
Rohr⋅
⋅
( 3.159)
A 4⋅A
2
Rohr
Rohr
D = 2⋅R
Rohrdurchmesser
max
L
Rohrlänge
u = u / 2 mittlere Geschwindigkeit, wenn u max Maximalgeschwindigkeit
im quadratischem Strömungsprofil:
2
⎛ r ⎞
u
r = u(r) = u
max ⋅
⎜1
−
⎟
2
⎝ R ⎠
( 3.160)
2
L ρf
⋅u
Δ pRohr
= λ
Rohr⋅
⋅
D 2
( 3.161)
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56
und mit dem Druckverlustbeiwert (= c W Widerstandsbeiwert) einer
- laminare (reibungsbehafteten) Rohrströmung Re < 2320 (HAGEN-
POISEUILLE):
64
λ
Rohr
= f (Re) =
Re
und ( 3.162)
- turbulente Rohrströmung
# hydraulisch glatt 2320 < Re < 10 5 , laminare Grenzschicht der Dicke δ G
(BLASIUS)
0,3164
λ
Rohr
=
1/ 4
Re
( 3.163)
# hydraulisch glatt 10 5 < Re< 3⋅10 6 , turbulente Grenzschicht (PRANDTL)
λ
1
Rohr
= 2,0⋅
lg
( Re⋅
λ ) − 0, 8
Rohr
( 3.164)
# Übergangangsgebiet rauh, d r ≈ δ G (COLEBROOK)
λ
1
Rohr
⎛ d
r
2,51
= −2,0⋅
lg⎜
+
⎝
3,715⋅
D Re⋅
λ
Rohr
⎞
⎟ − 0,8
⎠
( 3.165)
d r
mittlere Rauhigkeitsabmessung der Rohrwand
D ⎛ D
# vollkommen rauh, d r >> δ G , ⎟ ⎞
Re > 400⋅
⋅ lg
⎜3,715
⋅
d
r ⎝ d r ⎠
0,25
λ
Rohr
=
( 3.166)
2
⎛ 3,715⋅
D ⎞
⎜lg
⎟
⎝ d
r ⎠
Mit Gl.( 3.162) gilt für den Druckverlust der reibungsbehafteten Rohrströmung
nach HAGEN-POISEUILLE
L
Δ pRohr
= 32⋅
⋅ η⋅
u
( 3.167)
2
D
Die radiale Schubspannungsverteilung ist in diesem Falle übrigens linear,
d.h., in der Mittelachse r = 0 sind u = u max und τ = 0 sowie an der Rohrwand
sind r = R = D/2, u = 0 und τ = τ max :
du u
max
τ ( r) = −η⋅ = 8 ⋅ η⋅ ⋅ r
( 3.168)
2
dr D
Für die laminare Durchströmung einer Schüttung wird die HAGEN-
POISEUILLE-Gleichung ( 3.167) mit einer mittleren Porendurchströmungsgeschwindigkeit
u ε = u / ε und einem charakteristischen Porendurchmesser
d ε ≡ d h ≡ mittlerer hydraulischer Durchmesser gebildet:
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Δ
u ε
d ε
57
h
b
η ⋅ u
b
= 32 ⋅ ⋅
( 3.169)
d ε
p
2
ε
mittlere Strömungsgeschwindigkeit in den Poren
charakteristische Abmessung des durchströmten Porensystems
Nicht so sehr die Porosität sondern die Größe der Poren (Kanäle) bestimmen
demnach die Durchströmbarkeit.
Allgemein soll nun für den Druckgradienten dp/dh b bzw. bezogenen
Druckabfall Δp/h b einer Schüttung geschrieben werden:
dp Δp
Δp
gradp = ≈ = = f ( u
ε
, dε,
ε,
η,
ρf
)
( 3.170)
dh h L
b
b
Dazu ist zunächst zu bemerken, daß das Konzept des hydraulischen Druchmessers
aus dem Bereich der Rohrdurchströmung entlehnt ist, weitgehende
Voraussetzungen enthält, d.h.
- gerade Kanäle,
- Konstanz der Wandschubspannungen an jedem Punkt der Wandoberfläche,
- Gleichgewicht zwischen Druckabfall und Wandschubspannung
und schon deshalb eine sehr weitreichende Vereinfachung darstellt. Hierzu
kommt noch, daß durch einen (gegebenenfalls auch anders definierten) mittleren
Porendurchmesser und die Porosität ε die innere Geometrie des Porensystems
in bezug auf das komplizierte Strömungsphänomen nicht ausreichend
widergespiegelt wird, da eine Porengrößenverteilung vorliegt. Allerdings
liegen zur Berücksichtigung dieser Problematik bisher nur erste, für
begrenzte Bereiche zutreffende Modellansätze.
Zwischen der mittleren Strömungsgeschwindigkeit u ε in den Poren und der
Anströmgeschwindigkeit u der Partikelschicht (Leerrohrgeschwindigkeit)
besteht der Zusammenhang
u = u ε , ( 3.171)
ε
/
da sowohl die Volumenstrombilanz
u
ε
⋅ ALücke = u ⋅ A
( 3.172)
als auch für ideale Zufallspackungen die Gleichheit von Flächen- und Volumenporosität
gelten:
ε = V / V A / A
( 3.173)
Lücke
=
Lücke
Der hydraulische Durchmesser d h der idealisierten Strömungskanäle der
Schüttung läßt sich wie folgt definieren (s. MVT_e_1.doc - hydraulischer-
Durchmesser):
d
4⋅
A
4πd
4⋅
A
4⋅
V
2
h
=
durchströmt
durchströmt
f
= ≡
=
Ubenetzt
4πd
U
benetzt⋅
l AS
( 3.174)
⋅ l
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58
und unter Berücksichtigung des Hohlraumvolumens bei gegebener Porosität
V ε = V f
V
A ⋅ l = ε⋅ V
= ε⋅ (V
V )
V ⋅ (1 − ε)
= ε⋅
V
f
=
ges
P
+
f
f
P
ε
Vf = VP
⋅
( 3.175)
1−ε
und Oberfläche A S = U⋅l der Kapillaren der Länge l folgt eine einfache Proportionalität
zwischen dem hydraulischen Durchmesser d h und dem SAU-
TER-Durchmesser d ST einer Körnung:
d
4 ⋅ ε ⋅ V
4 ⋅ ε
P
h
= =
( 3.176)
(1−ε
) ⋅ AS
(1−ε
) ⋅ AS,V
und da
ST
A S, V
d = 6 / ist auch der Zusammenhang zwischen einer Partikelgrößen-
und Porengrößenverteilung herstellbar d h ≡ d ε .
2 ⋅ ε ⋅ dST
dh
= d ε
=
( 3.177)
3⋅
(1−ε
)
so läßt sich für Gl.( 3.170) schreiben:
Δp
= f
h
b
( u, d , ε,
η,
ρ )
ST
f
( 3.178)
Wenn man von den bei der Partikelumströmung kurz erörterten Sachverhalten
ausgeht (s. Abschn. 4.1.1 MVT_e_4.doc - Widerstandsbeiwert_kaskas),
so darf angenommen werden, daß sich allgemein der Strömungswiderstand
aus zwei Anteilen zusammensetzt:
a) einem Zähigkeitsanteil (Δp ∼ η⋅u), der sich auch mit Hilfe des Durchströmungsgesetzes
von Darcy (ggf. mit -Zeichen für Abnahme, Bild F
3.36)
Δp
gradp = = k
Darcy
⋅ η⋅ u
( 3.179)
h
b
k Darcy
= 1/ k Durchflußwiderstand, reziproke Permeabilität siehe
auch Gl.( 3.156)
oder in einer verfahrenstechnisch üblichen Schreibweise ⇒ Stoffluß =
Durchgangskoeffizient⋅Durchgangsquerschnitt⋅treibendes Potential (oder
= Triebkraft)
V
u≡ & = k b⋅ gradp
( 3.180)
A
k b
Permeabilität
beschreiben läßt, und
b) einem Trägheitsanteil (Δp ∼ ρ f ⋅u 2 ) infolge des Staudruckes der Strömung
(kinetische Energie), oder in einer verfahrenstechnisch üblichen
Schreibweise mit der EULER-Zahl (= Druckkraft/Trägheitskraft):
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59
Δp
Eu = = f (h
b,
u, dST
, ε,
η,
ρf
)
( 3.181)
2
ρ ⋅ u
f
Im Vergleich zur Partikelumströmung werden wegen der häufigen und
starken Umlenkungen des Fluidstromes im Inneren einer Partikelschicht
Trägheitswirkungen schon weit vor dem Einsetzen der eigentlichen Turbulenz
dominieren.
Aus dem Vorstehenden folgt der Ansatz /3.40./:
Δp
**
**
2
= k
lam
⋅ η ⋅ u + k
turb
⋅ ρf
⋅ u
( 3.182)
h
b
Mit der EULER-Zahl nach Gl.( 3.181) ist auch:
Δp
** η
**
Eu = = k
2 lam
⋅ ⋅ h
b
+ k
turb
⋅ h
b
( 3.183)
ρ ⋅ u ρ ⋅ u
f
f
Die Abhängigkeit von der letzten noch dimensionsbehafteten Größe d ST läßt
sich auch mit Hilfe einer einfachen Dimensionsanalyse gewinnen, wenn
man die Grundeinheiten L Länge, M Masse und T Zeit einsetzt:
3 2
3
⎡⎛
M ⋅ L ⎞ L ⋅ T ⎤ ⎡⎛
M ⋅ L ⋅ T ⎞ L ⋅ T ⋅ L⎤
1 1
Eu = ⎢⎜
+ [ L] ⋅
2 2
⎟ ⋅
2 ⎥ = ⎢⎜
2 2
⎟ ⋅
2
T L M L T L M L
⎥ ⋅
( 3.184)
⎣⎝
⋅ ⎠ ⋅ ⎦ ⎣⎝
⋅ ⎠ ⋅ ⎦ L L
Eu
Δp
η⋅ h
*
b * b
= = k
lam
⋅ + k
2
2 turb
⋅
( 3.185)
ρf
⋅ u ρf
⋅ u ⋅ dST
dST
Somit verbleibt noch die Quantifizierung der Abhängigkeit von ε, die Gegenstand
vieler Untersuchungen war, die vor allem eine Abhängigkeit von
Re der Durchströmung ergaben (s. z.B. /3.36/ bis /3.44/). Aufgrund des
komplexen Strömungsphänomens existiert auch dafür noch keine allgemein
anerkannte Formulierung. Im Bereich überwiegender
- Zähigkeitswirkung geht man vorwiegend davon aus, daß der Durchströmungswiderstand
proportional (1-ε) 2 /ε 3 ist,
- im Bereich vorherrschender Trägheitswirkung dagegen ∼ (1 - ε)/ε 3 .
