Behandlung von Extremwertproblemen in der Jahrgangsstufe 11 ...

Anton-Bruckner-Gymnasium
Studienseminar
Hans-Adlhoch-Str. 23 Februar 2003/2005
94315 Straubing
Schriftliche Hausarbeit
des Studienreferendars
Niels Krammer
Behandlung von Extremwertproblemen
in der Jahrgangsstufe 11 mithilfe des
Taschencomputers Casio ClassPad 300
Cham im Juli 2004

Behandlung von Extremwertproblemen in der Jahrgangsstufe 11
mithilfe des Taschencomputers Casio ClassPad 300
1
Inhaltsverzeichnis
Einleitung.........................................................................................................................2
I. Bemerkungen zur Lerngruppe...................................................................................4
1. Rahmenbedingungen.............................................................................................4
2. Unterrichtsatmosphäre ..........................................................................................4
3. Leistungsvermögen ...............................................................................................4
II. Methodische und didaktische Überlegungen...........................................................5
III. Lernziele ....................................................................................................................6
IV. Verlauf der Unterrichtssequenz ..............................................................................7
1. Erste Unterrichtsstunde .........................................................................................7
2. Zweite Unterrichtsstunde ....................................................................................11
3. Dritte Unterrichtsstunde......................................................................................15
4. Vierte Unterrichtsstunde .....................................................................................18
5. Fünfte Unterrichtsstunde (Doppelstunde)...........................................................23
6. Sechste Unterrichtsstunde ...................................................................................27
V. Reflexion....................................................................................................................28
1. Beurteilung aus Sicht der Lernenden ..................................................................29
2. Beurteilung aus Sicht des Lehrenden..................................................................31
Literaturverzeichnis......................................................................................................33
Internet-Adressenverzeichnis.......................................................................................34
Anlagen ..........................................................................................................................34

Behandlung von Extremwertproblemen in der Jahrgangsstufe 11
mithilfe des Taschencomputers Casio ClassPad 300
2
Einleitung
Seit einigen Jahren wird die Diskussion um die Einführung von Graphikrechnern und
Computeralgebrasystemen in den Unterricht des Gymnasiums kontrovers geführt. In
immer mehr Bundesländern wird der Einsatz solcher Rechner zumindest empfohlen.
Ein grundsätzliches Verbot gilt lediglich noch in Bayern, im Saarland und in Sachsen-
Anhalt 1 .
Viele der Fragen, die heute in diesem Zusammenhang diskutiert werden, unterscheiden
sich nicht wesentlich von denen, die bei Einführung des Taschenrechners in den 70er
Jahren auftauchten [Wei, S. 4].
Die meines Erachtens wichtigste dieser Fragen ist: Welche Vorteile bringt der Einsatz
dieser neuen Technologien für das Lernen und Verstehen der Schülerinnen und Schüler 2
mit sich
Zweifellos stellt die Einführung von Taschencomputern neue Herausforderungen methodischer
und didaktischer Art an die Unterrichtenden. Es wird jedoch zunehmend
auch eine Veränderung der Denk- und Arbeitsweisen der Schüler notwendig sein.
Erst die Art und Weise des Einsatzes lässt diese neuen Technologien zu einem pädagogisch
sinnvollen Werkzeug werden.
Der Lehrplan betont: „Weit reichend ist die Bedeutung der Mathematik für viele Anwendungsgebiete
etwa in den Naturwissenschaften, der Technik und der Wirtschaft. An
geeigneten Aufgaben aus diesen Bereichen lernen die Schüler in allen Jahrgangsstufen,
Sachzusammenhänge mathematisch zu erfassen und entsprechende Modellvorstellungen
zu entwickeln. Zunehmend werden elektronische Rechner eingesetzt; und die Schüler
erwerben Kenntnisse im algorithmischen Lösen von Berechnungs- und Entscheidungsproblemen.“
[Bay, S. 167].
In der Jahrgangsstufe 11 eignen sich Extremwertprobleme – als eines dieser Anwendungsgebiete
– aus meiner Sicht besonders für die Behandlung mit dem Taschencomputer,
da daran in eindrucksvoller Weise mathematische Problembeschreibungen mithilfe
von Funktionen, und Beschreibungen des Änderungsverhaltens von Funktionen möglich
1 Information von Texas Instruments Deutschland GmbH, Stand März 2004
2 Im Folgenden schreibe ich vorwiegend Schüler und schließe dabei stets auch die Schülerinnen mit ein.

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mithilfe des Taschencomputers Casio ClassPad 300
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sind aber auch die Anwendungsbezogenheit der Analysis aufgezeigt werden kann. Die
Fertigkeiten im praktischen Rechnen können demgegenüber in den Hintergrund treten.
Die im Folgenden beschriebenen Anwendungen wurden mit dem Taschencomputer
Casio ClassPad 300 (Abbildung 1) ausgearbeitet, wobei künftig kurz vom „ClassPad“
die Rede sein wird. Der ClassPad ist ein graphikfähiger Taschenrechner, auf dem unter
anderem ein Computeralgebrasystem (CAS) und ein dynamisches Geometrieprogramm
implementiert sind. Die Stifteingabe bestimmt die wesentliche Bedienung des ClassPad.
Durch die Berührung des sensitiven Displays mittels Stift werden die ausgewählten
Anwendungen, verfügbare Menüs und Befehle direkt ausgelöst (http://www.classpad.de
/features/).
Abbildung 1

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4
Das monochrome LC-Display mit 160 x 240 Pixel (Hochformat) lässt die vollständige
Anzeige auf einmal bei etwas längeren Berechnungen leider nicht zu. In diesen Fällen
kann die Anzeige nach rechts gescrollt werden. Entsprechend werden in der vorliegenden
Arbeit jeweils die angezeigten Bildschirme nebeneinander dargestellt.
Im ersten Teil dieser Arbeit erfolgen zunächst Bemerkungen über die Lerngruppe, in
der die Unterrichtssequenz [Glö, S.188] durchgeführt wurde.
Im zweiten Abschnitt folgen methodische und didaktische Überlegungen.
Im dritten Teil werden die wichtigsten angestrebten Lernziele kurz vorgestellt.
Den umfangreichsten Teil der Arbeit stellt die Beschreibung des Verlaufs der Unterrichtssequenz
(IV) dar.
Die Reflexion des Unterrichtsverlaufs erfolgt im fünften Abschnitt.
I. Bemerkungen zur Lerngruppe
1. Rahmenbedingungen
Die in dieser Arbeit beschriebene Unterrichtssequenz umfasst 5 Unterrichtsstunden mit
jeweils 45 Minuten und 1 Unterrichtsstunde zu 90 Minuten. Sie wurde in der Klasse 11
b/c (neusprachlicher Zweig) des Gymnasiums Pfarrkirchen im Schuljahr 2003/2004
durchgeführt. Ich unterrichte die Klasse seit Anfang des Schuljahres, jeweils 3 Unterrichtsstunden
pro Woche. Die Klasse besteht aus 18 Schülerinnen und 3 Schülern. Die
Klasse ist zusammengesetzt aus den Schülern des neusprachlichen Zweigs zweier Klassen
(11 b und 11 c), davon zwei Repetentinnen.
2. Unterrichtsatmosphäre
Das Unterrichtsklima ist sehr angenehm, die Atmosphäre in der Klasse harmonisch. Die
Schüler zeigen unterschiedlich starkes Interesse an der Mathematik, arbeiten jedoch
weitgehend konzentriert mit.
3. Leistungsvermögen
Das gewöhnliche Leistungsniveau ist befriedigend. Allerdings ist in der Klasse ein erwähnenswertes
Leistungsgefälle zu erkennen: 2 Schülerinnen sind mathematisch sehr

