2. Nichtlineare Optimierung: Grundlagen (WS 2011/12) - M1
2. Nichtlineare Optimierung: Grundlagen (WS 2011/12) - M1 2. Nichtlineare Optimierung: Grundlagen (WS 2011/12) - M1
Technische Universität München Zentrum Mathematik Lehrstuhl für Mathematische Optimierung, M1 Prof. Dr. Michael Ulbrich Dipl.-Math. Florian Lindemann 2. Nichtlineare Optimierung: Grundlagen (WS 2011/12) Aufgabe 2.2 (Fehlende Abstiegsrichtungen): In dieser Aufgabe wurde die Funktion (ca. 6 Punkte) f : R 2 → R mit f(x, y) := y 2 − 3yx 2 + 2x 4 . betrachtet. Wer Interesse an eine Visualisierung dieser Funktion hat, kann dies recht einfach mit Matlab realisieren: x = -0.5:0.01:0.5; y = x; [X,Y] = meshgrid(x,y); Z = Y. ∧ 2 - 3*Y.*X. ∧ 2 + 2*X. ∧ 4; surf(X,Y,Z); hold on; betaX = 0:0.01:0.5; betaY = 1.5*betaX. ∧ 2; betaZ = -betaX. ∧ 4/4; plot3(betaX,betaY,betaZ); Aufgabe 2.3 (Folgen und zugehörige Funktionswertfolgen): (ca. 8 Punkte) Es sei eine Folge (x k ) k∈N ⊂ R n gegeben sowie eine stetige Funktion f : R n → R. Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind, und geben Sie einen kurzen Beweis an: a) Sei x ∗ ∈ R n . Dann gilt b) Sei x ∗ ∈ R n . Dann gilt lim k→∞ xk = x ∗ ⇒ lim k→∞ f(xk ) = f(x ∗ ). lim k→∞ f(xk ) = f(x ∗ ) ⇒ lim k→∞ xk = x ∗ . c) Sei x ∗ ∈ R n ein striktes globales Minimum und es gebe keine weiteren lokalen Minima. Dann gilt lim k→∞ f(xk ) = f(x ∗ ) ⇒ lim k→∞ xk = x ∗ . d) Sei x ∗ ∈ R n ein globales Minimum, so dass für jede Folge (y k ) ⊂ R n mit f(y k ) → f(x ∗ ) gilt lim k→∞ y k = x ∗ . Dann ist x ∗ ein striktes globales Minimum. e) Sei (f(x k )) k∈N eine monoton fallende Folge und x ∗ ein Häufungspunkt von (x k ) k∈N . Dann konvergiert (f(x k )) k∈N gegen f(x ∗ ). Seite 1 von 2
- Seite 2: f) Sei (f(x k )) k∈N eine monoton
Technische Universität München<br />
Zentrum Mathematik<br />
Lehrstuhl für Mathematische <strong>Optimierung</strong>, <strong>M1</strong><br />
Prof. Dr. Michael Ulbrich<br />
Dipl.-Math. Florian Lindemann<br />
<strong>2.</strong> <strong>Nichtlineare</strong> <strong>Optimierung</strong>: <strong>Grundlagen</strong> (<strong>WS</strong> <strong>2011</strong>/<strong>12</strong>)<br />
Aufgabe <strong>2.</strong>2 (Fehlende Abstiegsrichtungen):<br />
In dieser Aufgabe wurde die Funktion<br />
(ca. 6 Punkte)<br />
f : R 2 → R mit f(x, y) := y 2 − 3yx 2 + 2x 4 .<br />
betrachtet. Wer Interesse an eine Visualisierung dieser Funktion hat, kann dies recht einfach mit<br />
Matlab realisieren:<br />
x = -0.5:0.01:0.5;<br />
y = x;<br />
[X,Y] = meshgrid(x,y);<br />
Z = Y. ∧ 2 - 3*Y.*X. ∧ 2 + 2*X. ∧ 4;<br />
surf(X,Y,Z);<br />
hold on;<br />
betaX = 0:0.01:0.5;<br />
betaY = 1.5*betaX. ∧ 2;<br />
betaZ = -betaX. ∧ 4/4;<br />
plot3(betaX,betaY,betaZ);<br />
Aufgabe <strong>2.</strong>3 (Folgen und zugehörige Funktionswertfolgen):<br />
(ca. 8 Punkte)<br />
Es sei eine Folge (x k ) k∈N ⊂ R n gegeben sowie eine stetige Funktion f : R n → R. Entscheiden Sie,<br />
ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind, und geben Sie einen kurzen Beweis an:<br />
a) Sei x ∗ ∈ R n . Dann gilt<br />
b) Sei x ∗ ∈ R n . Dann gilt<br />
lim<br />
k→∞ xk = x ∗ ⇒ lim<br />
k→∞ f(xk ) = f(x ∗ ).<br />