Somit folgt aus Gl.( 3.185):
Eu
2
( 1− ε) η ⋅ h
( 1− ε)
b
b
= k
lam
⋅ ⋅ + k
3
2 turb
⋅ ⋅
( 3.186)
3
ε ρf
⋅ u ⋅ dST
ε dST
Der erste Term dieser Gleichung ist offensichtlich bei vorwiegender Zähigkeitswirkung
wesentlich, der zweite dagegen bei dominierenden Trägheitskräften.
Gl.( 3.186) läßt sich nun durch Einführen einer modifizierten Poren-EULER-Zahl
Eu ε (Re) ≡ c W (Re) - manchmal auch analog der Rohrdurchströmung
Widerstandszahl λ(Re) genannt - wie folgt umstellen:
Δp
dST
1− ε
Eu
ε
= ⋅ ⋅
( 3.187)
2
3
ρ ⋅ u h ε
f
b
h
h
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60
wobei mit der REYNOLDS-Zahl
Re = u ⋅ dST ⋅ ρf
/ η
( 3.188)
für Gl.( 3.186) gilt:
( 1− ε)
Δp
d ε
ε
k
( 3.189)
3
Eu
ST
= ⋅ ⋅ = k
2
lam
⋅
ρf
⋅ u h
b
1− ε Re
+
Die Quantifizierung ergab für Brechgut mit enger Partikelgrößenverteilung
nach ERGUN /3.40./:
( 1− ε)
3
Δp
dST
ε
Eu
ε
= ⋅ ⋅ = 150 ⋅ + 1,75
2
( 3.190)
ρ ⋅ u h 1− ε Re
f
b
Diese Form des Widerstandsgesetzes der Durchströmung wird verbreitet für
gröberes Gut (etwa d > 1 mm) genutzt, obwohl dabei die der Ableitung
zugrundeliegenden weitreichenden Vereinfachungen nicht übersehen werden
dürfen, die die quantitativen Modellaussagen erheblich einschränken
können.
Für feinere Schüttgüter werden damit u.U. zu hohe Druckverluste berechnet.
Deshalb findet sich in der Fachliteratur eine Reihe mehr oder weniger davon
abweichender Formulierungen des Widerstandsgesetzes der Durchströmung,
die vorwiegend für eingeschränkte Re-Bereiche gelten: F 3.37, a,
b, c
Da sich dreitermige Ausdrücke für die Erfassung des Einzelteilchen-
Widerstandes im gesamten verfahrenstechnisch interessierenden Re-Bereich
als sehr leistungsfähig erwiesen haben, s. auch Gl.( 3.213), so sind in neuerer
Zeit auch entsprechende dreitermige Modellansätze für die Durchströmung
bekannt geworden, die für ε → 1 in die Gleichungen der Umströmung
von Einzelteilchen übergehen (s. z.B. /3.35.//3.37./), Tabelle Bild F
3.37.c.10
turb
3.6.2 Durchströmung von Wirbelschichten
Bei der Durchströmung einer feinkörnigen Schüttung, die auf einem fluiddurchlässigen
Boden (Anströmboden) in einem schachtartig ausgebildeten
Apparat lagert, setzen unmittelbar vor dem Übergang in den fluidisierten
Zustand zunächst gewisse beschränkte Umordnungen ein, d.h. einzelne Partikeln
verändern ihre Lage, andere können vibrieren oder bewegen sich innerhalb
begrenzter Gebiete. Schließlich vollzieht sich mit weiterer Geschwindigkeitssteigerung
der Übergang in das Gebiet, in dem die von der
Strömung auf die Schicht ausgeübten Kräfte den statischen Druck der
Schüttung auf das gesamte Volumen hinweg überwinden. Die Porosität ist
dann so groß geworden, daß die einzelnen Partikeln gegenseitig vollständig
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61
beweglich werden, Wirbelschicht, Fließbett, Bild F 3.38. Dieser für den
Übergang charakteristische Punkt wird als Lockerungspunkt (Wirbelpunkt)
und die entsprechende Fluidgeschwindigkeit als Lockerungsgeschwindigkeit
u L bezeichnet. Allerdings ergibt sich nur für enge Partikelklassen
ein scharf definierter Lockerungspunkt, bei Vorliegen breiterer Partikelgrößenverteilungen
ein Lockerungsbereich.
Hier wird der Fließverhalten eines Schüttgutes mit bevorzugter
COULOMB-Reibung zwischen den Partikelkontakten (Ausbildung eines
sog. Schüttkegels) verlassen, siehe Abschnitt 3.2.2. Der Partikelgerüstdruck
σ (effektive Normalspannung σ´) strebt durch den zunehmenden Porenfluiddruck
p ≡ Δp, siehe Gln. ( 3.192) und ( 3.234), gegen Null (Aufheben der
Partikelkontakte) und das Fließverhalten dieses Fließbettes kommt dem
eines viskosen reibungsarmen Fluides nahe („Abfließen“ oder Schüttkegelzusammenbruch).
σ = σ − p = σ − Δp
→ 0
( 3.191)
σ ges
ges
ges
gesamter übertragbarer Druck
Mit einer Flüssigkeit als Fluid entsteht nach Überschreiten des Lockerungspunktes
immer eine entsprechend der Fluidgeschwindigkeit sich weiter
ausdehnende homogene Wirbelschicht, in der Gleichgewicht zwischen
den auf sie wirkenden Strömungskräften und dem um den Auftrieb verminderten
Gewicht der Schicht besteht, Bild F 3.38 /3.45.//3.46./.
(F
G,b
Δp
− F
A
)
/ A
≈ 1
( 3.192)
Dieser Zustand ist dadurch gekennzeichnet, daß die Partikel über das gesamte
Schichtvolumen weitgehend statistisch homogen verteilt sind.
Gas-Feststoff- Systeme verhalten sich im allgemeinen anders. Oberhalb
des Lockerungspunktes treten gutabhängig in geringerem oder größerem
Abstand von diesem Instabilitäten auf. So bilden sich meist sog. Blasen,
d.h. mehr oder weniger feststoffarme Gebiete, die nach oben aufsteigen und
sich durch Koaleszenz vergrößern. Die Mindest-Fluidgeschwindigkeit, bei
der Blasenbildung eintritt, liegt für nicht bzw. schwach kohäsives Schüttgut
(d.h. geringe Haftkräfte zwischen den Partikeln, sog. Gruppe B - Verhalten
nach Geldart, Bild F 3.39) um so näher bei der Lockerungsgeschwindigkeit,
je gröber die Partikel sind /3.47.//3.48/.
Mit wachsender Fluidgeschwindigkeit wird die Durchbewegung in der Wirbelschicht
immer heftiger. Allerdings expandiert diese im Vergleich zu
Flüssigkeits-Feststoff-Systemen nicht viel über das Ausmaß hinaus, das
bereits am Wirbelpunkt erreicht ist, Bild F 3.38.
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62
Im instabilen Übergangsbereich zur instationären Wirbelschicht können
bei genügend schlanken und hohen Wirbelschichtapparaten und nicht feinkörnigem
Gut Blasen auftreten, die sich über den gesamten Schichtquerschnitt
erstrecken, Bild F 3.39. Dann ergeben sich stoßartige Auf- und Abbewegungen
(stoßende Wirbelschicht, slugging).
Weitere Inhomogenitäten können dadurch bedingt sein, daß das eintretende
Gas vom Anströmboden ungenügend verteilt wird, so daß dieses die Schicht
nur in begrenzten Bereichen durchbricht (durchbrochene Wirbelschicht,
channeling). Wirbelschichten, der zuletzt geschilderten Art werden als inhomogene
Wirbelschichten bezeichnet. In ihnen ist der Feststoff ungleichmäßig
verteilt, und die Porosität unterliegt starken örtlichen und zeitlichen
Schwankungen.
Besondere Schwierigkeiten hinsichtlich des Fluidisierens bereitet kohäsives
bis sehr kohäsives, feinstkörniges Schüttgut (sog. Gruppe C der GEL-
DART-Klassifizierung F 3.39. Auf Grund ihrer Feinheit ist der Durchströmungswiderstand
sehr hoch bei sehr geringer Gasdurchströmungsgeschwindigkeit,
siehe Gl.( 3.169). Infolge der hohen Partikelhaftkräfte ist die Strömungswiderstandskraft
nicht in der Lage die einzelnen Partikelkontakte
abzulösen. Es bleibt das schlecht durchströmbare Kontinuum weitstgehend
erhalten und nach Gasdurchbruch bilden sich größere Strömungskanäle mit
hoher Gasgeschwindigkeit. Das Gas „sucht“ sich folglich den Weg des geringsten
Strömungswiderstandes, Bild F 3.39.
Sämtliche bisher behandelten Wirbelschichtzustände kann man, wenn von
den Instabilitäten abgesehen wird, als stationäre Wirbelschichten bezeichnen.
Hierbei ist die obere Schichtbegrenzung gegenüber dem darüber befindlichen
Fluidraum noch deutlich ausgeprägt. Allerdings werden dabei
einzelne Partikeln schon nach oben herausgeschleudert und gegebenenfalls
auch mit der Fluidströmung abgeführt. Ob letztere vom Fluidstrom abtransportiert
werden oder nicht, hängt letztlich vom Verhältnis der Schwebegeschwindigkeit
der einzelnen Partikeln zur Fluidgeschwindigkeit ab. Solange
die erstere größer als die letztere ist, werden die ausgestoßenen Einzelkörner
wieder zurückfallen. Bei breiterer Partikelgrößenverteilung kann
dieser Umstand für Klassierprozesse ausgenutzt werden, wenn der abzutrennende
Feinkornanteil gering ist (klassierende Wirbelschicht).