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begabt. Zusammen mit 4 weiteren Schülerinnen bereichert diese Gruppe, aufgrund der
Qualität ihrer Beiträge und Ideen, den Unterricht in besonderem Maße. Aktiv am Unterrichtsgeschehen
beteiligt sich aus eigenem Antrieb etwa die Hälfte der Schüler. Das
Verhalten der meisten anderen Schüler ist allerdings keineswegs als ablehnend, sondern
vielmehr als abwartend-zögernd zu bezeichnen. Dies zeigt sich z.B. daran, dass nach
Aufforderung durchaus größtenteils richtige, wenn auch vielfach wenig ausführliche
Antworten gegeben werden. Die Stärken dieser Schüler liegen überwiegend im reproduktiven
Bereich. Jedoch bestehen Schwierigkeiten, mathematisches Wissen auch anzuwenden,
insbesondere in neuen Zusammenhängen. Einige wenige Schüler, vor allem
unter den Knaben, beteiligen sich kaum am Unterrichtsgeschehen.
Die Schüler der Klasse haben nach eigenen Angaben bislang ausnahmslos keinerlei
Erfahrung mit graphikfähigen Taschenrechnern, CAS oder Ähnlichem gesammelt.
Nennenswerte Disziplinschwierigkeiten traten in der Klasse bisher nicht auf.
Die Hausaufgaben werden in der Regel gewissenhaft angefertigt.
II. Methodische und didaktische Überlegungen
Der Lehrplan für Mathematik sieht für die Jahrgangsstufe 11 (neusprachliche Ausbildungsrichtung)
die Infinitesimalrechnung mit folgenden vier Themenschwerpunkten
vor:
1. Reelle Funktionen
2. Grenzwert und Stetigkeit
3. Differenzieren reeller Funktionen
4. Kurvendiskussion; Extremwertprobleme
Mein bisheriger Unterricht folgte, abweichend von der Reihenfolge im Lehrplan, im
Wesentlichen dem chronologischen Aufbau des Schulbuchs [Bar1]. Zunächst wurden
wichtige Grundbegriffe aus der Mittelstufe über affine und quadratische Funktionen und
ihre Graphen wiederholt. Daraufhin wurden Eigenschaften von Polynomfunktionen
sowie deren Ableitungen behandelt. Später folgten Kurvendiskussionen von Polynom-

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funktionen. Im Anschluss daran wurde das in dieser Arbeit beschriebene Projekt – Behandlung
von Extremwertproblemen mithilfe des ClassPad – durchgeführt.
Jeder Schüler wurde mit einem ClassPad 300 ausgestattet. Das Lehrerexemplar besitzt
eine zusätzliche Schnittstelle zum Anschluss eines Overhead-Displays. Auf diese Weise
können Befehlseingaben und Ergebnisausgaben des ClassPads für alle Schüler gut
sichtbar an die Wand projiziert werden.
III. Lernziele
Mathematische Tätigkeiten im Unterricht lassen sich grob vereinfacht in die Bereiche
Darstellen – Operieren – Interpretieren untergliedern. Dem Operieren wird im traditionellen
Mathematikunterricht häufig der größte Zeitanteil gewidmet. Durch den Einsatz
des Taschencomputers kann die Bedeutung kalkülorientierter Fertigkeiten oder handwerklicher
mathematischer Rechenfertigkeiten abnehmen Dem Darstellen und Interpretieren
kommt hingegen eine wachsende Bedeutung zu [Wei, S. 11/25].
Die für die vorliegend beschriebene Unterrichtssequenz wichtigsten, angestrebten Lernziele
sind:
- Mathematisches Modellieren von (Alltags-) Problemen
- Fördern der heuristischen Denkweise
- Erkennen von Zusammenhängen zwischen variierbaren Größen und deren mathematische
Formulierung
- Interpretieren und Beurteilen von Lösungen im Hinblick auf die ursprüngliche
Problemstellung
- Auffrischen erworbenen Wissens und Könnens aus der Geometrie der Mittelstufe
- Erlangen sicherer Fertigkeiten beim Umgang mit dem ClassPad
- Beurteilen, welche Werkzeuge bei der Problemlösung sinnvoll erscheinen und in
welcher Art und Weise sie eingesetzt werden können (Medienkompetenz)

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IV. Verlauf der Unterrichtssequenz
Wie bereits erwähnt, erstreckt sich die beschriebene Unterrichtssequenz über 6 Unterrichtsstunden
(5 Unterrichtsstunden mit jeweils 45 Minuten und 1 Unterrichtsstunde zu
90 Minuten).
Textpassagen, die im Folgenden eingerückt und kursiv dargestellt werden, bilden
zugleich auch den Hefteintrag der Schüler, bzw. das Tafelbild. Dabei werden an geeigneten
Stellen auch die jeweils neu eingeführten Befehle des ClassPad in die Schülerhefte
notiert (jeweils auf der rechten Seite dargestellt in einem Kasten) 3 .
1. Erste Unterrichtsstunde
Zunächst wird geklärt, dass Extremwertaufgaben einen möglichen Aufgabentyp zur
Anwendung der Kurvendiskussion darstellen. Dazu werden zur Veranschaulichung einige
typische Beispiele von Extremwertaufgaben (Verpackungsprobleme, Optimierungsprobleme
aus der Betriebswirtschaft) kurz angesprochen und folgender Hefteintrag
notiert [Bar1, S. 141]:
Extremwertaufgaben
Mit der Kurvendiskussion ist es möglich, „Extremwertaufgaben“ mit Nebenbedingungen
zu lösen. Im Prinzip geht es darum: Aus einer Menge von Objekten (Zylinder,
Produktionsmengen, …) soll man diejenigen herausfinden, bei denen eine Maßzahl
(Flächeninhalt, Volumen; Gewinn…) unter gegebenen Bedingungen einen Extremwert
annimmt.
Anschließend wird folgende Aufgabe [Wör, S.139] notiert:
3 Die Notation der Befehle erfolgt im Tafelbild farbig.

