Beweis der Strahlensätze - Treminer.de
Beweis der Strahlensätze - Treminer.de
Beweis der Strahlensätze - Treminer.de
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
2006/2007 Mathematik Geometrie 9 Lehrtext<br />
<strong>Beweis</strong> <strong><strong>de</strong>r</strong> Strahlensätze<br />
<strong>Beweis</strong> <strong>de</strong>s ersten Strahlensatzes<br />
In diesem Abschnitt wer<strong>de</strong>n die zwei zentralen Sätze dieses Kapitels bewiesen. Wir starten mit<br />
<strong>de</strong>m ersten Strahlensatz, <strong><strong>de</strong>r</strong> zur Vollständigkeit an dieser Stelle wie<strong><strong>de</strong>r</strong>holt wird:<br />
Wird eine Gera<strong>de</strong>nkreuzung von zwei parallen Gera<strong>de</strong>n geschnitten,<br />
die nicht durch <strong>de</strong>n Schnittpunkt <strong><strong>de</strong>r</strong> Gerad<strong>de</strong>n verlaufen, dann<br />
gilt: Zwei Strecken auf <strong><strong>de</strong>r</strong> einen Kreuzungsgera<strong>de</strong>n verhalten sich<br />
genauso wie die entsprechen<strong>de</strong>n Strecken auf <strong><strong>de</strong>r</strong> an<strong><strong>de</strong>r</strong>en Kreuzungsgera<strong>de</strong>.<br />
Mit <strong>de</strong>n Bezeichnungen <strong><strong>de</strong>r</strong> folgen<strong>de</strong>n Figur müssen wir also zeigen:<br />
ZA<br />
= ZB<br />
ZA ′ ZB ′<br />
Die <strong>Beweis</strong>führung gelingt über <strong>de</strong>n Flächensatz 3, <strong><strong>de</strong>r</strong> die Aussage zum Inhalt hat, dass sich bei<br />
Dreiecken, die einen gemeinsamen Winkel haben die Flächen genauso verhalten wie die Produkte<br />
<strong><strong>de</strong>r</strong> Seiten, die <strong>de</strong>n gemeinsamen Winkel bil<strong>de</strong>n. Mit <strong>de</strong>n Bezeichnungen gilt einerseits:<br />
A ZAB<br />
A ZA ′ B ′<br />
=<br />
ZA · AB<br />
ZA ′ · A ′ B ′<br />
Diese Gleichung begrün<strong>de</strong>t sich auf die Tatsache, dass die bei<strong>de</strong>n Dreiecke <strong>de</strong>n Winkel β gemeinsam<br />
haben. Dieses Flächenverhältnis kann man aber noch auf eine an<strong><strong>de</strong>r</strong>e Art und Weise<br />
ausdrücken, weil die bei<strong>de</strong>n Dreiecke ja auch in <strong>de</strong>m Winkel µ übereinstimmen:<br />
A ZAB<br />
A ZA ′ B ′<br />
=<br />
ZB · AB<br />
ZB ′ · A ′ B ′<br />
c○ 2006–09–30 by Markus Baur using L A TEX Seite: 1
2006/2007 Mathematik Geometrie 9 Lehrtext<br />
Die bei<strong>de</strong>n Terme auf <strong><strong>de</strong>r</strong> rechten Seite müssen übereinstimmen, da ja das auf <strong><strong>de</strong>r</strong> linken Seite<br />
stehen<strong>de</strong> Flächenverhältnis i<strong>de</strong>ntisch ist, also gesamt:<br />
ZA · AB<br />
ZA ′ · A ′ B ′ =<br />
ZB · AB<br />
ZB ′ · A ′ B ′<br />
Man kann nun noch kürzen und erhält als En<strong><strong>de</strong>r</strong>gebnis:<br />
Damit ist <strong><strong>de</strong>r</strong> erste Strahlensatz nachgewiesen.<br />
ZA<br />
= ZB<br />
ZA ′ ZB ′<br />
<strong>Beweis</strong> <strong>de</strong>s zweiten Strahlensatzes<br />
Auch hier wird nochmals <strong><strong>de</strong>r</strong> zweite Strahlensatz wie<strong><strong>de</strong>r</strong>holt:<br />
Wird eine Gera<strong>de</strong>nkreuzung von parallelen Gera<strong>de</strong>n geschnitten,<br />
die nicht durch <strong>de</strong>n Schnittpunkt <strong><strong>de</strong>r</strong> Gera<strong>de</strong>n verlaufen, gilt: Die<br />
zwei parallelen Strecken verhalten sich wie die Entfernung entsprechen<strong><strong>de</strong>r</strong><br />
Begrenzungspunkte dieser parallelen Strecken von <strong>de</strong>m<br />
Kreuzungspunkt.<br />
Mit <strong>de</strong>n Bezeichnung in <strong><strong>de</strong>r</strong> nachstehen<strong>de</strong>n Figur ist <strong>de</strong>mnach folgen<strong>de</strong>s zu zeigen:<br />
ZA<br />
= AB<br />
ZA ′ A ′ B ′<br />
Der <strong>Beweis</strong> wird in analoger Weise wie <strong><strong>de</strong>r</strong> <strong>Beweis</strong> für <strong>de</strong>n ersten Strahlensatz über das Flächenverhältnisse<br />
von Dreiecken geführt, die in einem Winkel einstimmen: ∆ZAB und ∆ZA ′ B ′<br />
stimmen zum einen<br />
• in <strong>de</strong>m Winkel µ überein<br />
c○ 2006–09–30 by Markus Baur using L A TEX Seite: 2
2006/2007 Mathematik Geometrie 9 Lehrtext<br />
• in <strong>de</strong>n Winkel β, da wegen <strong><strong>de</strong>r</strong> Parallelenaxiome richtig ist: β = β ′<br />
Mit <strong>de</strong>m Satz über die Flächenverhältnisse kann man daher formulieren:<br />
A ZAB<br />
A ZA ′ B ′<br />
=<br />
ZA · ZB<br />
ZA ′ · ZB ′<br />
An<strong><strong>de</strong>r</strong>erseits gilt:<br />
A ZAB ZB · AB<br />
=<br />
A ZA ′ B ′ ZB ′ · A ′ B ′<br />
Diese bei<strong>de</strong>n Terme müssen sich nun entsprechen, woraus folgt:<br />
ZA · ZB<br />
ZA ′ · ZB ′ =<br />
ZB · AB<br />
ZB ′ · A ′ B ′<br />
Kürzt man die Brüche noch auf bei<strong>de</strong>n Seiten, dann erhält man:<br />
ZA<br />
= AB<br />
ZA ′ A ′ B ′<br />
Damit ist die Behauptung gezeigt und <strong><strong>de</strong>r</strong> zweite Teil <strong>de</strong>s Strahlensatzes nachgewiesen.<br />
c○ 2006–09–30 by Markus Baur using L A TEX Seite: 3