Wird die Schwebegeschwindigkeit aller Partikeln überschritten, so verschwindet
die obere Schichtgrenze und das gesamte Gut wandert stark aufgelockert
mit dem Fluidstrom (instationäre Wirbelschicht). Führt man bei
sehr hohen Apparategrößen den ausgetragenen Feststoff wieder über eine
Bypass-Leitung in die Wirbelschicht zurück, so erhält man eine sog. zirkulierende
Wirbelschicht.
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Für weitere Betrachtungen über die Bildung von Wirbelschichten eignen
sich Diagramme, in denen der auf das Bettgewicht normierte Druckabfall
als Funktion der Leerrohr-Fluidgeschwindigkeit dargestellt ist. Dies ist im
Bild F 3.38 in Form der Abhängigkeit
Δp
⋅ A
= f ( u)
m ⋅ g
s
und gemäß Kretschmer zusätzlich mit der Wirbelschichtdichte
( 3.193)
ms
ρ
WS
= = f (u)
( 3.194)
A ⋅ h
WS
in einem linearen Diagramm geschehen – darüber hinaus ist auch noch eine
Darstellung log Δ p = f (log u)
üblich.
Beide Kennlinien des dimensionslosen Druckverlustes und der Wirbelschichtdichte
enthalten charakteristische Punkte, die die Eigenschaften des
Schüttgutes hinsichtlich erwünschter homogener Fluidisierung beschreiben:
(1) Ruhende Schüttung mit der Schüttgutdichte ρ b ≈ ρ b,0 .
(2) Durchströmte Schüttung; Es erfolgt eine Umorientierung der Partikeln,
wodurch sich die Schüttgutdichte auf ρ b,max = ρ WS,max erhöhen kann.
(3) Lockerungspunkt mit der Leerrohrgeschwindigkeit u L und der Wirbelschichtdichte
ρ WS,L oder Porosität ε L ; Schwerkraft der Schüttung und
Strömungswiderstand befinden sich im Gleichgewicht.
(4) Punkt des freien Fließens mit der Leerrohrgeschwindigkeit u * ; Hier
liegt ein optimales Fluidisierungverhalten hinsichtlich verminderter Blasen-
und Kanalbildung vor.
(5) Zwischen Pkt. (5) und Pkt. (6) bleiben Wirbelschichtdichte und Druckverlust
konstant. Es beginnt die Entmischung der Wirbelschicht.
Der Wert des dimensionslosen Druckverlustes ist ein orientierendes Maß
des Fluidisierungsgrades einer Wirbelschicht. Er gibt etwa den Gewichtsanteil
der an der Wirbelschicht beteiligten Schüttgutmasse wieder.
Bei kohäsiven Pulvern kann der dimensionslose Druckverlust etwas größer
als 1 sein (hier im Bild F 3.38 nicht eingezeichnet, siehe Gln.( 3.154) und (
3.192)), da die Haftkräfte F H zwischen den Partikeln und eine Wandreibungskraft
F WR überwunden werden müssen:
Δ p = F − F + F + F / A = 1− ε ⋅ ρ − ρ ⋅ g ⋅ h + F F /
( ) ( ) ( ) ( ) A
G A WR H
s f b WR
+
( 3.195)
Unmittelbar im Anschluß zwischen (3) und (4) würde der dimensionslose
Druckverlust auf den Wert von etwa 1 abfallen. Von jetzt ab befinden sich
die von der Strömung auf die Partikelschicht ausgeübten Kräfte mit dem um
den Auftrieb verminderten Gewicht im Gleichgewicht. Der Verlauf der
Druckverlustkurve ist bei Verminderung der Fluidgeschwindigkeit durch
eine Hysterese gekennzeichnet. Dies bedeutet, daß die Wirbelschicht in eine
H
63
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64
ruhende Schüttschicht mit der Wirbelschichtdichte ρ WS,L oder Porosität ε L
übergeht; für grobe Abschätzungen siehe auch Gl.( 3.200).
Der Neigungswinkel β der Wirbelschichtdichte-Kurve charakterisiert die
Intensität der Fluidisierung. Ein großer Winkel, also steiler Abfall der
Dichte-Kurve sowie hohe Expansionszahl κ E Gl.( 3.197), kennzeichnen eine
hohe Fluidisierungsintensität und eine hohe Wirbelschichthomogenität (reziproke
FROUDE-Zahl, svw. Haftkraftmerkmal).
2
1 ε ⋅ dε ⋅ g
Ho = =
( 3.196)
Fr u
2
L
Ein kleiner Wert für β bedeutet eine geringe Wirbelschichthomogenität
infolge Kanal- oder Blasenbildung.
Eine quantitative Beurteilung des Fluidisierungs- und Förderverhaltens
feinkörniger Schüttgüter ist mit den nachfolgend erläuterten Kennzahlen
möglich, die aus den charakteristischen Leerrohrgeschwindigkeiten und
Wirbelschichtdichten gebildet wurden. Die Expansionszahl κ E kann als
Druckverlustverhältnis interpretiert werden und ist
2
⎛ u
L ⎞
κ
E
= ⎜ ≤ 1
*
⎟
( 3.197)
⎝ u ⎠
u* Wirbelgasgeschwindigkeit beim „freien“ Fließen ohne nennenswerte
Änderung der Wirbelschichtdichte Bild F 3.38
Bei geringen Haftkräften ist u L ≈ u* und damit κ E ≈ 1. Treten Haftkräfte auf,
muß u* > u L sein und die Wirbelschicht expandiert κ E < 1 durch Porositätszunahme
mitels Ausbildung feiner Strömungskanäle.
Vergrößern sich diese infolge Überwindung größerer Haftkräfte, kann ebenfalls
κ ≈ 1 sein. Allerdings liegen hier vergleichsweise höhere Lockerungsgeschwindigkeiten
u L (svw. Strukturmerkmal) vor. Aus diesem Grunde wird
die Expansionszahl κ E nach Gl.( 3.197) mit der Lockerungsgeschwindigkeit
u L multipliziert. Um jedoch eine bessere Unterscheidungsmöglichkeit zu
erhalten, wird in der Durchströmbarkeitszahl σ D deren Quadrat verwendet:
2 4 ∗2
σ
D
= κE
⋅ u
L
= u
L
/ u
( 3.198)
Große σ D bedeuten praktisch gute Durchströmbarkeit; kleine einen großen
Druckanstieg bei der Festbettdurchströmung. σ D spiegelt den spezifischen
Energieeintrag (Dispergierwirkung) in ein Schüttgut wider. Eine leichte
Durchströmbarkeit hat ihre Ursachen entweder in groben Partikeln oder in
einer Kanalbildung auf Grund der wirkenden Haftkräfte. Je geringer die
Leerrohrgeschwindigkeit am Lockerungspunkt u L ist, desto feiner hat sich
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65
Struktur der Durchströmungskanäle ausgebildet. Die Wirbelschichthomogenität
wird besser und die Haftkräfte sind niedrig.
Ein hohes Gashaltevermögen des Schüttgutes drückt sich ebenfalls in einer
geringen Expansionszahl κ E und leichte Durchströmbarkeit σ D aus, siehe
Abschnitt 3.6.3.
Die Breite der Partikelgrößenverteilung des Wirbelgutes wird analog
d 95 /d 50 durch das Verhältnis des gewogenen Mittels der Masseverteilung
(Index 3; das 3. Moment bewertet bevorzugt Grobes) zum SAUTER-
Durchmessers d ST = d -1,3 (bewertet bevorzugt Feines) berücksichtigt:
d
d
3,3
ST
1/ 3
d
⎛ o
N
1/ 3
⎜ 3
d
⎛ 3 ⎞
1/ 3
d
( M ) ⎜ ∫
⎜∑
m,i
⋅ μ3,i
⎟
3,3 ⎝ du
⎝ i=
1
= =
=
⎠
−1
−1
1
( M ) d
N
−
o
−1,3
⎛
⎛
1
1 ⎞
⎜ −
−
d
⎜ d
m,i
⋅ μ3,i
⎟
⎜ ∫
∑
⎝ i=
1 ⎠
d
⎝
u
⎞
⋅ q (d) d(d) ⎟
3
⎟
⎠
⎞
⋅ q3(d)
d(d) ⎟
⎟
⎠
≥ 1
( 3.199)
d m,i mittlerer Klassendurchmesser
μ Masseanteil der i-ten Klasse
3,i
i Partikelgrößenklasse
Der Vergleich der Durchströmbarkeitszahl σ D mit dem SAUTER-Durchmesser
d ST und dem Partikelgrößenverhältnis d 3,3 /d ST liefert eindeutige Aussagen
zwischen haftkraft- und partikelgrößenbedingter Durchströmbarkeit.
1) Eine geringe Durchströmbarkeit σ D bei geringem SAUTER-Durchmesser
d ST und großer Verteilungsbreite d 3,3 /d ST bringt den Effekt der
Einlagerung von feinen Partikeln in die Porenräume des Grobkorngerüstes
zum Ausdruck.
2) Eine geringe Durchströmbarkeit σ D bei mittlerem SAUTER-
Durchmesser d ST und geringer Verteilungsbreite d 3,3 /d ST zeigt relativ geringe
Haftkräfte und die Ausbildung feiner Poren (Kanäle) an.
3) Bei großer Durchströmbarkeit σ D , großem SAUTER-Durchmesser d ST
und großer Verteilungsbreite d 3,3 /d ST liegt immer ein grobes Schüttgut
vor.
Der mögliche Arbeitsbereich wird außerdem durch das Verhältnis der Wirbelschichtdichten
ρ WS /ρ WS,max abgegrenzt.