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1. Aufgabe
Bestimme unter allen Rechtecken vom Umfang U = 90 cm dasjenige mit dem größten
Flächeninhalt!
x
y
y
x
Die Schüler tragen schnell folgende Sachverhalte zusammen:
Die untersuchten Objekte sind hier Rechtecke. Die gesuchte Maßzahl ist der Flächeninhalt
des Rechtecks. Die Bedingung, die die Rechtecke erfüllen müssen, ist U =
90 cm.
Schwieriger stellt sich die eigentliche Lösung der Aufgabe dar. Zunächst wird den
Schülern das wesentliche Vorgehen erläutert, wobei der lehrerzentrierte Unterricht dominiert.
Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt:
F = x⋅
y.
Die Schüler werden also mit einer Funktion zweier Veränderlicher konfrontiert 4 . Bislang
steht den Schülern kein Verfahren zur Verfügung, Extremwerte solcher Funktionen
zu ermitteln. Offensichtlich muss zusätzlich die Information, dass der Unfang 90 cm
beträgt, verarbeitet werden 5 :
4 Auf die exakte Schreibweise F( xy , )
= x⋅ ywird zunächst verzichtet, da den Schülern die Formel für
den Flächeninhalt aus der Unterstufe wie dargestellt bekannt ist. Dass es sich dabei um eine Funktion
zweier Veränderlicher handelt, wird jedoch sofort geklärt.
5 Die Berechnungen werden – aufgrund der besseren Übersichtlichkeit - jeweils ohne die entsprechenden
Einheiten durchgeführt

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U = 2x+ 2y = 90 ⇒ y =− x+
45.
Damit erhält man also eine Beziehungsgleichung zwischen den beiden Variablen x
und y . Im fragend-entwickelnden Unterrichtsgespräch wird nach einiger Überlegung
klar, dass, nach dem Auflösen der Gleichung nach einer Variablen, und anschließendem
Einsetzen der erhaltenen Gleichung in die Funktion F, die andere Variable eliminiert
werden kann.
Also gilt ( y =− x+ 45 in F = x⋅ y) :
F( x) = x( − x+ 45) =− x² + 45 x.
Durch die Nebenbedingung U = 90 cm wird es somit möglich, die Funktion F als eine
Funktion nur noch einer Variablen darzustellen. Damit können die Extremwerte von F
mit den bekannten Verfahren bestimmt werden. Um eine weitere Übung zur Kurvendiskussion
zu ermöglichen, wird der Weg über die Bestimmung der Nullstellen der ersten
Ableitung von F gewählt. Auf die Frage nach weiteren Möglichkeiten der Bestimmung
der Extremwerte von F, findet eine Schülerin erst nach dem Hinweis, dass es sich bei F
um eine quadratische Funktion handelt, eine Antwort. Der Graph von F ist nämlich eine
nach unten geöffnete Parabel, besitzt also genau einen Hochpunkt. Dieser kann ebenso
über die Berechnung der (in diesem Fall tatsächlich vorhandenen) Nullstellen oder die
Scheitelform der quadratischen Funktionsgleichung ermittelt werden.
F´( x) =− 2x+
45.
!
F´( x) = 0 ⇔ − 2x+ 45 = 0 ⇔ x=
22,5.
Dass x = 22,5 tatsächlich eine Maximumstelle von F ist, wurde bereits festgestellt, es
wird dennoch nicht auf die Überprüfung mittels der zweiten Ableitung (als hinreichendes
Kriterium) verzichtet:
F´´( x ) =− 2 < 0.

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Also nimmt F bei x = 22,5 cm ein Maximum an.
F (22,5) = 22,5(45 − 22,5) = 22,5² = 506,25 [cm²].
Der Flächeninhalt des Rechtecks wird maximal für x=y=22,5 cm. Damit ist das
Rechteck ein Quadrat.
Zusammenfassend wird folgendes Verfahren zum Lösen von Extremwertproblemen
notiert [Bai, S. 94]:
„Rezept“ zum Lösen von Extremwertaufgaben:
1. Drücke die Größe, die einen Extremwert annehmen soll (in 1. Aufgabe: F Rechteck),
durch Variable (in 1. Aufgabe: x und y) aus.
2. Suche über die gegebene(n) Bedingung(en) Beziehungen zwischen den Variablen.
Eliminiere durch Einsetzen alle Variablen bis auf eine.
3. Diskutiere die Funktion dieser Variablen (in 1. Aufgabe: F(x)). Berücksichtige
dabei die nach der Aufgabenstellung sinnvolle Definitionsmenge.
Im Anschluss an die Lösung dieser Aufgabe werden die Taschencomputer verteilt und
die grundsätzlichen Einstellungen 6 vorgenommen.
Die wesentlichen Leistungsmerkmale und Bedienelemente des ClassPad werden kurz
vorgestellt. Dazu wird ein Informationsblatt (siehe Anlage 1) an die Schüler ausgegeben.
Um ein erstes Arbeiten mit dem ClassPad zu ermöglichen werden die Berechnungen der
ersten Aufgabe noch einmal mit dem Taschencomputer durchgeführt (Abbildung 2).
Dabei tauchen die ersten beiden wichtigen Befehle (solve() und diff()) des Hauptanwendungs-Menüs
(Main-Menüs) auf. Alle verwendeten Befehle dieses Menüs können über
die Schaltfläche Action der Menüleiste angesteuert werden.
6 Kalibrierung des Touch-Screens, Kontrasteinstellungen, Systemsprache, Tastaturformat.

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Mit dem Befehl solve(Gleichung,Variable) wird
die eingegebene Gleichung nach der gewählten
Variablen aufgelöst.
diff(Funktionsterm,Variable) bildet die erste Ableitung
des Funktionsterms nach der entsprechenden
Variablen;
diff(Funktionsterm,Variable,n) liefert die n-te
Ableitung des Funktionsterms.
Abbildung 2
Die Hausaufgabe für die nächste Unterrichtsstunde ist, neben dem Durcharbeiten des
Hefteintrags, das Erlernen der auf dem Informationsblatt abgedruckten Begriffe 7 und
ein erstes Vertrautmachen mit dem ClassPad sowie den vorgestellten Befehlen.
2. Zweite Unterrichtsstunde
Zunächst müssen einige technische Probleme einzelner Schüler mit dem ClassPad geklärt
werden (siehe V. Reflexion). Um vor allem den Grundgedanken der Berücksichtigung
der sinnvollen Definitionsmenge bei Extremwertaufgaben zu thematisieren, wird
nachfolgende Aufgabe bearbeitet (nach [Wör, S. 139]):
2. Aufgabe
Von einem rechteckigen Stück Blech mit den Seiten a und b (a = 8cm, b = 5cm) werden
an den Ecken kongruente Quadrate der Seitenlänge x herausgestanzt. Biegt man
die Randstücke hoch, so erhält man eine nach oben offene Dose. Wie groß muss x
gewählt werden, damit das Volumen der Dose maximal wird
7 Nur so ist gewährleistet, dass das Vorgehen beim Einsatz des ClassPad exakt beschrieben und verstanden
werden kann.

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Schnell wird die Volumenformel für die Dose erkannt:
Es gilt 8 :
V ( x) = G⋅ h= ( a−2 x) ⋅( b−2 x) ⋅ x= (8−2 x) ⋅(5−2 x)
⋅ x=
Dose
= 4 x³ − 26 x² + 40 x.
expand((8-2x)(5-2x)x)
An dieser Stelle wird zum ersten Mal das Problem der „sinnvollen“ Definitionsmenge
thematisiert. Zunächst haben die Schüler Schwierigkeiten, zu erkennen, dass die Definitionsmenge
nicht, wie bei Polynomfunktionen bisher automatisch angenommen, die
Menge aller reellen Zahlen ist. Nach einiger Zeit der Überlegung und dem Hinweis auf
die Bedeutung des Wortes „sinnvoll“, erkennen die Schüler jedoch, dass x-Werte, die
kleiner als 0 cm oder größer als 2,5 cm (die Hälfte der Breite b) sind, praktisch nicht
möglich sein können. Also:
Definitionsmenge: D = ]0;2,5[.
Also gilt:
ans⇒ v
V′ ( x) = 12 x² − 52x+
40.
Dose
!
10
V′ Dose( x) = 0 ⇔12 x² − 52x+ 40 = 0 ⇔ x11 = 1 ∨ x12
= .
3
diff(v)
solve(ans=0)
8 Die Nebenbedingung G = ( b−2 x) ⋅( a−2 x)
wird von den Schülern sofort erkannt und in die Formel für
das Volumen der Dose eingesetzt.

