Regeln zur Erstellung einer Wurzelortskurve - Lehrstuhl für Automation

Universität Mannheim
Automatisierungstechnik I
Lehrstuhl für Automation Herbstsemester 2008
Prof. Dr. E. Badreddin
Dr. Ing. A. Gambier
Dipl. Inf. T. Miksch Regeln zur Erstellung einer Wurzelortskurve
Eigenschaften einer WOK für 1 + G(s) = 0
1) Die Punkte der WOK, die mit K = 0 korrespondieren, sind die Pole des offenen Kreises (G(s)).
2) Die Punkte der WOK, die mit K −→ ∞ korrespondieren, sind die Nullstellen von (G(s)).
3) Die WOK besteht aus n Ästen (Zahl der Pole von G(s)). r = (n − m) Äste enden im Unendlichen, wobei m
die Zahl der Nullstellen von G(s) ist.
4) Die WOK ist symmetrisch zur reellen Achse.
Konstruktionsregeln einer WOK für 1 + G(s) = 0
1) Verlauf auf der reellen Achse
Ein Punkt auf der reellen Achse gehört dann zur WOK, wenn die Gesamtzahl der rechts von diesem Punkt
liegenden Pole und Nullstellen ungerade ist.
2) Ort der Verzweigungs- bzw. Vereinigungspunkte
Verzweigungs- bzw. Vereinigungspunkte können durch Lösen der Gleichung
dA(s)
dB(s)
dK
ds = − ds
B(s) − A(s)
ds
B(s) 2 = 0
ermittelt werden, wobei G(s) = B(s) . Dies ist die notwendige Bedingung für die Existenz eines solchen Punktes.
Die hinreichende Bedingung ist, das dieser Punkt auch ein Punkt auf der WOK sein muss, also die cha-
A(s)
rakteristische Gleichung erfüllen muss. Mindestens ein Verzweigungs bzw. Vereinigungspunkt existiert dann,
wenn ein Ast der WOK auf der reellen Achse zwischen zwei Pol- bzw. Nullstellen verläuft.
3) Schnittwinkel der Verzweigungs- bzw. Vereinigungspunkte
Die allgemeine Gleichung für die Winkel lautet
Θ = 180◦
p
Wobei p die Anzahl der Äste ist, die sich in diesem Punkt treffen. Normalerweise ist p = 2, d.h. Θ = +−180◦
2
=
90 ◦ . Ein besonderer Fall besteht, wenn ein Verzweigungspunkt un dein Vereinigungspunkt sich Überlappen.
Dann gilt p = 4, d.h.
Θ = 180◦
4
= 45 ◦
4) Asymptoten
Die Äste der WOK nähern sich für große K-Werte asymptotisch an Geraden an, die mit der reellen Achse die
Winkel
α k = + − 180◦ (2k + 1)
r

für k = [0..r − 1] bilden und den Schnittpunkt
σ s = 1 n r { ∑ m∑
p j − z j }
haben, wobei p j die Realteile der Pole und z j die Realteile der Nullstellen von G(s) sind.
j=1
5) Austritts- bzw. Eintrittswinkel aus Polpaaren bzw. in Nullstellenpaaren
Austritts- bzw. Eintrittswinkel aus bzw. in Pol-Nullstellenpaaren der Vielfachheit ρ p bzw. ρ z berechnen sich zu
Austrittswinkel:
j=1
Für k = [0...ρ z ].
Eintrittswinkel:
Für k = [0...ρ p ].
φ A = 1 m∑
{ arg(s − z i ) −
ρ z
i=1
i=1
n∑
i=1
i=1
arg(s − p i )} ± 180◦ (2k + 1)
ρ z
φ E = 1 n∑
m∑
{ arg(s − p i ) − arg(s − z i )} ± 180◦ (2k + 1)
ρ p ρ p
6) Belegung der WOK mit K-Werten
Die Amplitudenbedingung ermöglicht den Wert von K für jeden Punkt der WOK durch
K =
∏ n
i=1 |s − s p i
|
∏ m
i=1 |s − s z i
|
zu ermitteln. Für m = 0 ist der Nenner immer gleich Eins zu setzen.
7) Asymptotische Stabilität
Asymptotische Stabilität des geschlossenen Regelkreises liegt für alle K-Werte vor, die auf der WOK links
von der imaginären Achse liegen. Die Schnittpunkte der WOK mit der imaginären Achse liefern den kritischen
Wert K krit . Um diesen Herauszufinden kann man zB die ROUTH-Tabelle erstellen und dasjenige K finden,
für den das System gerade noch stabil ist. Die imaginären Lösungen, die man bei Einsetzen von K krit in die
charakteristische Gleichung erhält, sind die Schnittpunkte der WOK mit der imaginären Achse.