Der Punkt der maximalen Schüttgut- bzw. Wirbelschichtdichte (2) und der
Punkt des freien Fließens (4) begrenzen den möglichen Arbeitsbereich einer
pneumatischen Fließ- oder Dichtstromförderung, innerhalb dessen
eine homogene Fluidisierung und Fließförderung möglich ist, siehe Bilder F
3.38 und F 3.40 nach Kretschmer:
1) ausreichende Feinheit der Partikeln: ≤ 60 μm
2) ausreichend breite Partikelgrößenverteilung: d d 3
d ST
3 ,3 ST
>
3) große Expansionszahl: 0,18
≤ κ ≤ E
1
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2 2
4) kleine Durchströmbarkeitszahl:
σ
D
≤ 0,3 cm / s
5) ausreichender Dichtebereich: ρ ρ ≥ 0, 60
WS
WS,max
Liegt die Leerrohrgeschwindigkeit am Pkt. (4) bei u* < 2 cm/s, dann ist das
Schüttgut stetig förderbar, wobei der Förderrohrdurchmesser D > 10 mm
sein muß. Bei 2 cm/s < u* < 3,5 cm/s muß D > 25 mm sein und für u* > 3,5
cm/s müssen Homogenisierungshilfen eingesetzt werden. Eine Fließförderung
ist nicht mehr möglich. Dann kann nur noch eine Pfropfenförderung
realisiert werden.
66
Die für den Übergang in den Wirbelschichtzustand kennzeichnende Porositätε
L läßt sich für viele Systeme angenähert durch nachfolgende Beziehungen
bestimmen /3.50/:
1
1− ε
L
≈14
oder ≈ 11
( 3.200)
3
2 3
ψ ⋅ε
ψ ⋅ε
A
L
A
L
Der Übergang in den fluidisierten Zustand am Lockerungspunkt ist durch
das folgende Kräftegleichgewicht bestimmt:
Eu ⋅ ρ
Δ p =
f
⋅ u
d
2
L
ST
⋅ h
⋅ ε
L
3
L
⋅
( 1− ε )
L
=
( FG
− FA
)/
A = ( 1− εL
) ⋅ ( ρs
− ρf
) ⋅ g ⋅ h
L
h L Schichthöhe am Wirbelpunkt ( 3.201)
ε L Porosität am Wirbelpunkt, F 3.38
Daraus erhält man unter Berücksichtigung der ERGUN-Gl.( 3.190) für die
Lockerungsgeschwindigkeit u L :
1− ε
= 42,9 ⋅
d
η
⋅
ρ
⎡
⋅ ⎢
⎢⎣
ε
( ρ − ρ )
⋅ ρ
η
3
L
−4
L s f f
u
L
1+
3,1 ⋅10
⋅ ⋅
2
2
ST f
( 1− εL
)
⋅ d
3
ST
⋅ g
⎤
−1⎥
⎥⎦
( 3.202)
oder für den Bereich, in dem die Zähigkeitskräfte für den Durchströmungswiderstand
überwiegen:
( ρ − ρ )
3
2
1 εL
s f
⋅ dST
⋅ g
u
L
= ⋅ ⋅
für Re L < 20 ( 3.203)
150 1− ε η
L
oder für den Bereich, in dem die Trägheitskräfte vorherrschen:
u
1
( ρ − ρ )
⋅ d
⋅ g
3 s f ST
L
= ⋅ εL
⋅
für Re L > 1000 ( 3.204)
1,75 ρf
Theoretisch erstreckt sich der Wirbelschichtbereich von der Lockerungsgeschwindigkeit
u L bis zur Schwebegeschwindigkeit der Einzelpartikeln, die
dem Betrage nach mit der stationären Sinkgeschwindigkeit entweder im
STOKES-Bereich der laminaren Partikelumströmung Re < 1 Gl.(4.44)
MVT_e_4.doc - Sinkgeschwindigkeit_STOKES
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( ρ − ρ )
2
s f
⋅ d ⋅ g
u
L
≈ vs
=
( 3.205)
18 ⋅ η
oder im NEWTON-Bereich 10 3 < Re < Re c = 2⋅10 5 der turbulenten Partikelumströmung
Gl.(4.45) MVT_e_4.doc - Sinkgeschwindigkeit_NEWTON
u
( ρ − ρ )
⋅ d ⋅ g
s f
L
≈ vs
= 3⋅
( 3.206)
ρf
weitestgehend übereinstimmt.
Das Ende der Druckverlustkurve der Schicht im Bild F 3.38 trifft theoretisch
auf die des leeren Rohres bzw. Schachtes ⇒ s. Druckverlust der Flugförderung
in pneumatischen Senkrecht-Fördereinrichtungen.
67
Davon ausgehend soll nun das Durchströmungsproblem einer Partikelschüttung
gemäß der 2. Modellvorstellung Abschnitt 3.6.1 als Umströmung aller
Partikeln in einem Wirbel- oder Festbett behandelt werden (O. MOLE-
RUS: Principles of Flow in Disperse Systems, Chapman & Hall 1993, p.
10). N P gleichgroße kugelförmige Partikeln haben daher einen Druckverlust
Δp, der sich aus des Widerstandskraft der Einzelpartikeln F W,P , siehe
Gl.(4.10) MVT_e_4.doc - cW wie folgt zusammensetzt:
Δ p ⋅ A = N P
⋅ F W,P
( 3.207)
Die Partikelanzahl im Festbett der Höhe h b ist mit dem Feststoffvolumenanteil
(1-ε)
N
P
V A ⋅ h
b
= ( 1− ε) ⋅ = ( 1− ε) ⋅
( 3.208)
3
V π / 6 ⋅ d
P
Es wird eine Festbett-EULER-Zahl Eu B abweichend von Gl.( 3.187) als
dimensionslose Druckverlust-Kennzahl mit dem Partikelumströmungswiderstand
F W,P und der charakteristischen Porenströmungsgeschwindigkeit u ε
als Partikelanströmungsgeschwindigkeit nach Gl.( 3.171) definiert:
FW,P
/ A
P
cW
≡ Eu
B
=
( 3.209)
2
ρ / 2 ⋅ u
f
ε
Mit den Gln.( 3.207) und ( 3.208) folgt
2 ⋅ FW,P
2 ⋅ Δp
⋅ π / 6 ⋅ d
Eu
B
=
=
2
2
A ⋅ N ⋅ ρ ⋅ u π / 4 ⋅ d ⋅ 1− ε ⋅ h ⋅ ρ
P
P
f
ε
( ) ⋅ ( u / ε) 2
2
4 Δp
d ε
Eu
B
= ⋅ ⋅ ⋅
2
( 3.210)
3 ρ ⋅ u h 1− ε
f
b
Mit dem Druckverlust am Lockerungspunkt Gl.( 3.201) ergibt sich die
EULER-Zahl für die Wirbelschicht,
Eu
4
ρ
− ρ
d ⋅ g
s f
2
WS
= ⋅ ⋅ ⋅ ε
2
, ( 3.211)
3 ρf
u
b
3
f
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wobei als charakteristische Partikelgröße d entsprechend den obigen Modellannahmen
der SAUTER-Durchmesser d ST oberflächengleichwertiger
Kugeln eingesetzt werden sollte. Man beachte die Plausibilität dieser Wirbelschicht-EULER-Zahl,
d.h., der Grenzwert für ε→1 muß lim Eu = c
und auch
4
(1 − ε)
⋅ h
⋅ F
2 ⋅ F
ε →1
2
WS W,P
W,P
lim Eu
WS
= ⋅
⋅ ⋅ =
=
ε→1
2
3
2
2
3 ρf
⋅ u ⋅ π / 6 ⋅ d h
WS
1− ε ρf
⋅ u ⋅ π / 4 ⋅ d
ergeben. Gl.( 3.211) umgestellt liefert die Anströmgeschwindigkeit u
u
4⋅
( ρ − ρ )
f
⋅ ε ⋅ d
⋅ Eu
WS
d
2
s f
ST
= ( 3.212)
3⋅ρ
⋅g
Für die allgemeine Durchströmungsbedingung Re < 10 4 wurde von MOLE-
RUS (..., p. 27) für kugelförmige Partikel experimentell gefunden
Eu
WS
=
2
24 ⎪⎧
⎡d
1 ⎛ d ⎞ ⎤⎪⎫
⋅ ⎨1
+ 0,341⋅
⎢ + ⋅ ⎜ ⎟ ⎥⎬
+
Re ⎪⎩ ⎢⎣
a 2 ⎝ a ⎠ ⎥⎦
⎪⎭
ε
4 ⎪⎧
⎛ d ⎞
⋅ ⎨1
+ 0,07 ⋅ ⎜ ⎟
Re ⎪⎩ ⎝ a ⎠
1,5
c
W
WS
68
W
⎪⎫
d 0,907
⎬ + 0,4 + ⋅
0,1
⎪⎭ a Re
mit dem ( 3.213)
⇒ 24 {} ...