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V′′ ( x) = 24x−
52.
Dose
diff(v,x,2)
Beachte:
10
x = ∉ D.
3
V ′′
Dose
(1) =− 28 < 0.
Also nimmt V
Dose
bei x = 1 ein Maximum an.
V
Dose
,max.
= VDose(1) = 18 [cm³].
Der Befehl expand(Term) zerlegt den Term in
einzelne Summanden.
Jedes Mal, wenn eine Berechnung im Arbeitsbereich
des Hauptanwendungs-Menüs ausgeführt
wird, wird das Ergebnis automatisch einer mit
„ans“ (answer = Antwort) benannten Variablen
zugeordnet. Der aktuelle Inhalt der ans-
Variablen kann durch Drücken der –Taste
[Cas, 2-2-2] der Mathematik-(mth)Tastatur [Cas,
1-6-2] abgerufen und in eine andere Berechnung
eingegeben werden.
Die Variablenzuordnungstaste
zuzuordnen [Cas, 1-7-6].
wird verwendet, um Daten einer Variablen
ans⇒ v belegt die Variable v (Volumen) also mit dem Term 4x³ + 40x – 26x².
Abbildung 3
Um das berechnete Ergebnis zusätzlich über die Betrachtung des Graphen von V Dose zu
bestätigen, wird nun zum ersten Mal mit dem Grafik- und Tabellen – Menü [Cas, 3-1-1
ff.] gearbeitet (Abbildungen 4 und 5).

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Vom Hauptanwendungs-Menü aus, kann man
sofort über die Schaltfläche (Symbolleiste)
[Cas, 2-1-5] in das Grafikeditorfenster des Grafik–
und Tabellen – Menüs wechseln.
Wird im Eingabefeld für die Zeile y1 nun die
Variable v (die vorher mit dem entsprechenden
Funktionsterm 4x³ + 40x – 26x² belegt wurde)
eingegeben, kann anschließend über die Schaltfläche
(Symbolleiste) der Formelterm im
Grafikfenster grafisch dargestellt werden.
Abbildung 4

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Durch Antippen der –Schaltfläche (Symbolleiste)
[Cas, 3-1-5] wird der Hochpunkt des
Graphen durch ein blinkendes Kreuz angezeigt.
Zusätzlich werden dessen Koordinaten (xc = 1,
yc = 18) im Grafikfenster ausgegeben.
Abbildung 5
Als Hausaufgabe für die nächste Unterrichtsstunde sollen die Schüler die zweite Aufgabe
noch einmal mit dem ClassPad durcharbeiten. Zudem soll von jedem Schüler ein
Kreis aus Papier mit Radius 10 cm ausgeschnitten werden, bei dem zusätzlich ein
Kreissektor von 60° entfernt werden soll. Die Formeln für den Kreisumfang und das
Volumen eines Kegels sollen, mithilfe der den Schülern zur Verfügung stehenden Formelsammlung
[Bar2], wiederholt werden. Diese Hausaufgabe dient als Vorbereitung
auf die Aufgabe 3, die in der folgenden Stunde bearbeitet wird.
3. Dritte Unterrichtsstunde
Als eine weitere, etwas anspruchsvollere Anwendung der Kurvendiskussion auf Extremwertaufgaben
wird nachfolgende Aufgabe bearbeitet [Wei, S. 90 ff]. Nach dem
Übertragen der Aufgabe in die Arbeitshefte, werden 4 Gruppen aus jeweils 4 bzw. 5
Schülern gebildet. Alle Gruppen erhalten denselben Arbeitsauftrag: Das gemeinsame
Bearbeiten der Teilaufgabe a). Um die Zusammenhänge zwischen gemeinsamen Längen
des Kreises und des Kegels zu erkennen, sollen die vorgefertigten Papiermodelle (siehe
letzte Hausaufgabe) betrachtet werden. Dafür wird den Schülern etwa 10 Minuten Zeit
gegeben.

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3. Aufgabe: Eistüten
Aus einer Kreisscheibe mit Radius r = 1 LE wird ein Sektor mit dem Winkel α herausgeschnitten
und aus dem Restsektor mit einem Streifen Tesafilm eine kegelförmige
Tüte geklebt.
a) Stellen Sie das Volumen V des Kegels in Abhängigkeit des Winkels α dar!
b) Für welchen Winkel α ergibt sich ein maximales Volumen
Der überwiegende Teil der Schüler erkennt sofort die Volumenformel für den (geraden)
Kreiskegel:
Zu a):
1
V = ⋅r² ⋅π
⋅ h [Bar, S.34].
3
Da jedoch weder die Hohe h des Kreiskegels, noch der Radius r des Kreiskegels unmittelbar
gegeben ist, stellt das Auffinden dieser beiden Größen das eigentliche Problem
der Gruppenarbeit dar. Die Tatsache, dass die Bogenlänge des Kreissektors identisch ist
mit dem Umfang des Grundkreises des Kegels, wird zügig erkannt. Überraschende
Schwierigkeiten bereitet den Schülern allerdings, eben diesen Umfang zu berechnen.
Deshalb wird gemeinsam – im fragend–entwickelnden Unterrichtsgespräch – die Formel
für die Berechnung des Kreissektorumfangs erarbeitet:
Für den Kreissektor gilt U( α) = r1
⋅(2 π − α) = 2 π − α.
[Bar, S. 30]

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Da der Kreisbogen des Sektors gleich dem Umfang des Grundflächenkreises des Kegels
ist, gilt: 2π − α = r ⋅ 2 π.
Lediglich eine der vier Gruppen stellt nach einiger Überlegung fest:
Damit lassen sich Radius r, und Höhe h – in Abhängigkeit des Winkels α 9 – des Kegels
berechnen. Diese Größen sind notwendig zur Berechnung des Volumens V des
Kegels (Abbildung 6).
2π − α = r ⋅2
π ⇒
−α
r( α) = +1 .
2π
h( α) = 1 −r( α)² (Pythagoras).
10
Die Größen r und h werden von den Schülern umgehend berechnet und entsprechende
Variablen zugewiesen. Dabei sind eine weitgehend gute Vorbereitung der Schüler und
ein sicherer Umgang mit den benötigten Befehlen zu erkennen. Die notwendigen Gleichungen
(Nebenbedingungen) sind damit gefunden, um das Volumen als Funktion der
einen Variablen α darzustellen (Abbildung 6).
Als Hausaufgabe für die nächste Stunde wird den Schülern aufgegeben, das Volumen
des Kegels in Abhängigkeit des Winkels α formal darzustellen, also die Vervollständigung
der Teilaufgabe a). Zudem sollen die Schüler den Graph der Funktion V auf dem
ClassPad anzeigen lassen. Dabei ist zu überlegen, welcher Definitionsbereich überhaupt
sinnvoll erscheint und wie die Skalierung bzw. der Zeichnungsbereich zu wählen und in
den ClassPad einzugeben ist.
9 Um die Eingabe des ClassPads zu erleichtern wird in diesem Fall der Winkel α durch die Variable x
ersetzt!
10 Die Möglichkeit der Berechnung der Höhe des Kegels mithilfe des Pythagoras wurde auch von einer
weiteren Gruppe erkannt.

