Messung des Trägheitsmomentes einer Kreisscheibe mit einem ...

Messung des Trägheitsmomentes einer Kreisscheibe mit einem Kreisel
/ Stand: 4.10.2006; D.K., Modul Physik 1 /
1. Ziel des Versuchs
Der Kreisel als komplexes mechanisches System (mit zahlreichen technischen Anwendungen) soll kennen
gelernt und zur quantitativen Bestimmung des Trägheitsmomentes einer (inhomogenen) Kreisscheibe
eingesetzt werden.
2. Grundlagen
Eine wichtige Größe zur Auslegung mechanischer Systeme bei Drehbewegungen ist das Trägheitsmoment
J. Dieses wird durch zwei Einflussgrößen bestimmt, nämlich die Art oder Masseverteilung des Körpers
und die Lage seiner Drehachse. Für eine punktförmige Masse m bestimmt ihr Abstand r zur Drehachse
das Trägheitsmoment:
2
J = m⋅
r . (1)
Im allgemeinen Fall muss für einen starren Körper der Gesamtmasse m über alle an der Rotation beteiligten
Masseelemente dm mit entsprechend unterschiedlichen Abständen zur Drehachse summiert werden,
so dass sich J über das folgende Integral ergibt:
m
2
J = ∫ r dm
(2)
0
Die Drehbewegung wird durch die vektoriellen Größen Winkelgeschwindigkeitω r , Drehmoment M r und
Drehimpuls L r charakterisiert. Eine zeitliche Änderung des Drehimpulses wird durch das Drehmoment
bewirkt, das äußere Kräfte auf den Körper ausüben:
v
dL v
= M
(3)
dt
Nur wenn kein äußeres Drehmoment wirkt, ist der Gesamtdrehimpuls L v konstant (Drehimpulserhaltung).
Präzessionsversuch
Betrachten wir einen im Schwerpunkt unterstützten rotationssymmetrischen Körper („kräftefreier Kreisel“),
so ist die Winkelgeschwindigkeitω r parallel zum Drehimpuls L r . Wirkt nun auf einen solchen Kreisel
ein konstantes Drehmoment, so führt dies zu einer konstanten Änderung des Drehimpulses. Steht
M r senkrecht auf L r , so weicht der Kreisel senkrecht zur angreifenden Kraft aus und beschreibt eine
Kreisbewegung mit der Winkelgeschwindigkeit ω
Pr äz
. Wir sprechen in diesem Fall von "Präzession".
Abb. 1: Größen der Drehbewegung am Kreisel
Abb.2: Präzessionsbewegung
Die Kreiselachse ist im Punkt P (siehe Abb.1) drehbar gelagert, wobei ein Gegengewicht (siehe Abb.3)
den Kreisel (ohne die Zusatzgewichte zur Erzeugung der Präzession) im Gleichgewicht hält. Wird jetzt
im Abstand r eines der zusätzlichen Gewichte angehängt, so führt das durch die Gewichtskraft verur-

sachte Drehmoment M zu einer Drehung der Kreiselachse in der horizontalen Ebene. Die Drehimpulsachse
dreht sich dabei im Zeitintervall dt um den Winkel dθ (siehe Abb.2). Da r
v v v v
⊥ F und M ⊥ L gilt,
kann in diesem Fall mit skalaren Größen gerechnet werden. Für die Präzessionskreisfrequenzω Pr äz
und
das Trägheitsmoment J K des Kreisels gelten folgende Zusammenhänge:
dL
dL
dΘPr
äz M
M = und dΘPr
äz
= ⇒ M ⋅dt
= L ⋅dΘPr
äz
⇒ = = ωPräz
dt
L(
t)
dt L
(4)
r ⋅m⋅
g r ⋅m⋅
g
L = J ⋅ωK
, M = r ⋅ F = r ⋅m⋅
g ⇒ ωPräz
= ⇒ J =
ωK
⋅ J ωK
⋅ωPräz
Durch die Messung der Kreisfrequenzen des Kreisels und der Präzessionsbewegung läßt sich somit das
Trägheitsmoment des Kreisels bestimmen. Mißt man die Periodendauer für eine PräzessionT Pr äz
sowie
die Periodendauer des Kreisel, so ergibt sich für sein Trägheitsmoment:
T K
J K
m ⋅ g ⋅ r ⋅TPr
äz ⋅T
= K
(5)
2
4π
Abrollversuch
Der starre Körper Kreisscheibe kann auch in einer noch einfacheren Form als Kreisel genutzt werden,
nämlich als „gefesselter Kreisel“. Dabei ist keine Drehung um den Punkt P (Abb. 1) mehr möglich, sondern
nur noch eine Rotation der Kreisscheibe um die zentrale Achse in Abb. 3. Durch ein Gewicht an der
eingezeichneten, aber aufgewickelten Schnur wird erneut ein Drehmoment M r aufgrund der Gewichtskraft
erzeugt (Vorsicht! a res ≠ g ). Dies muss wegen Glg. (3) zu einer Änderung des Drehimpulses und
r
damit wegen L = J ⋅
r ω auch zu einer Änderung der Winkelgeschwindigkeit des Kreisels führen. Während
dieser Beschleunigung bleibt die Richtung aller Vektoren erhalten, so dass mit den skalaren Größen
weiter gerechnet werden kann:
dω
M = J ⋅
(6)
dt
Für das Trägheitsmoment des gesamten Systems J ges (nicht der Kreisscheibe J k ) ergibt sich, wenn die
Winkelgeschwindigkeitω über die Umlaufperiode T k der Scheibe ausgedrückt wird und wenn
berücksichtigt wird, dass die Bewegung aus der Ruhe startet
dt ⋅ dTk
tF
⋅Tk
J
ges
= M ⋅ = M ⋅ . (7)
2π 2π
Dabei bedeutet t F die Fallzeit bis zum Auftreffen des Gewichts auf dem Boden und T K die Periodendauer
des Kreisels nach dieser Beschleunigungsphase.
Beachten Sie, dass die resultierende Beschleunigung des Gewichtes keinesfalls die Fallbeschleunigung
ist. Die Gewichtskraft muss sowohl die Beschleunigung der Masse am Faden (Translation) als auch über
das Drehmoment die Winkelbeschleunigung des starren Körpers (Rotation) bewirken. Zeigen Sie, dass
sich damit letztendlich für das Trägheitsmoment der Kreisscheibe der folgende Ausdruck ergibt:
J
K
⎛ g ⋅TK
⋅tF
⎞
= m⋅
r ⋅⎜
− r ⎟
⎝ 2π ⎠
(8)
3. Versuch
a) Messung des Trägheitsmomentes: „Gefesselter Kreisel“
Befestigen Sie das Kreiselsystem mit der Doppelmuffe an der Stativstange, so dass der Kreisel fest arretiert
ist und keine Präzessionsbewegung auftreten kann. Befestigen Sie an der Kreiselscheibe ein Gewichtsstück
an einem aufgewickelten Faden. Durch „Ziehen“ am Faden realisiert das Gewicht ein bekanntes
Drehmoment [ M = r ⋅m⋅( g −ω& ⋅r)
mit dem Radius der Seiltrommel r = 22,4 mm], so dass