Re
⋅ ersten laminaren Widerstandsterm,
⇒ 4 Übergangsterm und dem
Re
⇒ 0,4 + ... Widerstandsterm für turbulente Durchströmung,
die der Partikelumströmung, siehe Abschnitt Gl.(4.14) MVT_e_4.doc -
Widerstandsbeiwert_kaskas, entsprechen. Der laminare Umströmungswiderstand
von glatten Kugeln setzt sich übrigens aus 2/3 viskosem Reibungswiderstand
und 1/3 Druckwiderstand zusammen:
2
⎪⎧
⎡2
d 1 ⎛ d ⎞ ⎤⎪⎫
Eu ⋅ Re = 24⋅
⎨1
+ k
exp,lam
⋅ ⎢ ⋅ + ⋅⎜
⎟ ⎥⎬
für Re

ϕ
s
3
Vs
π ⋅ d
= =
3
V 6 ⋅ l
π ⋅ d
=
6 ⋅
3
( d + a) 3
Mit einem relativen Partikelabstand k a analog einer KNUDSEN-Zahl
k a
= a / d
( 3.215)
und einer dem kubischen Packungsmodell monodisperser Kugeln entsprechenden
maximalen Packungsdichte ϕ s,max = π/6 = 0,5326 erhält man
ϕ
s,max
ϕ
s
=
bzw. ( 3.216)
( 1+ k ) 3
a
ϕs,max
= −1
oder ( 3.217)
ϕ
k 3
a
s
69
d
a
=
−1
⎡ ϕ ⎤
3
s,max
1− ε
= ⎢3
−1⎥
=
3
3
a
ϕs
( 1− ε) max
− 1
1
k
⎢⎣
⎥⎦
− ε
( 3.218)
Für die Wirbelschichtdurchströmung hat MOLERUS
3
( 1− ε) 0, 9
ϕ d.h. (1-ε) max = 0,729 ( 3.219)
3
s ,max
=
max
=
gewählt, so daß in Gl. ( 3.213) einzusetzen ist:
⎛ d ⎞
⎜ ⎟
⎝ a ⎠
=
3
1− ε
3
0,9
0,9 − 1
− ε
( 3.220)
Diese Beziehung ( 3.213) läßt sich auch für den Druckverlust von mehr oder
weniger gesättigten Suspensionen verwenden, wobei hier aber die REY-
NOLDS-Zahl mit der Relativgeschwindigkeit zwischen Fluid und den Partikeln
gebildet wird:
Re
Tr
u − v ⋅ dST
⋅ ρl
/ ηl
= u − v ⋅ dST
/
= ν
( 3.221)
Außerdem sollen hier auch die Gleichungen für die Durchströmung eines
Festbettes angegeben werden:
2
24 ⎪
⎧ ⎡d
1 ⎛ d ⎞ ⎤
Eu
B
= ⋅ ⎨1
+ 0,692⋅
⎢ + ⋅⎜
⎟ ⎥
Re
a 2 a
⎪⎩
⎢⎣
⎝ ⎠ ⎥⎦
0,95
⎪
⎫
⎬ +
⎪⎭
l
4 ⎪⎧
⎛ d ⎞
⋅ ⎨1
+ 0,12⋅⎜
⎟
Re ⎪⎩ ⎝ a ⎠
Die maximale Packungsdichte wird angenommen mit
3
( 1− ε) 0, 95
3
s ,max
=
max
=
1,5
0,95
⎪⎫
⎛ d ⎞
⎬ + 0,4 + ⎜ ⎟
⎪⎭ ⎝ a ⎠
0,95
( 3.222)
ϕ d.h. (1-ε) max = 0,8574 ( 3.223)
0,891
⋅
0,1
Re
⎛ d ⎞
⎜ ⎟
⎝ a ⎠
=
3
0,95
0,95 − 1
3
1− ε
− ε
( 3.224)
Für stärkere Abweichungen von der Kugelform erhöht sich der Widerstand:
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Eu
B
⎪
⎧
2
24
⎡d
1 ⎛ d ⎞ ⎤
= ⋅ ⎨1
+ 0,685⋅
⎢ + ⋅
2
⎜ ⎟ ⎥
k ⋅Re
⎪⎩
⎢⎣
a 2 ⎝ a ⎠ ⎥⎦
⎪
⎫
⎬ +
k ⎪⎭
4 ⎪⎧
⎛ d ⎞
⋅⎨1
+ 0,289⋅⎜
⎟
⋅ Re ⎪⎩ ⎝ a ⎠
⎪⎫
⎬ +
⎪⎭
70
⎧ ⎛ d ⎞
⋅⎨0,4
+ 0,514⋅⎜
⎟
⎩ ⎝ a ⎠
1,5
ψ
0,95 ψ
0,95 ψ
0, 95
1,5
1
k
( 3.225)
⎫
⎬
⎭
k ψ
Partikelformfaktor nach Gl.(4.47) MVT_e_4.doc - Formkorrektur
Vor allem Wirbelschichten mit Gasen als Fluid werden wegen ihrer mannigfaltigen
Vorteile heute in der Verfahrenstechnik verbreitet angewendet:
- Bei mechanischen Prozessen nutzt man ihre intensive Mischwirkung
und z.T. auch ihre Klassierwirkung aus,
- bei thermischen Prozessen vor allem den intensiven Wärme- und Stoffübergang
beim Wärmeübertragen, beim Trocknen, bei der Adsorption,
- Schließlich haben sie umfangreiche Bedeutung für die Reaktionstechnik
(katalytische Gas-Feststoff-Reaktionen) wobei die intensive Durchmischung
gleichmäßige Temperaturen über das Volumen hinweg gewährleistet.
- Der fluidisierte Zustand kann auch hinsichtlich der Prozeßsteuerung
vorteilhaft sein (leichterer Feststofftransport durch den Prozeßraum,
Förderung und Automatisierbarkeit).
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3.6.3 Entlüftungsverhalten
71
Wird ein Schüttgut von Luft durchströmt, kann es beim Erreichen des Wirbelpunktes
fluidisiert werden. Das Fließverhalten einer solchen Wirbelschicht
läßt sich nahezu wie das eines viskosen Fluids (NEWTONsche Flüssigkeit)
beschreiben. Der umgekehrte Prozeß von einer Fluidisation zum
Erreichen des Fließverhaltens einer Schüttung (COULOMB-Reibung) stellt
die Entlüftung dar.
Eine Ausnahme stellen dabei sehr kohäsive Schüttgüter dar, die sich hinsichtlich
ihres Fluidisationsverhaltens in die Gruppe C der Einteilung nach
Geldart /20/ F 3.39 einordnen würden, da diese Materialien extrem schwierig
zu fluidisieren sind. In erster Linie bilden sich bei Schüttgütern der
Gruppe C Kanäle, durch die die Luft entweicht, und eine Fluidisierung tritt
nicht ein.
In dem betrachteten Fall, daß ein Austraggerät aus einem Einfülltrichter in
eine pneumatische Förderanlage dosieren soll, gibt es an zwei Stellen die
Möglichkeiten, eine Fluidisierung des Schüttgutes zu erreichen.
1. Eine Variante ist, daß Luft durch das Schüttgut im Austraggerät strömt
und es versucht zu fluidisieren. Da aber die Ausdehnung des Materials
Voraussetzung dafür ist, ist eine Fluidisierung des Materials in diesem
Fall nicht denkbar. Durch die räumliche Begrenzung des Schüttgutes im
Austraggerätekanal kann die Porosität durch die Luftdurchströmung
nicht verändert werden.
2. Die zweite Möglichkeit resultiert aus der pneumatischen Befüllung eines
Vorratsbunkers. Von dort kann bei zu geringer Verweilzeit (z.B. Kernfluß,
d.h. Kurzschlußströmung) fluidisiertes Material in den Einfülltrichter
des Dosierers gelangen.
3. Außerdem kann allein durch die Strömung beim Befüllen des Einfülltrichters
aus dem Vorratsbunker das Material so mit Luft angereichert
werden, daß es zu einer Fluidisierung kommt.
Da auf Grund der fehlenden Wandreibung von fluidisiertem Material das
Förderprinzip der Austraggeräte unwirksam ist, muß die minimale Verweilzeit
im Trichter abgeschätzt werden können, die das Schüttgut zum Entlüften
benötigt. Im Einfülltrichter muß durch richtige Wahl des minimalen
Füllstandes gewährleistet sein, solange "altes", bereits entlüftetes Schüttgut
ausgetragen wird, bis sich das darüber befindliche Material entlüftet hat.
Die ersten umfangreichen Betrachtungen zum Entlüftungsverhalten wurden
von Johanson und Jenike /21/ durchgeführt. Aus einer Gleichgewichtsbetrachtung
an einer Schüttgutscheibe der Dicke dz ergibt sich aus der Kontinuitätsgleichung
für die Gasströmung, daß die zeitliche Änderung der gespeicherten
Luftmenge im Volumenelement genauso groß wie die Änderung
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72
des Massestromes der Luft durch das Volumenelement sein muß, vgl. Bild
3.28:
a) Kontinuitätsgleichung der Gasströmung
Gasströmung aus dem Volumenelement
m&
= m&
+ dm&
= ρ ⋅ A ⋅ u ⋅ d ρ ⋅ A ⋅ u
f ,1
f ,2
f
f
( )
f
dm
dm
b
f
= ρb
⋅ A ⋅ dz
= ρ ⋅ ε ⋅ A ⋅ dz
f
dz
z
m&
f ,2
= ρ
f
⋅ A ⋅ u
Bild 3.27: Gasströmung durch das Volumenelement
b) Kräftegleichgewicht
( σ + d σ) + ( p + dp)
τ
dm / A = ρ ⋅ g ⋅ dz
b
b
τ
τ = tan ϕ
W
⋅ λ ⋅ σ
σ + p
Bild 3.28: Kräftebilanzierung an einer Schüttgutscheibe
( dm )
∂
∂t
f
= m&
f ,2
− m&
f ,1
= −dm&
f
( 3.226)
Setzt man die Größen ein, die im Bild 3.28 aufgeführt werden, ergibt sich:
∂
∂
( ρ ⋅ ε ⋅ A ⋅ dz)
f
∂t
= −d
( ρ ⋅ A ⋅ u)
( ρ ⋅ ε) ∂( ρ ) ∂( ε) ∂( ρ ⋅ u)
f
∂t
= ε
f
∂t
+ ρ
f
f
⋅
∂t
= −
f
∂z
( 3.227)
( 3.228)
Setzt man nun die Gültigkeit des idealen Gasgesetzes bei einer konstanten
Temperatur voraus, so sind der Porengasdruck p und die Dichte der Luft ρ f
einander proportional. Außerdem kann die Änderung der Porosität ∂ ε durch
die Änderung der Schüttgutdichte beschrieben ∂ ρ werden. Unter diesen
Voraussetzungen ergibt sich:
( u ⋅ p)
∂p
p ∂ρb
d
ε ⋅ − ⋅ + = 0
( 3.229)
∂t
ρ ∂t
dz
b
b
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Die Gl.( 3.229) enthält drei voneinander abhängige Variablen p, ρ b und u
die miteinander durch weitere Gleichungen verknüpft werden müssen.
‣ Für laminare Durchströmung kann die Geschwindigkeit u, z.B. mit Gl.(
3.155), durch den Druckverlust dp / dz beschrieben werden.