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Bemerkung:
Hier reicht die Breite
des Displays nicht
aus, um den Term
für V komplett anzuzeigen.
Deshalb
muss der Bildschirm
hier nach rechts
gescrollt werden.
Entsprechend werden
beide Bildschirme
nebeneinander
angezeigt.
Zunächst wird die Gleichung 2π
− x= r⋅ 2π
nach r aufgelöst.
Anschließend werden die Variablen r und h definiert.
Die bekannte Volumenformel für den (geraden) Kreiskegel kann nun eingegeben
werden. Der ClassPad setzt automatisch die entsprechend definierten Variablen r
und h in die Volumenformel ein.
Abbildung 6
4. Vierte Unterrichtsstunde
Die vierte Unterrichtsstunde knüpft nahtlos an die Ausführungen der letzten Stunde an:
Durch die zusätzliche Belegung der Variablen V, kann mühelos der Graph von V auf
dem ClassPad angezeigt werden. Dabei ist 0 < α < 2π
zu beachten 11 [Wei, S. 91].
1
V( α) = ⋅r²( α) ⋅π ⋅ h( α) [Bar, S.34].
3
11 Damit ist zugleich die für diese Stunde aufgegebene Hausaufgabe besprochen. Diese lieferte größtenteils
vollständig richtige Ergebnisse.

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Es wird lediglich noch der Term 1 ⋅ ²
3 r ⋅ π ⋅ h der Variablen v zugeordnet.
Dann kann der Graph im Grafik- und Tabellen – Menü angezeigt werden:
Die rechts angezeigte Vollbildanzeige kann aktiviert werden durch Tippen des
Ikons Resize (Ikon-Leiste).
Abbildung 7
Die eigentliche Bestimmung der Maximumstelle des Volumens wird in Teilaufgabe b)
gefordert. Dazu wird zunächst der Graph der Funktion V eingehender betrachtet. Es ist

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unmittelbar klar, dass genau eine Maximumstelle vorliegt 12 . Diese kann auf dem
ClassPad wie bereits oben beschrieben angezeigt werden ( –Schaltfläche (Symbolleiste)
[Cas, 3-1-5]). Der ClassPad liefert als (gerundete) Maximumstelle den Wert x =
1,153 (Abbildung 8).
Durch Antippen der –Schaltfläche (Symbolleiste)
[Cas, 3-1-5] wird der Hochpunkt des
Graphen durch ein blinkendes Kreuz angezeigt.
Zusätzlich werden dessen Koordinaten (gerundet)
im Grafikfenster ausgegeben.
Zu b):
Es ist zu beachten: 0 < 2α < 2π.
Abbildung 8
Die exakte rechnerische Bestimmung der Maximumstelle erfolgt wieder mithilfe der
Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung von V. Der ClassPad liefert 3 Nullstellen,
von denen jedoch nur eine die gewünschte Eigenschaft (Werte zwischen 0 und
2π) erfüllt (Abbildung 9). Der erhaltene Wert kann zusätzlich noch als Winkel im
Gradmaß (exakt oder als gerundeter Dezimalbruch) angezeigt werden (Abbildung 10):
!
2 6
V′ π
( α) = 0 für α = 2π- ≈ 66 ° .
3
solve(diff(V,x)=0,x)
12 Auf den Nachweis der Art der Extremstelle mittels zweiter Ableitung bzw. Monotoniebetrachtungen
wird daher verzichtet.

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Aus dem Graphen der Funktion erkennen wir:
2 6π
V nimmt für α = 2π-
ein Maximum an.
3
2 6π
V(2π - ) ≈ 0,40 cm³.
3
Bemerkung:
Die Ausgabe der
drei Nullstellen
erfolgt über die
Breite dreier Bildschirme,
die jeweils
durch scrollen nach
rechts angezeigt
werden können.
Die verwendeten Befehle des ClassPads können
auch verknüpft werden:
Das Beispiel zeigt die Hintereinanderausführung
der Befehle diff(Funktionsterm,Variable) und
solve(Gleichung,Variable).
Abbildung 9

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Der in Frage kommende Wert
2
2 6π
3
π − kann
durch Edit–Copy und Edit–Paste (Menüleiste)
[CAS, 1-5-3] mühelos noch einmal eingegeben
werden. Durch Tippen auf das Symbol in
der Menüleiste, kann im Untermenü Settings/Setup/Basic
Format die Anzeige vom Bogenmaß
(Rad) auf Gradmaß (Deg) umgestellt
werden. Setzt man den Term nun in Klammern
und gibt den Befehl r [Cas, 2-4-1] der Mathematik-(mth-Trig)Tastatur
[Cas, 1-6-2] ein, so erhält
man die Anzeige des Winkels im Gradmaß
( 360 − 120⋅
6 ).
Die Anzeige kann auch als (gerundete) Dezimalzahl erfolgen ( 66 . 06123087 ).
Hierzu ist im eben beschriebenen Untermenü Settings/Setup/Basic Format die
Einstellung Decimal Calculation zu aktivieren.
Abbildung 10
Bereits in der vorangegangenen Unterrichtsstunde 13 wurde offensichtlich, dass die
Schüler Probleme bei der Umrechnung von Gradmaß in Bogenmaß haben. Daher wird
der Rest der Unterrichtsstunde darauf verwendet, diesen Unterrichtsinhalt aus der Mittelstufe
zu wiederholen. Aus diesem Grund wird ein von mir selbst erstelltes Informationsblatt
(siehe Anlage 2) [Mer, S. 75 f.] verteilt und gemeinsam mit der Klasse besprochen.
Die Wiederholung des behandelten Unterrichtsstoffes stellt die Hausaufgabe für die
nächste Unterrichtssunde dar. 14
13 Bei der Berechnung des Umfangs eines Kreissektors.
14 In der vierten Unterrichtsstunde waren lediglich 10 Schüler anwesend. Es fand an diesem Tag eine
Demonstration statt, an der sich die restlichen Schüler beteiligten. Eine umfangreiche Hausaufgabe erschien
mir daher wenig sinnvoll.

