Logik und Gatter - Lehrstuhl fÃ¼r Schaltungstechnik und Simulation

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Boole'sche Algebra Die mathematische Grundlage für die Schaltungstechnik bildet die BOOLE'SCHE ALGEBRA (1854) Man betrachtet darin - eine Menge B mit mindestens zwei Elementen - zwei binäre Operationen: + ('Addition') und • ('Multiplikation') - Vorsicht mit Analogie ! - eine unitäre Operation: ! (Inverses) - Nicht das 'Negative' a → -a ! In der Boole'schen Algebra gelten folgende Axiome: 1. Es gibt mindestens zwei unterschiedliche Elemente in B 2. Abgeschlossenheit: a+b und a • b sind Elemente von B 3. Kommutativität: a+b = b+a und a • b = b • a 4. Assoziativität: (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c und (a • b) • c = a • (b • c) = a • b • c 5. Distributivität: a+(b • c) = (a+b) • (a+c) und a • (b+c) = (a • b) + (a • c) 6. Neutrale Elemente: ∃ ein Element '0' mit a+0=a und ∃ ein Element '1' mit a • 1 = a 7. Inverses Element: a+!a = 1 und a • !a = 0 N.B.: Für die reellen Zahlen z.B. gelten NICHT BEIDE Distributivgesetze: 2 × (3 + 4) = 2 × 7 = 14 (2 × 3) + (2 × 4) = 6 + 8 = 14 ➼ 2 + (3 x 4) = 2 + 12 = 14 (2 + 3) x (2 + 4) = 5 x 6 = 30 Nicht erfüllt! Digitale Schaltungstechnik - Aussagenlogik und Gatter © P. Fischer, ziti, Uni Heidelberg, Seite 4
Zweiwertige Schaltalgebra Man kann nun zeigen, daß für - die Menge mit den zwei Elementen (1/0 oder true/false oder high/low) - die Verknüpfungen ODER ('∨') für '+' - die Verknüpfungen UND ('∧' oder '⋅' oder kein Verknüpfungszeichen) für '•' - die Operation NICHT ('!') für '!' alle Axiome erfüllt sind. Dies ist die einfachst mögliche Boole'sche Algebra (wg. der zwingenden Existenz von 0 und 1!) Überprüfung der Axiome: - 0 ist das Neutrale Element für ODER ➼ - 1 ist das Neutrale Element für UND ➼ - !a ist das Inverse Element für ODER ➼ - !a ist das Inverse Element für UND ➼ a 0 ∨ a 1 ∨ a 1 ∧ a 0 ∧ a a !a a ∨ !a a ∧ !a 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 Digitale Schaltungstechnik - Aussagenlogik und Gatter © P. Fischer, ziti, Uni Heidelberg, Seite 5
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Seite 27 und 28: Vorgriff auf VLSI Design: nor3 vs.
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