‣ Weiterhin kann die Schüttgutdichte in Abhängigkeit von der Verfestigungsspannung
dargestellt werden, z.B. Gl.( 3.133) oder Fehler! Verweisquelle
konnte nicht gefunden werden..
Das Kräftegleichgewicht der betrachteten Schüttgutscheibe ergibt den Gesamtdruck
als Summe aus Normalspannung des Schüttgutes (svw. Vertikaldruck)
σ, Fluiddruck p, Reibungswiderstand der Partikelschicht an der
Wand und Schüttgutgewicht, siehe Bild 3.28:
μ λ
dσ + dp −
W ⋅ σ ⋅ dz + ρb
⋅ g ⋅ dz 0
A / U
=
( 3.230)
Das Horizontaldruckverhältnis λ (Druckanisotropiekoeffizient), siehe
Schüttec_4.doc - Horizontaldruckverh_Wandreib, wird in der Rechnung
vereinfachend als konstant angenommen.
Johanson und Jenike /21/ lösen die beiden Gleichungen mit Hilfe der Differenzen-Methode.
Es ist unschwer zu erkennen, daß das einen relativ hohen
Rechenaufwand erfordert, da für jede konkrete Anwendung die Differentialgleichungen
erneut gelöst werden müssen.
Aufgrund der aufwendigen Berechnung versuchen mehrere Autoren /22/,
/23/, /24/ unter bestimmten Voraussetzungen einfachere Lösungen zu finden.
Kirby /24/ entwickelte ein Modell der Porenluftdruckänderung, das die
Entlüftung während des pneumatischen Befüllvorganges bei Vernachlässigung
der Wandreibung beschreibt.
∂p
∂ ⎡ ∂p
⎤ dΔσ
= C * +
t z * ⎢
⋅
∂ ∂ ⎣ ∂z * ⎥
⎦ dt
ges
Die Koordinate ist hier auf den reinen Feststoff bezogen:
( 3.231)
∂ z*
= (1 − ε)
⋅ ∂z
( 3.232)
Er setzt konstante Permeabilität (konstante Durchströmungsbedingungen)
und lineare Kompressibilität (siehe Gl.( 3.246)) voraus. Damit kann ein
Verfestigungkoeffizient C* (siehe auch Gl.( 3.245)) aus der eckigen Klammer
herausgezogen werden.
C*
2
( 1− ε) ⋅ CV
= ( 3.233)
dΔσ ges = dΔ (σ+p) ist ein Gesamtdruckinkrement mit den Anteilen Partikelgerüstdruck
σ und Porengasdruck p während des Befüllens, wobei für den
zeitlichen Zuwachs des Partikelgerüstdruckes σ auch gilt:
73
Schüttec_3.doc © Vorlesung Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Prof. Dr. J. Tomas, 01.02.2011

∂σ
∂t
∂σ
=
∂t
ges
∂p
−
∂t
( 3.234)
74
Dieser wird in der Bodenmechanik gemäß
TERZAGHI auch als effektive, d.h.
wirksame (svw. tragende!), Spannung
σ´ ≡ σ bezeichnet, da er den Scherwiderstand
durch Partikelhaftung und –
reibung (COULOMB-Reibung) erzeugt.
0
P = 1
Während der Befüllung liegt das Schüttgut
p σ
fluidisiert vor, d.h. der Porendruck p
σ ges
= σ ges entspricht dem Gesamtdruck und Z = 1
somit ist der Partikelgerüstdruck σ = 0.
Bild 3.29: Spannungsverteilung
Durch Porengasströmung nimmt p ab
über die Tiefe
und das Partikelgerüst beginnt zu tragen,
d.h. σ steigt. Nach abgeschlossener Entgasung und Übergang in den
Schüttgutzustand ist p ≈ 0 und somit wird σ ges ≈ σ.
Die obige partielle Differentialgleichung ( 3.231) wird für normierte, feststoff-bezogene
Größen,
Höhe: Z = z * / H * mit ( 3.235)
H*
= (1 − ε)
⋅ H
( 3.236)
Zeit:
Porengasdruck:
*2
vs
⋅ t
T =
C *
( 3.237)
v s * = dz*/dt Befüllgeschwindigkeit ≈ const.
p
P = ρ ⋅ g ⋅ H *
( 3.238)
s
mittels Differenzenmethode für die Randbedingungen
(1) einseitig, d.h. Oberteil durchlässig, undurchlässiger Boden,
(2) beidseitig, d.h. Boden und Oberteil durchlässig
numerisch gelöst /24/.
Der Porenluftdruck am Ende der Befüllung ist dann geringer als bei isostatischen
Verhältnissen. Die weitere Entlüftung muß dann nach /21/, /22/, /23/
oder /25/ mit dem verringerten Porenluftdruck als Startbedingung berechnet
werden.
Murfitt und Bransby /22/ vernachlässigen als Vereinfachung den Einfluß
der Wandreibung und des Befüllvorganges sowie die Abnahme der Füllhöhe
H während der Entlüftung (gilt für sehr schnelles Befüllen und geringe Abnahme
der Füllhöhe H (geringe Setzung während der Entlüftung) und setzen
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isostatische Verhältnisse voraus, p v = ρ b ⋅g⋅z. Die obige Differentialgleichung
( 3.231) wird wie folgt vereinfacht angewandt:
75
∂p
∂t
= C
V
2
∂ p
⋅
2
∂z
( 3.239)
C V Koeffizient der Verfestigung in m 2 /s, siehe Gl.( 3.245)
Für eine anfänglich lineare Porendruckverteilung in die Tiefe z der Partikelschichten
( z, t 0) = p ⋅ z / H
p
t 0
p t=0
=
=
und ( 3.240)
Druckkonstante, Bezugswert des Porenluftdruckes
( z 0, t) 0
p = =
( 3.241)
fanden Murfitt und Bransby /22/ als Lösung mit Hilfe der Fourierreihenentwicklung
für einseitige Randdurchlässigkeit (1):
⋅ ⎛ ⋅ π ⎞ ⎛ ⋅ π ⋅ ⎞ ⎛ ⎞
= ∑ ∞ 8 pt=
0
i i z
2 t
p ⋅ sin⎜
⎟ ⋅ sin⎜
⎟ ⋅ exp
⎜−i
⋅
⎟
( 3.242)
2 2
i=
1 i ⋅ π ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⋅ H ⎠ ⎝ t
37 ⎠
und für beidseitige Randpermeabilität (2)
⋅
⎛ ⋅ π ⋅ ⎞ ⎛ ⎞
= ∑ ∞ 4 pt=
0
i z
t
p − ⋅ cos
( 3.243)
i=
1 i ⋅ π
2
( i ⋅ π) ⋅ sin⎜
⎟ ⋅ exp
⎜−i
⋅
⎝ 2 ⋅ H ⎠
⎟ ⎝ t
37 ⎠
mit dem Kinetik- bzw. Zeitparameter t 37
t
37
2
4 ⋅ H
=
2
( 3.244)
π ⋅ C
V
und dem Koeffizienten der Verfestigung:
C
k
= b
V
k
V
+ ε /( pü
+ p0
)
( 3.245)
k b
Permeabilität des Schüttgutes nach Darcy
Da es immer wieder verschiedene Darstellungen des Gesetzes nach Darcy
gibt, sei noch einmal auf die hier verwendete Schreibweise verwiesen:
Δp
u = k
b
⋅
( 3.155)
h
b
Der Zeitparameter t 37 ist dabei eine Bezugsgröße für beide e-Funktionen (
3.242) und ( 3.243), da in dem Fall i = 1 und t = t 37 der Exponent (- t / t 37 )
in den Gln.( 3.242) und ( 3.243) den Wert -1 annimmt. Das bedeutet, daß
der Porenüberdruck p ü wegen exp(-1) = 0,37 durch den Entlüftungsvorgang
auf 37 % des Anfangswertes gefallen ist.
In Gl.( 3.245) ist k V die Volumenkompressibilität des Schüttgutes,
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76
k V = dε / dσ ( 3.246)
hier nur mit dem Partikelgerüstdruck σ (svw. wirksame Spannung) gebildet.
σ = σ ges - (p ü + p 0 ) ( 3.247)
p ü Überdruck in den Poren gegenüber dem Normaldruck p 0
Oftmals bleibt der Gesamtdruck während der Entlüftung konstant. Es ändern
sich nur seine jeweiligen Anteile Partikelgerüstdruck σ und Porengasdruck
p, siehe
Bild 3.29. Wird nun die Berechnung für den Porendruck am Boden des
Bunkers (z = 0) entsprechend Gln. ( 3.242) und ( 3.243) nach i = 1 abgebrochen,
erhält man eine Abschätzung der Zeit t 50 , in der sich das Schüttgut um
50 % abgesetzt hat und unter den genannten Bedingungen (geringe Änderung
der Füllhöhe H und damit der Porosität ε) analog der Porenüberdruck
auf die Hälfte verringert hat /25/:
t
= ln 2 ⋅
( 3.248)
50
t 37
Die hier angegebenen Gln.( 3.242), ( 3.243) und ( 3.248) gelten nur für den
Fall, daß der Vertikaldruck im Bunker keine Veränderung mit der Zeit erfährt
p v ≠ f(t). Diese Bedingung einer nur geringen Änderung des Vertikaldruckes
ist bei Bunkern mit geringer Füllhöhe annähernd gegeben. Außerdem
kann t 50 nur ermittelt werden, wenn die Füllhöhe H und der Verfestigungskoeffizient
C V als Konstanten behandelt werden, was wiederum
nur bei geringen Füllhöhen und damit geringen Vertikaldrücken eingehalten
werden kann.
Zur praktischen Anwendung dieser Gleichung ( 3.244) muß in einem Laborversuch
der Verfestigungskoeffizient C V ermittelt werden, indem in einem
Zylinder eine Absetzkurve des fluidisierten Schüttgutes als Funktion
der Zeit aufgenommen wird. Eine andere Möglichkeit besteht darin, in einer
Wirbelschichtapparatur nach Abschalten der Luftzufuhr das Absetzverhalten
in Abhängigkeit von der Zeit zu bestimmen. Aus dieser Kurve kann
dann t 50 und daraus mit Gl.( 3.245) der Verfestigungskoeffizient C V ermittelt
werden. Mit dem einmal ermittelten Wert C V für ein Schüttgut ist dann
für jede Füllhöhe in einem Bunker die Zeit t 50 oder mit Gl.( 3.244) jede andere
Zeit berechenbar (mit den obengenannten Einschränkungen).