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23
5. Fünfte Unterrichtsstunde (Doppelstunde)
Nach einer kurzen Rechenschaftsablage eines Schülers über den behandelten Unterrichtsstoff
der letzten Stunde (insbesondere Bogenmaß, Gradmaß) wird die 4. Aufgabe
bearbeitet [Wör, S. 136]:
4. Aufgabe:
Durch die Funktion f : y = x² − 3x+ 3 ist eine Kurve gegeben. Welche Koordinaten
hat derjenige Kurvenpunkt, der dem Ursprung des Koordinatensystems am nächsten
liegt
Der Graph der Funktion ist in sinnvollem Maßstab von den Schülern im Graphik- und
Tabellen-Menü zu erstellen (Abbildung 11).
Die Eingabe des Funktionsterms und die Anzeige des Graphen erfolgt wie bereits
beschrieben im Grafik– und Tabellen – Menü. Über die –Schaltfläche
können die Grafikfenstereinstellungen konfiguriert werden, etwa die Skalierung
des Koordinatensystems (hier z.B. x – Werte von –1 bis 4 und y – Werte von 0
bis 7). Über das Ikon Resize (Ikon-Leiste) kann in den Vollbildmodus gewechselt
werden.
Abbildung 11

Behandlung von Extremwertproblemen in der Jahrgangsstufe 11
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24
Zunächst stellt sich die Schwierigkeit, eine Funktion zu ermitteln, deren Extremwerte zu
bestimmen sind. Erst nachdem als Hilfe die nachfolgende Überlegungsfigur gezeichnet
wird (mit den Koordinaten des Punktes P), wird von einigen Schülern erkannt, dass die
Entfernung eines Kurvenpunktes P vom Ursprung als Funktion der Koordinaten von P
dargestellt werden kann 15 :
x
P(x/y)
y
Für die Entfernung d eines beliebigen Punktes P(x/y) der Parabel gilt:
d = x² + y²
(Pythagoras).
Im Folgenden besteht die Aufgabe also darin, eine Beziehung zwischen den Koordinaten
x und y zu suchen, um eine der beiden Variablen aus der Gleichung für d zu eliminieren.
Nach kurzer Zeit des Nachdenkens wird erkannt, dass die Koordinaten eines
Kurvenpunktes die entsprechende Funktionsgleichung erfüllen:
Für die Koordinaten x und y gilt folgende Nebenbedingung:
15 Diese Gegebenheit ist nach Erklärungen einzelner Schüler allen Mitschülern der Klasse im Nachhinein
einleuchtend. Ein Großteil der Klasse wäre nach meinem Eindruck jedoch nicht selbstständig zu dieser
Erkenntnis gelangt.

Behandlung von Extremwertproblemen in der Jahrgangsstufe 11
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25
y = x² − 3x+ 3.
Durch Einsetzen der Nebenbedingung in die Gleichung für d, lässt sich eine Variable
eliminieren. Es folgt:
d( x) = x² + ( x² − 3x+ 3)² .
Wir suchen denjenigen x-Wert, für den die Funktion d(x) ein Minimum annimmt.
!
d
d´( x) = 0 ⇔ x² + ( x² − 3x+ 3)² = 0
16
dx
x = 1.
Zunächst wird die Variable d mit dem Term
x ² + y² belegt, sodann die Variable y mit dem
Funktionsterm x ² − 3x
+ 3 . Lässt man den ClassPad
nun d anzeigen, so wird automatisch die belegte
Variable y in die eingegebene Formel für d eingesetzt.
Schließlich ist nur noch der Befehl zum Bestimmen
der Nullstellen der ersten Ableitung von d
auszuführen (solve(diff(d)=0,x)).
Als Lösung erhält man x = 1.
Abbildung 12
Anschließend werden die beiden Graphen von f und d angezeigt (Abbildung 13). Damit
wird deutlich, dass d bei x = 1 eine Minimumstelle besitzt.
16 Im Hinblick auf die in der folgenden Unterrichtsstunde durchgeführte Stegreifaufgabe wird als Wieder-
d
holung die Schreibweise f ( x )
dx
für den Differenzialquotienten gewählt.

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26
Der Graph von d kann zur besseren Unterscheidung gestrichelt dargestellt werden.
Dazu ist lediglich auf die Linie rechts in der Zeile y2 zu tippen und im sich
anschließend öffnenden Fenster der gewünschte Grafikplottyp zu wählen.
Soll nur der Graph von d angezeigt werden, so ist das Kontrollhäkchen vor y1=y
zu deaktivieren. Zur Überprüfung kann die Minimumstelle (x = 1) von d dann
im Grafikfenster (hier Vollbildmodus) durch Antippen der
(Symbolleiste) [Cas, 3-1-5] ausgegeben werden.
–Schaltfläche
Abbildung 13
Da f (1) = 1, haben wir folgendes Ergebnis:
Der Punkt P(1/1) hat die kleinste Entfernung vom Ursprung ( d = 2 ).
Als Hausaufgabe für die nächste Stunde wird den Schülern die Wiederholung des Unterrichtsstoffs
aufgegeben. Zudem wird ein Fragebogen zum Einsatz des ClassPad (siehe
Anlage 3) verteilt, der in der folgenden Stunde ausgefüllt wieder mitzubringen ist.

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6. Sechste Unterrichtsstunde
Am Anfang der Stunde steht die Bearbeitung der Stegreifaufgabe (siehe Anlage 4)
[Wör, S. 140], bei der 20 von 21 Schülern anwesend sind. Die Bearbeitungszeit wird
mit 20 Minuten veranschlagt.
Folgende durchschnittlichen Punkteverteilungen wurden erreicht:
Aufgabe 1 a: 1,2 von 2 Punkten,
Aufgabe 1 b: 0,35 von 1 Punkt,
Aufgabe 1 c: 2,42 von 4 Punkten,
Aufgabe 2: 1,55 von 3 Punkten.
Damit ergab sich folgende Notenverteilung:
3-mal Note 1 (15%),
4-mal Note 2 (20%),
4-mal Note 3 (20%),
3-mal Note 4 (15%),
3-mal Note 5 (15%),
3-mal Note 6 (15%),
(Durchschnittsnote: 3,4).
Bei der Bearbeitung von Aufgabe 1 a) erkannte der überwiegende Teil der Klasse (18
von 20 Schülern), dass zu deren Lösung der Lehrsatz des Pythagoras anzuwenden ist.
Lediglich 5 Schüler lösten die Aufgabe vollständig richtig. Bei den restlichen Schülern
lagen die Probleme hauptsächlich in der richtigen Anwendung des Lehrsatzes, bzw. im
sicheren Umgang beim Rechnen mit Potenzen und Quadratwurzeln.
Aufgabe 1 b) wurde insgesamt am schlechtesten gelöst. 4 Schüler lösten die Aufgabe
gar nicht, weitere 5 Schüler gaben als Definitionsmenge alle reelle Zahlen an, was zwar
mathematisch durchaus korrekt, jedoch nicht sinnvoll für die Lösung der gegebenen
Aufgabe ist. 3 Schüler gaben das richtige Ergebnis an. Die restlichen 8 Schüler erkannten
zumindest, dass nur positive Werte für x sinnvoll sind.