durch Messung der Fallzeit t F (Stoppuhr) bis zum Auftreffen des Gewichts auf den Boden und der Endwinkelgeschwindigkeit
ω = 2π (Lichtschranke) das Trägheitsmoment nach Glg. (8) bestimmt wird.
T K
Die Winkelgeschwindigkeit beim Auftreffen misst man (über T k ) mit Hilfe einer Gabellichtschranke und
einer an der Scheibe aufgeklebten Blende. Die Betriebsart der Lichtschranke kann so eingestellt werden,
dass der erste Impuls (=Unterbrechung) den Zähler startet und der zweite den Zähler stoppt.
Abb. 3: Schematischer Versuchsaufbau (Quelle: Phywe)
Führen Sie 10 Messungen durch. Bestimmen Sie für beide gemessenen Zeiten den Mittelwert und die
Standardabweichung und berechnen Sie damit (Anleitung Fehlerrechnung: Fehlerfortpflanzung mit partiellen
Ableitungen!) den Mittelwert und die Standardabweichung des Trägheitsmomentes der Kreisscheibe.
b) Messung des Trägheitsmomentes: „Präzessionsbewegung“
Lösen Sie den "gefesselten Kreisel" und ziehen Sie den kräftefrei austarierten Kreisel mit Hilfe des Fadens
auf. Hängen Sie danach die zusätzliche Masse [z.B.: Gewichthalter (10 g) mit Schlitzgewicht (50 g)]
in die Nut an dem der Scheibe gegenüberliegende Ende (r = 270 mm). Aufgrund des Drehmomentes beginnt
eine Präzessionsbewegung, überlagert von einer hier zu vernachlässigenden Nutation. Messen Sie
wegen der unvermeidbaren Reibungsverluste nur die Zeit für einen halben Präzessionsumlauf. Aus dem
gleichen Grund soll für T K in Glg. (5) jeweils der Mittelwert zweier Messungen unmittelbar vor und nach
der Präzessionsmessung eingesetzt werden.
Führen Sie 10 Messungen durch. Berechnen Sie für jede einzelne Messung ein Trägheitsmoment und
bilden Sie anschließend über diese den Mittelwert und die Standardabweichung.
Berechnen Sie theoretisch das Trägheitsmoment für die Kreisscheibe unter der Näherung eines homogenen
Zylinders (Masse der Kreisscheibe: 1313,79 g). Messen Sie hierzu den Radius der Kreisscheibe
und schätzen Sie den Fehler Ihres Theoriewertes(!).
Vergleichen und diskutieren Sie das Ergebnis dieser Rechnung mit Ihren beiden Messergebnissen
durch Auftragung auf einem Zahlenstrahl (Mittelwerte, Standardabweichungen).

4. Sicherheitshinweise
Das Gewicht zur Gleichgewichterstellung wird durch eine Schraube an der Achse befestigt. Da der Kreisel
in 3 Achsen beweglich ist, kann ohne Arretierung das Metallgewicht in undefinierter Weise das Kreiselsystem
verlassen (Verletzungsgefahr!).
Wegen der Verwendung schnell drehender Teile müssen Personen mit langen Haaren eine Einweg-
Schutzhaube tragen, die vom Betreuer - auf Anforderung - vor Versuchsdurchführung ausgegeben wird.
Die Periodendauer der Kreiselscheibe wird mit Hilfe einer Gabellichtschranke gemessen. Kleben Sie
hierzu einen Papierstreifen an den Rand der Scheibe. Verwenden Sie kein hartes Material, da sonst Verletzungsgefahr
besteht.
5. Vorbereitung
• Was bedeuten die Begriffe Präzession und Nutation?
m ⋅ g ⋅ r ⋅TPr
äz
⋅T • Herleitung der Formeln J
K
⎛ g ⋅TK
⋅tF
⎞
= und J = ⋅ ⋅
2
K
m r ⎜ − r ⎟ .
4π
⎝ 2π ⎠
• Wofür ist die Kenntnis des Trägheitsmomentes in technischen Anwendungen wichtig (Beispiele)?