In einem Beispiel wird als Schüttgut gemahlene Kreide (d 50 = 65 µm, d ST =
45 µm, d o = 3,18 mm) verwendet. Die berechnete Entlüftungszeit t 50 = 14,6
min für einen Bunker mit der Füllhöhe H = 2,74 m stimmt sehr gut mit dem
experimentell ermittelten Wert von 15 min für diese Höhe überein (C V = 25
cm²/s aus Laborversuch) /22/.
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Eine Nährungslösung, die unter ähnlichen Voraussetzungen wie die Gleichungen
von Murfitt und Bransby gilt, geben Tardos u.a. /23/ an ( i = 1 ):
pü
p
( t, z)
ü,max
⎛ π ⋅ z
= cos⎜
⎝ 2 ⋅ H
⎞
⎟ ⋅
⎠
⎛
exp
⎜ −
⎝
t
t
37
⎞
⎟
⎠
Dabei wird für den Zeitparameter folgende Gleichung angegeben:
( 3.249)
77
t
37
2
4 ⋅ H ⋅ ε
= ( 3.250)
2
π ⋅ p ⋅ k
0
b
Für die Gültigkeit müssen die folgenden Voraussetzungen gelten:
‣ eine nahezu konstante Porosität ε ≈ konst., gilt für feine, kohäsive
Schüttgüter mit geringer Permeabilität,
‣ kein merklicher Wandeinfluß, d.h. p v ≈ ρ b ⋅g⋅z,
‣ Permeabilität k b = konstant,
‣ geringer Porenüberdruck p ü

78
die Gl.( 3.228) und ( 3.229) die ohne Vernachlässigung von Einflußgrößen
mit einem Differenzen-Verfahren für die Zeitschritte und einer Runge-
Kutta-Methode für die Integration über die Höhe gelöst werden.
Für einen typischen Fall wird eine Beispielrechnung durchgeführt, wobei
jetzt die Füllhöhe H als Variable in die Rechnung eingeht und als Bezugsfüllhöhe
die Höhe nach Abschluß der Entlüftung H c verwendet wird:
- Bunkerabmessungen: D = 5 m; H c = 10 m
- Schüttguteigenschaften: d ST = 50 µm; ε 0 = 0,6; ρ s = 2040 kg/m³;
μ W = 0,5; λ = 0,3
Am Boden des Bunkers wurden die Zeiten t 50 = 16,7 min und t 10 = 58 min
berechnet. Allerdings muß man sich den Entlüftungsvorgang bestehend aus
zwei Teilprozessen, die sich überlagern, vorstellen. Das Absetzen des
Schüttgutes (Verringerung der Porosität) erfolgt nur in einem relativ kurzen
Zeitabschnitt am Anfang des Entlüftungsvorganges. Im Beispiel ist dieser
Teilprozeß nach ca. 10 min abgeschlossen. Die weitere Entlüftung erfolgt
dann analog zum Durchströmungsvorgang in Kornschichten bei konstanter
Füllhöhe H c . Zu diesem Zeitpunkt liegt das Schüttgut bereits nicht mehr
fluidisiert vor! Dieses Ergebnis deutet darauf hin, daß die Zeit t 50 als Verweilzeit
in einem Bunker ausreichend ist, um der Gefahr, fluidisiertes
Schüttgut zu fördern, vorzubeugen.
Weiterhin wird eine umfassende Variation der einzelnen Einflußgrößen
durchgeführt /25/. Dabei ergeben sich für die Zeit t 50 -Werte, die verallgemeinert
werden können, da die Streubreite nicht zu groß ist:
t
50
2
η⋅ Hc
≈ 270
für ( 3.252)
d ⋅ p
2
ST
0
H
/
ρs
⋅ g ⋅ Hc
= > 0,75
( 3.253)
p
0
Für sehr geringe dimensionslose Füllhöhen H´ < 0,75 werden die Zeiten t 50
länger und streuen stärker:
t
50
2
η⋅ Hc
≈ (270...720) ⋅
( 3.254)
d ⋅ p
2
ST
0
Allgemein kann festgestellt werden, daß sich mit Abnahme der Wandreibung
die Entlüftungszeit verlängert, da der Vertikaldruck im Material dann
sehr groß wird (isostatischer Fall) und sich damit das Material stark verdichtet.
Als Ergebnis der starken Verdichtung muß einerseits mehr Luft verdrängt
werden, da das Porenvolumen sehr gering ist, und andererseits nimmt
die Permeabilität mit steigender Verdichtung ab, so daß der Entlüftungsvorgang
insgesamt durch beide Faktoren verlängert wird und t 37
steigt.
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79
Weiterhin nimmt die Entlüftungszeit zu, wenn es sich um ein stark kompressibles
und gut fluidisierbares Schüttgut handelt oder die Porosität des
Schüttgutes gering ist, ε 0 ≈ ε(σ = 0) < 0,55. In beiden Fällen kommt es im
Endzustand des Entlüftungsvorganges zu einer starken Verdichtung, so daß
das im vorhergehenden Abschnitt Gesagte genauso zutrifft.
Zum Abschluß dieses Kapitels sollen noch die verschiedenen Möglichkeiten,
die Entlüftungszeit zu berechnen, für zwei ausgewählte Schüttgüter und
drei Füllhöhen miteinander verglichen werden. Da die Einfülltrichter von
Dosiergeräten nicht zu große Bauhöhen aufweisen, wurden die beiden Füllhöhen
mit H = 1 m bzw. 2 m festgelegt. Die üblichen Nachfüllhöhen in einem
Einfülltrichter bei Betrieb sind dagegen noch geringer, um die Dosierschwankungen
zu minimieren. Es wurde deshalb zusätzlich die Entlüftungszeit
für eine nachgefüllte Schüttschicht der Höhe H = 0,2 m berechnet.
Bei diesen geringen Füllhöhen kann auch davon ausgegangen werden,
daß die auftretenden Vertikaldrücke und damit die Abnahme der Füllhöhe
nicht zu groß sein werden, so daß die Gültigkeit aller aufgeführten
Gleichungen gegeben ist.
Als Schüttgüter wurden die Flugasche (d ST = 43 μm, ε = 0,65) und das Polypropylenpulver
(d ST = 193 μm, ε = 0,6) ausgewählt, da die Unterschiede
zwischen diesen beiden Materialien in Hinsicht auf das Entlüftungsverhalten
am größten sein dürften. Die Ergebnisse einer Beispielrechnung enthält
Tab. 3.5.
Tabelle 3.4: Übersicht über die mittleren Entlüftungszeiten (Verweilzeiten)
d ST in
t 50 in s
t 50 in s
t 50 in s
Bemerkungen
µm
H = 0,2m
H = 1 m
H = 2 m
Gl.( 3.248) /22/:
Flugasche
43
4,5
112
448
C V = 25 cm²/s
PP-Pulver
193
0,3
6,5
24
C V = 460 cm²/s
Gl.( 3.251) /23/:
Flugasche
43
0,06
1,4 (4,7)
5,7 (19)
Klammerwerte für t 10
k b = 1,28 . 10 -6 m ² /Pa⋅s
PP-Pulver
193
0
0,1 (0,4)
0,4 (1,5)
k b = 1,54 . 10 -5 m ² /Pa⋅s
Gl.( 3.254) /25/:
Flugasche
43
2,8
70
280
H = H c
H´ < 0,52
PP-Pulver
193
0,1
3,5
14
H´ < 0,18
Für die Berechnung wurden folgende Annahmen getroffen:
- Da der Koeffizient C V der Verfestigung, siehe Gl.( 3.245), nur für eine
gemahlene Kreide (d ST = 45 µm, C = 25 cm²/s) angegeben wird, muß
eine Umrechnung in Abhängigkeit von der Korngröße erfolgen.
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Es gilt:
C V ~ k b
Ersetzt man nun k b durch die Permeabilität nach Carman und Kozeny
siehe Gl.( 3.157), ergibt sich:
3 2
ε ⋅ dST
k
b
= ( 3.157)
180 ⋅ η ⋅ ( 1− ε) 2
Daraus folgt: C V ~ d ST
²
Da die verwendete Flugasche einen fast gleichen Sauterdurchmesser wie
die Kreide besitzt, wurde C V = 25 cm²/s angenommen. Für das Polypropylenpulver
ergab sich nach der Umrechnung auf d ST = 193 µm der Wert
C V = 460 cm²/s.
- Die für die Gl.( 3.244) benötigten Werte k b wurden nach obiger Gleichung
berechnet und sind in Tab. 3.4 angegeben.
- Da für alle Werte H / ≤ 0,52, gilt Gl.( 3.254). Es wurde mit dem größten
Wert gerechnet, so daß sich die längsten Zeiten t 50 ergeben:
2
η ⋅ Hc
t
50
≈ 720
( 3.254)
2
dST
⋅ p0
Außerdem wurde H c = H angenommen, was bei geringen Füllhöhenänderungen
keinen großen Fehler ergibt.
Bei allen Gleichungen ergeben sich folgende Proportionalitäten:
t 50 ∼ H² und t 50 ∼ 1 / d ST
² ( 3.255)
Diese Abhängigkeiten gelten natürlich nur unter der Voraussetzung, daß
sich die Schüttguteigenschaften (Porosität, Kompressibilität und Permeabilität)
nicht ändern. Bei einer Maßstabsübertragung von einem Modellsilo auf
ein Großsilo erscheint das fraglich.
Die Modelle von Murfitt Gl.( 3.248) und Rathbone Gl.( 3.254) liefern ähnliche
Ergebnisse, währenddessen Gl.( 3.251) um den Faktor 100 kürzere Zeiten
ergibt. Eine mögliche Ursache kann darin bestehen, daß für die geringen
Überdrücke (für den isostatischen Fall p ü,max < 20 kPa) die angegebene
Gleichung nicht mehr die volle Gültigkeit besitzt.