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28
Die besten Ergebnisse wurden erwartungsgemäß bei der Bearbeitung von Aufgabe 1 c)
erreicht. Der Großteil der Klasse (16 Schüler) wählte den richtigen Ansatz, nämlich die
erste Ableitung von T nach x gleich Null zu setzen. Davon lösten 12 Schüler die Gleichung
korrekt nach x auf. Der begründete Nachweis, dass bei der Stelle
4 3
x = ein
15
Maximum von T vorliegt, gelang lediglich 8 Schülern, wobei die eine Hälfte von diesen
den Wert der 2. Ableitung von T nach x betrachtete, die andere Hälfte das Grafik– und
Tabellen – Menü des ClassPad zur Begründung benutzte.
Das größte Problem bei der Lösung der Aufgabe 2 bestand für die Schüler darin, zu
erkennen, dass es sich bei der Schreibweise dy um den Differenzialquotienten handelt.
dx
Diese Tatsache erkannten lediglich 4 Schüler. Der entsprechende solve() – Befehl wurde
hingegen meist (16 Schüler) richtig formuliert.
Nach der anschließenden Verbesserung der Stegreifaufgabe, schließt das Einsammeln
der ausgefüllten Fragebögen, die in der letzten Stunde verteilt worden sind, die Unterrichtssequenz
ab.
V. Reflexion
Der Einsatz moderner Technologien erhöht nicht automatisch die Qualität des Mathematikunterrichts.
Der Taschencomputer kann jedoch einen zeitgemäßen Beitrag zur
Verbesserung des Unterrichts leisten. Neue Methoden sind jedoch nicht nur positiv,
sondern auch kritisch zu reflektieren. Ich greife die Frage aus der Einleitung an dieser
Stelle noch einmal auf:
Welche Vorteile bringt der Einsatz dieser neuen Technologien für das Lernen und Verstehen
der Schülerinnen und Schüler mit sich
Der Einsatz von Taschencomputern mit CAS kann eine Verbesserung des Lehrens und
Lernens zwar unterstützen, ist jedoch keine notwendige Bedingung dafür. Deshalb darf
der Einsatz von Taschencomputern nicht in den Vordergrund treten. Der Rechner ist
lediglich ein Hilfsmittel und muss auch als solches betrachtet werden.
Daher sollte der Lehrer bei der Nutzung des Taschencomputers immer vom Mehrwert
im Hinblick auf das Erreichen der Unterrichtsziele überzeugt sein [Wei, S. 6].

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29
1. Beurteilung aus Sicht der Lernenden
Wie bereits erwähnt, wurde zum Ende der Unterrichtssequenz ein Fragebogen (siehe
Anlage 3) an die Schüler verteilt, in dem der Einsatz des ClassPad zu beurteilen war.
Selbstverständlich können daraus keine allgemeingültigen Rückschlüsse gezogen werden.
Einen Versuch der Bewertung möchte ich dennoch nicht unterlassen.
Das Ergebnis der Fragen 1 bis 6 zeigt Anlage 5:
8 Schüler (ca. 38%) hatten überwiegend Spaß am Lernen mit dem ClassPad, 7 Schüler
(ca. 33%) widersprachen dieser Aussage zumindest teilweise.
Ein ähnliches Bild liefern die Ergebnisse der Frage danach, ob der ClassPad öfter verwendet
werden sollte: 8 Schüler (ca. 38%) stimmten der Aussage teilweise zu, genau so
viele lehnten diese Forderung größtenteils ab.
Überraschenderweise wünscht etwa die Hälfte der Schüler (11 Schüler, ca. 52%) überwiegend
nicht, dass der ClassPad in Prüfungen zugelassen werden sollte. Lediglich 5
Stimmen (ca. 24%) wurden für eine solche Zulassung abgegeben.
Am bedeutendsten ist meines Erachtens Aussage 4. Hier ist das auffälligste Ergebnis zu
verzeichnen: Über 90% der Schüler sind der Ansicht, die Unterrichtsinhalte werden
durch den Einsatz des ClassPads nicht besser gelernt. Lediglich 1 Schüler schätzte die
Verbesserungen für den eigenen Lernerfolg teilweise positiv ein.
Die eigenen Leistungen in Mathematik wurden von 8 Schülern (38%) als überwiegend
gut beurteilt. 6 Schüler (ca. 29%) erbringen nach eigener Einschätzung eher schlechtere
Leistungen in Mathematik. Die restlichen 7 Schüler (ca. 33%) sind diesbezüglich unentschlossen.
Nach eigenen Angaben ist etwa die Hälfte der Klasse (10 Schüler, ca. 48%) eher weniger
an mathematischen Sachverhalten interessiert, dagegen bekunden 7 Schüler (ca.
33%) Interesse an der Mathematik. Die übrigen 4 Schüler (ca. 19%) stimmen der Aussage
weder zu, noch lehnen sie die Aussage ab.
Die bedeutendsten – unter Frage 7 genannten – Vorteile, die der Einsatz des ClassPad
mit sich bringt können unter 3 Aspekten zusammengefasst werden:

Behandlung von Extremwertproblemen in der Jahrgangsstufe 11
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30
Am häufigsten (9 Mal) wurde dabei genannt, dass das recht unkomplizierte Anzeigen
von Funktionsgraphen ermöglicht wird. Die Darstellung des Graphen erfolge exakt,
schnell und helfe bei der Veranschaulichung der jeweiligen Problemstellung.
Nahezu eben so oft (8 Mal) wurde auch der geringere Rechenaufwand angeführt. Eine
schnellere und sicherere Durchführung von Berechnungen werde gewährleistet.
Zudem wurde 6 Mal der Vorteil aufgeführt, der Einsatz des ClassPads bringe mehr Abwechslung
in den Mathematikunterricht. Es mache Spaß, sich mit dem neuen Werkzeug
auseinander zu setzen. Das Beschäftigen mit dem Rechner sei interessant, neue Technologien
können kennen gelernt werden.
Den Vorteilen stehen jedoch – aus Schülersicht – mehrere Nachteile (Frage 8) gegenüber:
Den allergrößten Nachteil sahen die Schüler in der technischen Ausstattung des Geräts
(18 Mal genannt). Darin erkannten die Schüler auch den Hauptgrund dafür, dass der
Einsatz des ClassPad nur bedingt Freude bereitet hat. Die Rechenleistung des ClassPad
lasse häufig zu wünschen übrig. So können etwa einige Wurzelterme nicht berechnet
werden, ähnlich verhalte es sich mit einigen (gar nicht so komplizierten) Berechnungen
von höheren Funktionsableitungen. Des Öfteren stürze der Rechner ab, es gäbe noch
einige „Kinderkrankheiten“ zu beseitigen. Zudem sei die Darstellung der Bildschirminhalte
auf dem Display auf Grund des Hochformats und der geringen Größe zu unübersichtlich.
Durch das Erlernen der grundsätzlichen Funktionsweisen und Befehle des Taschencomputers
werde zu viel Zeit in Anspruch genommen (12 Mal). Bei einem Unterrichtsvorhaben
von zwei bis drei Wochen übersteige der zeitliche Aufwand den Ertrag, den der
Einsatz des Rechners mit sich bringe.
Zudem sei die Eingabe der Befehle zu kompliziert. Die Bedienung sei so umständlich,
dass von den eigentlichen Aufgaben zu sehr abgelenkt werde. Schüler die weniger com-