lim<br />
k→∞ f(xk ) = f(x ∗ ) ⇒ lim<br />
k→∞ xk = x ∗ .<br />
c) Sei x ∗ ∈ R n ein striktes globales Minimum und es gebe keine weiteren lokalen Minima. Dann<br />
gilt<br />
lim<br />
k→∞ f(xk ) = f(x ∗ ) ⇒ lim<br />
k→∞ xk = x ∗ .<br />
d) Sei x ∗ ∈ R n ein globales Minimum, so dass für jede Folge (y k ) ⊂ R n mit f(y k ) → f(x ∗ ) gilt<br />
lim k→∞ y k = x ∗ . Dann ist x ∗ ein striktes globales Minimum.<br />
e) Sei (f(x k )) k∈N eine monoton fallende Folge und x ∗ ein Häufungspunkt von (x k ) k∈N . Dann<br />
konvergiert (f(x k )) k∈N gegen f(x ∗ ).<br />
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f) Sei (f(x k )) k∈N eine monoton fallende Folge und x ∗ ein Häufungspunkt von (x k ) k∈N . Dann<br />
konvergiert (x k ) k∈N gegen x ∗ .<br />
g) Die Niveaumenge N f (x 0 ) sei beschränkt. Dann besitzt (x k ) k∈N einen Häufungspunkt.<br />
h) Die Niveaumenge N f (x 0 ) sei beschränkt und (f(x k )) k∈N eine monoton fallende Folge. Dann<br />
besitzt (x k ) k∈N einen Häufungspunkt und es existiert ein f ∗ ∈ R mit lim k→∞ f(x k ) = f ∗ .<br />
Lösung <strong>2.</strong>3:<br />
a) WAHR: Folgt direkt aus der Stetigkeit der Funktion f.<br />
b) FALSCH: Man nehme z.B. folgendes Gegenbeispiel: Sei f : R → R konstant, also f(x) := c<br />
mit Konstante c ∈ R und x k := (−1) k . Dann gilt offensichtlich lim k→∞ f(x k ) = c = f(x 0 ),<br />
aber (x k ) konvergiert nicht.<br />
c) FALSCH: Man nehme bspw. eine Funktion f : R → R, welche nach dem striktem globalen<br />
Minimum ein lokales Maximum hat und sich danach für x → ∞ asmptotisch gegen f(x ∗ )<br />
von oben anschmiegt ohne f(x ∗ ) zu erreichen, z.B.<br />
{<br />
(x + 1)<br />
2<br />
falls x < 0<br />
f(x) :=<br />
e −x sonst<br />
d) WAHR: Sei ¯x ∈ R n ein Punkt mit f(¯x) = f(x ∗ ), dann gilt mit der konstanten Folge (x k ) ≡ ¯x:<br />
f(x k ) → f(¯x). Aus der Voraussetzung folgt nun lim k→∞ x k = ¯x = x ∗ und damit die Aussage.<br />
e) WAHR: Da (f(x k )) k∈N monoton fällt, konvergiert sie uneigentlich gegen einen Grenzwert<br />
f ∗ ∈ R ∪ {−∞}. Da x ∗ ein HP ist, gibt es eine gegen x ∗ konvergente Teilfolge (x k ) k∈K<br />
(K ⊂ N) und wegen der Stetigkeit konvergiert auch die Folge der Funktionswerte (f(x k )) k∈K<br />
gegen φ := f(x ∗ ) ∈ R. Da es sich um eine Teilfolge einer monoton fallenden Folge handelt,<br />
konvergiert auch die ganze Folge und es gilt f ∗ = φ = f(x ∗ ).<br />
f) FALSCH: Betrachte f : R → R, f(x) := 0 und x k := (−1) k . Auch streng monotone Beispiele<br />
gibt es: Für f : R → R, f(x) := |x| und x k := (−1) k (1 + 1 k ) gilt f(xk ) = 1 + 1 k<br />
. Die Folge<br />
(f(x k )) ist offensichtlich streng monoton fallend, die Folge (x k ) ist aber nicht konvergent.<br />
g) FALSCH: Betrachte f : R → R, f(x) = |x|. Dann ist die Niveaumenge für beliebige x 0 ∈ R n<br />
kompakt. Für eine beliebige Folge (x k ) ohne Häufungspunkt lässt sich das Gegenbeispiel<br />
vervollständigen.<br />
h) WAHR: Da die Niveaumenge beschränkt ist, ist sie auch kompakt. Da (x k ) komplett in der<br />
Niveaumenge liegt, gibt es also einen Häufungspunkt. Mit e) folgt der Rest.<br />
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