Abschließend kann festgestellt werden, daß mit den Gln.( 3.248) und (
3.252)
eine Berechnung der Zeit t 50 erfolgen kann, die angibt, nach welcher
Zeit der Überdruck in den Poren am Boden des Bunkers auf die Hälfte
gesunken ist. Da der Entlüftungsvorgang aus zwei Teilprozessen besteht
(siehe/25/), die sich überlagern, kann man davon ausgehen, daß das Absetzen
des Schüttgutes (Verringerung der Porosität) nur in einem relativ kurzen
Zeitabschnitt am Anfang des Entlüftungsvorganges erfolgt. Danach besteht
nicht mehr die Gefahr, daß das Material fluidisiert vorliegt. Anhand der
Beispielrechnung in /25/ ergab sich, daß sich zur Zeit t 50 das Schüttgut be-
80
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81
reits abgesetzt hat und sich nicht mehr im fluidisierten Zustand befindet, so
daß diese Zeit als minimale Verweilzeit im Einfülltrichter eingehalten werden
muß. Voraussetzung dafür ist, daß der Einfülltrichter als Massenflußtrichter
ausgelegt wurde, da Pfropfenströmung notwendig ist.
Literaturverzeichnis
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und Korngrößenverteilung im Widerstandsgesetz der Porenströmung
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Kugelschüttungen im laminaren und Übergangsbereich
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Aufbereitungstechnik 25 (1984) 12, S. 705-717
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verfahrenstechnischer Kenndaten (Modelltheorie), Diss.,
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39(1972)12, S. 863-868
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Powder Technology, 27(1980), S. 149-162
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Porous Media - Application to Deaeration of Hoppers
Powder Technology, 41(1985), S. 135-146
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Theory including Filling, Powder Technology, 44(1985), S. 69-75
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Powder Technology, 51(1987), S. 115-124
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3.7 Feldgleichungen des ebenen Spannungszustandes
Aus dem Bild 3.31 entnimmt man:
σ
σ
τ
x
y
xy
= σ
= σ
= σ
M
M
R
+σ
−σ
R
R
⋅ sin 2ψ
⋅ cos 2ψ
⋅ cos 2ψ
( 3.256)
83
und mit dem „Stoffgesetz“ des Fließortes mit Kohäsion:
σ
R
= sin ϕi⋅
( σM
+ σZ
)
( 3.61)
τ
τ xy
σ Z
τ c
ϕ i
ϕ i
σ y
σ R
2ψ
σ x
σ M σ 1
σ
Fließort
τ xy < 0
Bild 3.31: Spannungszustand im beginnend fließenden Schüttgut
eingesetzt folgt:
σ = σ +σ ⋅ 1+
sin ϕ ⋅ cos 2ψ −σ
σ
τ
x
y
xy
=
=
(
M Z
) (
i
)
( σM
+σZ
) ⋅ ( 1−sin
ϕi⋅
cos 2 )
( σ +σ ) ⋅ sin ϕ ⋅ sin 2ψ
M
Z
eingesetzt in die Gln.( 3.21)
i
ψ −σ
Z
Z
+σ
+σ
Z
Z
−σ
−σ
Z
Z
und ( 3.22) mit den 3 Unbekannten σ x , σ y und τ xy
x − Richtung :
∂σ ∂τ
x xy
+ = 0
∂x
∂y
( 3.21)
y − Richtung :
∂σy
∂τxy
+ = ρb⋅g
∂y
∂x
( 3.22)
folgen aus diesen wiederum zwei gekoppelte partielle Differentialgleichungen,
die sich hinsichtlich der beiden gesuchten Funktionen [ M Z] (x,y)
sowohl linear als auch nichtlinear bezüglich ψ(x,y)
verhalten:
( + )
( + ϕ ⋅ ψ)
⋅
∂σ σ M Z
i
( )
∂x
( + )
ϕ ⋅ ψ ⋅
∂σ σ M Z
i
( )
∂y
( + )
( − ϕ ⋅ ψ)
⋅
∂σ σ M Z
i
( )
∂y
( + )
ϕ ⋅ ψ ⋅
∂σ σ M Z
( )
1 sin cos2 − 2 σ + σ ⋅sin ϕ ⋅sin
2ψ ⋅ ∂ψ
M Z i
+
∂x
sin sin2 + 2 σ + σ ⋅sinϕ ⋅cos2ψ ⋅ ∂ψ
M Z i
= 0
∂y
1 sin cos2 + 2 σ + σ ⋅sin ϕ ⋅sin
2ψ ⋅ ∂ψ
M Z i
+
∂y
sin sin2 + 2 σ + σ ⋅sinϕ ⋅cos2ψ ⋅ ∂ψ
i
M Z i
= ρb⋅g
∂x
∂x
( 3.257)
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Mittels Nutzung der Additionstheoreme für die Winkelfunktionen
sin( α±β)
= sin α⋅ cosβ ± cos α⋅ sin β
cos( α±β = cos α⋅ cosβ
m sin α⋅ sin β
( 3.258)
84
und einer geeigneten Transformation mit einer dimensionslosen Spannung S
S
1
2 tan ϕ
M Z
= ⋅
, ( 3.259)
i
σ
ln
σ
M,0
+σ
+σ
Z,0
wobei für einen Rand, auf dem [ σM +σZ
]( x,y)
= σM,0+
σZ,
0
ist, auch gilt
ln(1) = 0 = S, lassen sich diese beiden Differentialgleichungen in eine für
die Lösung günstige Form bringen (s. MOLERUS 1985):
⎛
exp( tan ) sin
(S ) (S )
tan ψ ϕ π ∂ ψ
ϕ ψ ϕ π i ⎞
− 2
i
⋅S
⋅ ⎜ + − ⎟
⎛ i ⎞ + ∂ + ψ
⎝ 2 4⎠
ρb
g
⎜ − + ⎟⋅ + =−
⎝ ⎠ ∂ ∂
⎛
sin ϕ cos ψ ϕ π ⋅
2 4 x y
i ⎞ σM
+ σ
2
i
⋅ ⎜ − + ⎟
⎝ 2 4⎠
, 0 Z,
0
⎛
exp( tan ) sin
(S ) (S )
tan ψ ϕ π ∂ ψ
ϕ ψ ϕ π i ⎞
− 2
i
⋅S
⋅ ⎜ − + ⎟
⎛ i ⎞ − ∂ − ψ
⎝ 2 4⎠
ρb
g
⎜ + − ⎟⋅ + =−
⋅
⎝ 2 4⎠
∂x
∂y
⎛ ⎞ +
2 sin ϕi
⋅ cos⎜
ψ + ϕ −
π i
σM
σ
⎟
⎝ 2 4⎠
, 0 Z,
0
( 3.260)
Diese ist vom Typ
∂u
∂u
a ⋅ + b ⋅ = c
( 3.261)
∂x
∂y
mit a(x, y, u), b(x, y, u) sowie c(x, y, u) und läßt sich mit Hilfe der Charakteristikenmethode
lösen, siehe JENIKE (1961) und MOLERUS S.111
(1985).
In Zylinderkoordinaten lauten die Gleichungen für das ebene Spannungsfeld,
siehe auch vereinfacht ( 3.262):
∂σr
1 ∂τr
θ
r − Richtung : + ⋅
∂r
r ∂θ
∂τr
θ
1 ∂σθ
θ − Richtung : + ⋅
∂r
r ∂θ
σr
−σ
+
r
τr
θ
+ 2 ⋅
r
θ
+ ρ ⋅g
⋅ cos θ = 0
b
b
− ρ ⋅g
⋅ sin θ = 0
( 3.262)
• Die z-Richtung aus der Zeichenebene heraus = Schlitzlängenkoordinate
wird hier nicht betrachtet.
• Der differentielle Spannungszuwachs lautet z.B. in x-Richtung:
∂σ
Δ σ = dx
∂x ⋅
( 3.263)
• Dabei ist dr ⋅ sin dθ ≈ dr⋅
dθ
für kleine θ.
• Die Terme dr⋅
dθ
≈ 0 werden vernachlässigt.
Schüttec_3.doc © Vorlesung Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Prof. Dr. J. Tomas, 01.02.2011

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Zusätzlich lassen sich auch die Gleichungen für das axialsymmetrische
Spannungsfeld in Kugelkoordinaten aufschreiben. Dabei muß neben dem
vertikalen Drehwinkel θ auch noch der Drehwinkel β in horizontaler Ebene
berücksichtigt werden, siehe MOLERUS S.121 (1985).
Für beide Spannungsfelder läßt sich deshalb gemeinsam formulieren:
∂σr
1 ∂τr
θ
1
r − Richtung : ´ + ⋅ + ⋅
∂r
r ∂θ r
∂τr
θ
1 ∂σθ
1
θ − Richtung : + ⋅ + ⋅
∂r
r ∂θ r
[ σ − σ + m ⋅ ( σ − σ )]
r
r
+ ρ ⋅g
⋅ cos θ = 0
[ m⋅
( σ − σ ) ⋅ cot θ + ( m + 2)
⋅ τ ] − ρ ⋅g⋅
sin θ = 0
( 3.264)
wobei für die geometrischen Formfaktoren des Spannungsfeldes bzw. des
Trichters zu schreiben ist:
m = 0 ebenes Spannungsfeld und
m = 1 axialsymmetrisches Spannungsfeld.
θ
θ
β
β
b
rθ
b
(r + dr) dθ
τ θ + Δτ θ
σ r + Δσ r
τ rθ + Δτ rθ
σ
θ
∂σ
θ
+ ⋅dθ
∂θ
σ θ + Δσ θ
dr
τ θ
σ θ
τ rθ
σ θ
σ θ dθ
dθ
σ r
r sindθ ≈ r dθ
ρ b g
r
dθ
θ
τ rθ dθ
τ rθ
τ
rθ
∂τ
rθ
+ ⋅dθ
∂θ
dθ
Bild 3.32: Ebener Spannungszustand im fließenden Schüttgut in Zylinderkoordinaten
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