5 Gradient und Richtungsableitung

5 Gradient und Richtungsableitung 24
5 Gradient und Richtungsableitung
Wir wollen nun die Methoden der Differentialrechnung auf die Untersuchung
der Graphen reellwertiger Funktionen anwenden.
Im folgenden sei U ⊂ R n eine offene Menge und f : U → R eine differenzierbare
Funktion. Es sei a ∈ U. Zur Definition der partiellen Ableitung haben wir
die partielle Funktion
t ↦→ f(a1, . . . , ai−1, ai + t, ai+1, . . . , an)
betrachtet. Diese Funktion kann auch so beschrieben werden:
t ↦→ f(a + tei).
Die Punktmenge {a + tei | t ∈ R} ist aber eine zur xi-Achse parallele Gerade
durch den Punkt a. Anstatt sich nun auf eine solche spezielle Gerade zu
beschränken, können wir auch eine allgemeine Gerade betrachten. Eine solche
Gerade wird durch die Punktmenge
{a + tv | t ∈ R}
gegeben. Dabei können wir annehmen, dass v ein Einheitsvektor ist, d.h. dass
�v� = 1 ist. Denn ist α eine beliebige positive reelle Zahl, so ist αv ein Vektor
mit derselben Richtung wie v, nur mit einer verschiedenen Länge, wenn α �= 1
ist. Der Vektor αv bestimmt also die gleiche gerichtete Gerade. Die Ableitung
der Funktion
t ↦→ f(a + tv)
an der Stelle t = 0 bezeichnen wir mit
�
d �
f(a + tv) �
dt
Definition Es sei U ⊂ Rn eine offene Menge, a ∈ U und f : U → R eine
Funktion. Dann ist die Richtungsableitung von f in a in Richtung eines Vektors
v mit �v� = 1 gegeben durch
�
d �
f(a + tv) �
dt
falls dieser Grenzwert existiert.
� t=0
= lim
h→0
� t=0
.
f(a + hv) − f(a)
,
h
Satz 5.1 Es sei U ⊂ R n eine offene Menge. Ist f : U → R differenzierbar,
so existieren alle Richtungsableitungen. Die Richtungsableitung in a ∈ U in
Richtung v ist gegeben durch
Df(a)v = grad f(a) · v = ∇f(a) · v
n�
� �
∂f
= (a) vi.
∂xi
i=1

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Beweis. Wir setzen γ(t) := a + tv. Dann gilt f(a + tv) = f(γ(t)). Nach dem
Spezialfall der Kettenregel (Korollar 4.1) gilt
�
d �
f(a + tv) � = (f ◦ γ)
dt ′ (0) = ∇f(γ(0)) · γ ′ (0) = ∇f(a) · v.
� t=0
Beispiel 5.1 Es sei f(x, y) = x 3 sin y + e x y 2 . Wir berechnen die Richtungs-
ableitung von f in Richtung des Einheitsvektors
�
v =
1√2
� �
1
in a =
0
Es gilt
Nach Satz 5.1 gilt
1√ 2
�
.
grad f(x) = (3x 2 sin y + e x y 2 , x 3 cos y + 2e x y).
�
d �
f(a + tv) �
dt
� t=0
= (0, 1) ·
� 1
√2
1
√ 2
�
= 1
√ 2 .
Satz 5.2 Es sei U ⊂ R n eine offene Menge, f : U → R eine differenzierbare
Funktion und a ∈ U. Angenommen, grad f(a) �= 0. Dann zeigt grad f(a) in die
Richtung des größten Anstiegs von f.
Beweis. Es sei v ein Vektor mit �v� = 1. Dann gilt für die Richtungsableitung
von f in a in Richtung v nach Satz 5.1
�
d �
f(a + tv) � = grad f(a) · v = � grad f(a)� cos θ,
dt
� t=0
wobei θ der Winkel zwischen v und grad f(a) ist. Diese Ableitung hat für θ = 0,
also wenn v und grad f(a) parallel sind, ein Maximum. ✷
Beispiel 5.2 Wir berechnen die Richtung des größten Anstiegs der Funktion
f(x, y) = x2 − y2 � �
1
im Punkt a = und die Steigung in dieser Richtung.
1
Der Gradient ist
grad f(x, y) = (2x, −2y).
Also gilt
grad f(1, 1) = (2, −2).
�
2
Aus Satz 5.2 folgt, dass f in der Richtung des Vektors
−2
�
am schnellsten
wächst. Es sei
�
grad f(1, 1) 1 1
v := = √
� grad f(1, 1)� 2 −1
�
.
Die Steigung im Punkt a beträgt
�
d �
f(a + tv) � = grad f(1, 1) · v = � grad f(1, 1)� = 2
dt √ 2.
� t=0
✷

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Satz 5.3 Es sei U ⊂ R n eine offene Menge, f : U → R eine differenzierbare
Funktion. Der Punkt a ∈ U liege auf der Niveaufläche Nc, die durch
f(x1, . . . , xn) = c, c konstant, definiert ist. Dann steht grad f(a) in folgendem
Sinne senkrecht auf der Niveaufläche: Ist v in t = 0 Tangentialvektor einer
Kurve γ(t) in Nc mit γ(0) = a, dann gilt
grad f(a) · v = 0.
Beweis. Dass γ(t) in Nc liegt, bedeutet, dass f(γ(t)) = c gilt. Also ist die
Funktion f ◦ γ konstant. Nach dem Spezialfall der Kettenregel (Korollar 4.1)
gilt
0 = d
dt f(γ(t))
�
�
� = grad f(γ(0)) · γ ′ (0) = grad f(a) · v.
� t=0
Als Folgerung aus Satz 5.3 können wir nun die Tangentialebene in einem
Punkt a an die Niveaufläche Nc von f wie folgt definieren.
Definition Es sei U ⊂ Rn eine offene Menge, f : U → R eine differenzierbare
Funktion. Es sei a ∈ U ein Punkt mit f(a) = c und grad f(a) �= 0. Dann ist die
Tangentialebene in a an die Niveaufläche Nc von f durch die Gleichung
definiert.
⎛
⎜
grad f(a) · ⎝
x1 − a1
.
.
xn − an
⎞
⎟
⎠ = 0
Beispiel 5.3 Es sei f : R 2 → R eine differenzierbare Funktion. Den Graphen
von f kann man als Niveaufläche N0 der Funktion F (x, y, z) = f(x, y) − z zum
Wert 0 ansehen. Es gilt
grad F (x, y, z) =
� �
∂f ∂f
(x, y), (x, y), −1 .
∂x ∂y
Damit �lautet�die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen von f im
x0
Punkt :
also
y0
∂f
∂x (x0, y0)(x − x0) + ∂f
∂y (x0, y0)(y − y0) − z + f(x0, y0) = 0,
z = f(x0, y0) + ∂f
∂x (x0, y0)(x − x0) + ∂f
∂y (x0, y0)(y − y0).
Damit erhalten wir als Spezialfall die frühere Formel für die Tangentialebene an
den Graphen einer Funktion in zwei Veränderlichen.
Beispiel 5.4 Wir berechnen die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche
3xy +z 2 ⎛
= 4 im Punkt ⎝ 1
⎞
1 ⎠. Es ist f(x, y, z) = 3xy +z
1
2 und grad f(x, y, z) =
✷

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(3y, 3x, 2z). Also gilt grad f(1, 1, 1) = (3, 3, 2). Die Gleichung der Tangentialebene
lautet daher
⎛
x − 1
(3, 3, 2) · ⎝ y − 1
z − 1
⎞
⎠ = 0,
also
3x + 3y + 2z = 8.