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31
puterinteressiert seien, gerieten dadurch ins Hintertreffen. Es müssen derart viele Befehle
und deren Syntax erlernt werden, dass einige Schüler überfordert seien, darüber hinaus
noch die mathematischen Inhalte zu erfassen (10 Mal genannt).
5 Mal wurde aufgeführt, es bestehe die Gefahr, das selbstständige Rechnen zu verlernen.
Sind die Befehle einmal erlernt und ist der Umgang mit dem Taschencomputer
automatisiert, würde die eigene Rechenleistung zu sehr in den Hintergrund gedrängt.
2. Beurteilung aus Sicht des Lehrenden
Die für den Unterricht gewählten Beispiele sind durchweg Standardbeispiele aus Schulbüchern,
die mit den üblichen Verfahren zur Extremwertbestimmung – unter Zuhilfenahme
– des ClassPads bearbeitet wurden. Prinzipiell hätte man auch anspruchsvollere
Beispiele, etwa Optimierungsprobleme aus der Verpackungsindustrie, betrachten können.
Im Hinblick auf die Klassensituation fiel meine Wahl jedoch auf (einfachere) Beispiele,
deren Behandlung unabdingbar ist für das grundlegende Verständnis für die Lösungsmethoden
bei Extremwertaufgaben. Die Interessen und Stärken der Schüler dieser
Klasse liegen weniger im mathematischen, als vielmehr im neusprachlichen Bereich 17 .
Deshalb erschien es mir als zweckmäßiger, eher „Standardaufgaben“ zu wählen.
Da ich mir durchaus der Problematik bewusst war, dass die Einführung in die Bedienung
und Befehlsstruktur des Taschencomputers hohe Anforderungen an die Schüler
stellt und dafür einiges an Unterrichtszeit aufgewendet werden muss, sah ich zudem den
Vorteil, (vor allem einfachere) Berechnungsergebnisse des ClassPad gegebenenfalls
durch Nachrechnen „per Hand“ zu kontrollieren bzw. zu ersetzen.
Ein erheblicher Teil der Unterrichtszeit wurde darauf verwendet, Probleme technischer
Art zu lösen:
Bei einigen Schülern ließ sich plötzlich der Rechner nicht mehr bedienen, so dass das
System zurückgesetzt und die grundlegenden Einstellungen neu durchgeführt werden
17 Am Gymnasium Pfarrkirchen wird wahlweise auch im naturwissenschaftlich-technologischen Bereich
ausgebildet. In diesem Zweig beträgt die Wochenstundenzahl in Mathematik 5 Stunden, allerdings ist der
Lehrplan dort um ein Wahlpflichtgebiet (Komplexe Zahlen bzw. sphärische Trigonometrie) erweitert. Die
Wochenstundenzahl im neusprachlichen Bereich beträgt 3 Unterrichtsstunden.

Behandlung von Extremwertproblemen in der Jahrgangsstufe 11
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mussten. Einige Berechnungen, die man selbst „per Hand“ hätte durchführen können,
leistete der ClassPad nicht (siehe oben, Beurteilung aus Sicht der Lernenden).
Entsprechend sank die Motivation der Schüler recht schnell nach dem Auftreten der
ersten (technischen) Probleme.
Die Einführung in den grundsätzlichen Aufbau der Bedienelemente, die generelle Arbeitsweise
in den Anwendungsbereichen, das Einführen der jeweiligen Befehle und
Befehlssyntax bzw. das Arbeiten mit den entsprechenden Schaltflächen erwies sich als
sehr mühsam und zeitaufwändig. Meine Erwartungen wurden diesbezüglich übertroffen.
Die Herausforderung, solch ein Unterrichtsvorhaben von arg begrenzter Zeit durchzuführen,
habe ich gerne angenommen. Rückblickend ist der Aufwand dafür meiner Meinung
nach jedoch nicht gerechtfertigt. Die Schüler selbst empfanden das neue „Werkzeug“
Taschencomputer überwiegend nicht als Hilfsmittel sondern eher als zusätzliche
Belastung.
Sind die Schüler jedoch erst einmal vertraut mit dem Taschencomputer, so bin ich der
festen Überzeugung, dass diese neue Technologie in bedeutendem Maße dazu beitragen
kann, einzelne Unterrichtsinhalte und –ziele besser zu erreichen (siehe auch III. Lernziele).
Dazu müsste meines Erachtens jedoch der Taschencomputer bereits zu Beginn
der 11. Jahrgangsstufe 18 verpflichtend eingeführt werden. Damit können optimale Voraussetzungen
geschaffen werden, dass die Schüler den Umgang und die Verwendung
des Taschencomputers ähnlich selbstverständlich und reibungslos erlernen, wie das der
Fall ist bei der Einführung des wissenschaftlichen Taschenrechners in Jahrgangsstufe 8.
Da die Einführung von Taschencomputern auch eine hohe Herausforderung an die Lehrenden
darstellen würde, ist es aus meiner Sicht unerlässlich, dass die neue Technologie
auch Einzug in die Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung hielte. Notwendig wäre
dann auch die umfangreiche Entwicklung von Materialien, die die Lehrenden in ihrer
jeweiligen Unterrichtssituation unterstützen.
18 Die 10. Jahrgangsstufe erscheint mir für eine Einführung zu früh. Der Lehrplan für das bayerische
Gymnasium sieht in dieser Jahrgangsstufe unter anderem das Rechnen mit Potenzen, Potenzfunktionen,
Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen vor. Viele Lerninhalte aus diesen Gebieten sollten
durch intensives Üben „per Hand" automatisiert werden. Zudem wird eine Auffrischung algebraischer
Grundkenntnisse gewährleistet (siehe auch [Bay, S. 1213 f.])

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33
Literaturverzeichnis
[Bai] Baierlein, Marianne et al
Anschauliche Analysis 1
Ehrenwirth Verlag, München, 1994
[Bar1] Barth, Friedrich/Krumbacher, Gerd
Analysis anschaulich 1
Oldenbourg Schulbuchverlag, München, 2001
[Bar2] Barth, Friedrich et al
Mathematische Formeln und Definitionen
Bayerischer Schulbuch-Verlag, München, 1985
[Bay] Bayerische Staatsministerien für Unterricht und Kultus und Wissenschaft und
Kunst (Hrsg.)
Lehrplan für das bayerische Gymnasium
R. Oldenbourg Graphische Betriebe, 1991
[Cas] Casio (Hrsg.)
ClassPad 300 Bedienungsanleitung
ClassPad Manager for ClassPad 300 Single License, CD-ROM, Casio Computer
Co., Ltd., 2003
[Glö] Glöckel, Hans
Vom Unterricht
Verlag Julius Klinkhardt, Bad Heilbrunn, 1996
[Mer] Merziger, Gerhard/Wirth, Thomas
Repetitorium der höheren Mathematik
Binomi Verlag, Springe, 1995

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34
[Wei] Weigand, Hans-Georg/Weth, Thomas
Computer im Mathematikunterricht: Neue Wege zu alten Zielen
Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin, 2002
[Wör] Wörle, Karl et al
Infinitesimalrechnung
Bayerischer Schulbuch-Verlag, München, 1976.
Internet-Adressenverzeichnis
Folgende Internetadressen wurden für weitere Informationen genutzt:
- http://www.acdca.ac.at/german/index.htm
(Austrian Center for Didactics of Computer Algebra)
- http://www.classpad.de
(ClassPad-Homepage)
- http://www.casio-europe.com/de/
(Casio-Homepage)
Anlagen
1) Informationsblatt: Bedienung des ClassPad 300
2) Informationsblatt: Winkel und Bogenmaß
3) Fragebogen zum Einsatz des ClassPad
4) Stegreifaufgabe mit Erwartungshorizont und Notenschlüssel (2 Seiten)
5) Auswertung der Fragebögen zum Einsatz des ClassPad