5 Gradient und Richtungsableitung
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5 <strong>Gradient</strong> <strong>und</strong> <strong>Richtungsableitung</strong> 26<br />
Satz 5.3 Es sei U ⊂ R n eine offene Menge, f : U → R eine differenzierbare<br />
Funktion. Der Punkt a ∈ U liege auf der Niveaufläche Nc, die durch<br />
f(x1, . . . , xn) = c, c konstant, definiert ist. Dann steht grad f(a) in folgendem<br />
Sinne senkrecht auf der Niveaufläche: Ist v in t = 0 Tangentialvektor einer<br />
Kurve γ(t) in Nc mit γ(0) = a, dann gilt<br />
grad f(a) · v = 0.<br />
Beweis. Dass γ(t) in Nc liegt, bedeutet, dass f(γ(t)) = c gilt. Also ist die<br />
Funktion f ◦ γ konstant. Nach dem Spezialfall der Kettenregel (Korollar 4.1)<br />
gilt<br />
0 = d<br />
dt f(γ(t))<br />
�<br />
�<br />
� = grad f(γ(0)) · γ ′ (0) = grad f(a) · v.<br />
� t=0<br />
Als Folgerung aus Satz 5.3 können wir nun die Tangentialebene in einem<br />
Punkt a an die Niveaufläche Nc von f wie folgt definieren.<br />
Definition Es sei U ⊂ Rn eine offene Menge, f : U → R eine differenzierbare<br />
Funktion. Es sei a ∈ U ein Punkt mit f(a) = c <strong>und</strong> grad f(a) �= 0. Dann ist die<br />
Tangentialebene in a an die Niveaufläche Nc von f durch die Gleichung<br />
definiert.<br />
⎛<br />
⎜<br />
grad f(a) · ⎝<br />
x1 − a1<br />
.<br />
.<br />
xn − an<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ = 0<br />
Beispiel 5.3 Es sei f : R 2 → R eine differenzierbare Funktion. Den Graphen<br />
von f kann man als Niveaufläche N0 der Funktion F (x, y, z) = f(x, y) − z zum<br />
Wert 0 ansehen. Es gilt<br />
grad F (x, y, z) =<br />
� �<br />
∂f ∂f<br />
(x, y), (x, y), −1 .<br />
∂x ∂y<br />
Damit �lautet�die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen von f im<br />
x0<br />
Punkt :<br />
also<br />
y0<br />
∂f<br />
∂x (x0, y0)(x − x0) + ∂f<br />
∂y (x0, y0)(y − y0) − z + f(x0, y0) = 0,<br />
z = f(x0, y0) + ∂f<br />
∂x (x0, y0)(x − x0) + ∂f<br />
∂y (x0, y0)(y − y0).<br />
Damit erhalten wir als Spezialfall die frühere Formel für die Tangentialebene an<br />
den Graphen einer Funktion in zwei Veränderlichen.<br />
Beispiel 5.4 Wir berechnen die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche<br />
3xy +z 2 ⎛<br />
= 4 im Punkt ⎝ 1<br />
⎞<br />
1 ⎠. Es ist f(x, y, z) = 3xy +z<br />
1<br />
2 <strong>und</strong> grad f(x, y, z) =<br />
✷