5 Gradient und Richtungsableitung

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5 Gradient und Richtungsableitung 25 Beweis. Wir setzen γ(t) := a + tv. Dann gilt f(a + tv) = f(γ(t)). Nach dem Spezialfall der Kettenregel (Korollar 4.1) gilt � d � f(a + tv) � = (f ◦ γ) dt ′ (0) = ∇f(γ(0)) · γ ′ (0) = ∇f(a) · v. � t=0 Beispiel 5.1 Es sei f(x, y) = x 3 sin y + e x y 2 . Wir berechnen die Richtungs- ableitung von f in Richtung des Einheitsvektors � v = 1√2 � � 1 in a = 0 Es gilt Nach Satz 5.1 gilt 1√ 2 � . grad f(x) = (3x 2 sin y + e x y 2 , x 3 cos y + 2e x y). � d � f(a + tv) � dt � t=0 = (0, 1) · � 1 √2 1 √ 2 � = 1 √ 2 . Satz 5.2 Es sei U ⊂ R n eine offene Menge, f : U → R eine differenzierbare Funktion und a ∈ U. Angenommen, grad f(a) �= 0. Dann zeigt grad f(a) in die Richtung des größten Anstiegs von f. Beweis. Es sei v ein Vektor mit �v� = 1. Dann gilt für die Richtungsableitung von f in a in Richtung v nach Satz 5.1 � d � f(a + tv) � = grad f(a) · v = � grad f(a)� cos θ, dt � t=0 wobei θ der Winkel zwischen v und grad f(a) ist. Diese Ableitung hat für θ = 0, also wenn v und grad f(a) parallel sind, ein Maximum. ✷ Beispiel 5.2 Wir berechnen die Richtung des größten Anstiegs der Funktion f(x, y) = x2 − y2 � � 1 im Punkt a = und die Steigung in dieser Richtung. 1 Der Gradient ist grad f(x, y) = (2x, −2y). Also gilt grad f(1, 1) = (2, −2). � 2 Aus Satz 5.2 folgt, dass f in der Richtung des Vektors −2 � am schnellsten wächst. Es sei � grad f(1, 1) 1 1 v := = √ � grad f(1, 1)� 2 −1 � . Die Steigung im Punkt a beträgt � d � f(a + tv) � = grad f(1, 1) · v = � grad f(1, 1)� = 2 dt √ 2. � t=0 ✷
5 Gradient und Richtungsableitung 26 Satz 5.3 Es sei U ⊂ R n eine offene Menge, f : U → R eine differenzierbare Funktion. Der Punkt a ∈ U liege auf der Niveaufläche Nc, die durch f(x1, . . . , xn) = c, c konstant, definiert ist. Dann steht grad f(a) in folgendem Sinne senkrecht auf der Niveaufläche: Ist v in t = 0 Tangentialvektor einer Kurve γ(t) in Nc mit γ(0) = a, dann gilt grad f(a) · v = 0. Beweis. Dass γ(t) in Nc liegt, bedeutet, dass f(γ(t)) = c gilt. Also ist die Funktion f ◦ γ konstant. Nach dem Spezialfall der Kettenregel (Korollar 4.1) gilt 0 = d dt f(γ(t)) � � � = grad f(γ(0)) · γ ′ (0) = grad f(a) · v. � t=0 Als Folgerung aus Satz 5.3 können wir nun die Tangentialebene in einem Punkt a an die Niveaufläche Nc von f wie folgt definieren. Definition Es sei U ⊂ Rn eine offene Menge, f : U → R eine differenzierbare Funktion. Es sei a ∈ U ein Punkt mit f(a) = c und grad f(a) �= 0. Dann ist die Tangentialebene in a an die Niveaufläche Nc von f durch die Gleichung definiert. ⎛ ⎜ grad f(a) · ⎝ x1 − a1 . . xn − an ⎞ ⎟ ⎠ = 0 Beispiel 5.3 Es sei f : R 2 → R eine differenzierbare Funktion. Den Graphen von f kann man als Niveaufläche N0 der Funktion F (x, y, z) = f(x, y) − z zum Wert 0 ansehen. Es gilt grad F (x, y, z) = � � ∂f ∂f (x, y), (x, y), −1 . ∂x ∂y Damit �lautet�die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen von f im x0 Punkt : also y0 ∂f ∂x (x0, y0)(x − x0) + ∂f ∂y (x0, y0)(y − y0) − z + f(x0, y0) = 0, z = f(x0, y0) + ∂f ∂x (x0, y0)(x − x0) + ∂f ∂y (x0, y0)(y − y0). Damit erhalten wir als Spezialfall die frühere Formel für die Tangentialebene an den Graphen einer Funktion in zwei Veränderlichen. Beispiel 5.4 Wir berechnen die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche 3xy +z 2 ⎛ = 4 im Punkt ⎝ 1 ⎞ 1 ⎠. Es ist f(x, y, z) = 3xy +z 1 2 und grad f(x, y, z) = ✷
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