Sternentstehung: Hydrostatisches Gleichgewicht
Sternentstehung: Hydrostatisches Gleichgewicht
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<strong>Sternentstehung</strong>: <strong>Hydrostatisches</strong> <strong>Gleichgewicht</strong><br />
www.usm.uni-muenchen.de/people/burkert/lectures/sternentstehung/intro.html
Staub im molekularen Gas absorbiert das Licht der Sterne
Interstellarer Staub<br />
• Interstellarer Staub besteht aus Silikatkörnern und Ruß<br />
C, Si, O<br />
• Starke Absorption im sichtbaren und UV-Bereich<br />
• Wenig Absorption im Infrarot- und Radiobereich
Barnard 68<br />
Entfernung:<br />
Radius:<br />
Masse:<br />
Dichte:<br />
Temperatur:<br />
125 pc<br />
12500 AU<br />
2.1M ⊙<br />
1.5 ⋅10 − g cm<br />
−<br />
16 K<br />
19 3<br />
(Alves et al. 2001)<br />
Freie Fallzeit:<br />
n ≈ 10 cm −<br />
5 3<br />
1 1<br />
2 2<br />
7 6<br />
ρt=<br />
0<br />
⎝ H ⎠<br />
⎛ 3π ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />
τ<br />
ff<br />
= ⎜ = 4.3⋅ 10 Jahre ≈ 10 Jahre<br />
32 G<br />
⎟ ⎜<br />
n<br />
⎟<br />
⎝ ⎠
Die hydrodynamischen Gleichungen<br />
Kugelsymmetrie:<br />
∂ρ 1 ∂<br />
(<br />
2<br />
+ r ρ v )<br />
2<br />
r<br />
= 0<br />
∂t r ∂r<br />
∂ vr<br />
vr<br />
(<br />
2 1 P G M(r)<br />
+ ∂ r v )<br />
2 r<br />
= − ∂ −<br />
2<br />
∂t r ∂r ρ ∂r r<br />
<strong>Hydrostatisches</strong> <strong>Gleichgewicht</strong>:<br />
1 ∂ P G M(r)<br />
= −<br />
2<br />
ρ ∂r<br />
r
Die Bonnor-Ebert Sphäre<br />
<strong>Hydrostatisches</strong> <strong>Gleichgewicht</strong>:<br />
dP<br />
dr<br />
GM(r)<br />
= −ρ<br />
2<br />
r<br />
Schallgeschwindigkeit<br />
Isotherme Zustandsgleichung:<br />
ρ<br />
P = n R<br />
gT = R<br />
g<br />
T = ρ c<br />
µ<br />
2<br />
c<br />
1 dρ<br />
d ln ρ GM(r)<br />
= c = −<br />
2<br />
ρ dr dr r<br />
2 2<br />
dM = ρ ⋅ π<br />
2<br />
(r) 4 r dr<br />
d 2 d ln G dM G 2<br />
r<br />
ρ = − = − ⋅ 4 π r ρ<br />
2 2<br />
dr dr c dr c<br />
1 d 2 d ln ρ 4πG<br />
r = − ρ<br />
2 2<br />
r dr dr c
Ansatz:<br />
Die singuläre isotherme Sphäre<br />
1 d 2 d ln ρ 4πG<br />
r = − ρ<br />
2 2<br />
r dr dr c<br />
k<br />
ρ (r) =<br />
2 ln ρ = ln k − 2ln r<br />
r<br />
2 d 4πG k<br />
r =<br />
2 2 2<br />
r dr c r<br />
2<br />
c<br />
k =<br />
2 π G<br />
d ln ρ 2 = −<br />
dr r<br />
ρ (r) =<br />
2<br />
c 1<br />
2πG<br />
r<br />
2
Endliche Zentraldichte ρ c<br />
1 d 2 d ln ρ 4πG<br />
r = − ρ<br />
2 2<br />
r dr dr c<br />
Es sei:<br />
1 d ⎛ dΨ<br />
⎞<br />
1/ 2<br />
⎛ 4πGρc<br />
⎞<br />
c<br />
exp( ) ⎜ r<br />
2 ⎟<br />
ρ = ρ ⋅ −Ψ ξ =<br />
( )<br />
2<br />
ξ = exp −Ψ<br />
2<br />
ξ dξ ⎜<br />
dξ<br />
⎟<br />
⎝<br />
(Lane-Emden Gleichung)<br />
P<br />
• Der Druck<br />
fällt monoton nach außen ab.<br />
⎠<br />
= ρ⋅c<br />
• Rand der Wolke dort, wo<br />
innerer Druck = externer Druck:<br />
P = ρ( ξ ) ⋅ c = ρ ⋅c<br />
2 2<br />
0 max 0<br />
2<br />
⎝<br />
c<br />
⎠<br />
r<br />
max<br />
2<br />
1/ 2<br />
⎛ c ⎞<br />
= ξmax<br />
⋅ ⎜<br />
4πGρ<br />
⎟<br />
c<br />
⎝<br />
⎠
1/ 2<br />
⎛ 4πGρc<br />
⎞<br />
c<br />
exp( ) ⎜ r<br />
2 ⎟<br />
ρ = ρ ⋅ −Ψ , ξ =<br />
P = ρ( ξ ) ⋅ c = ρ ⋅c<br />
2 2<br />
0 max 0<br />
⎝<br />
c<br />
⎠<br />
Gegeben : P0<br />
P0<br />
un d c ρ<br />
0<br />
=<br />
2<br />
c<br />
Gegeben der Dichtekontrast:<br />
c<br />
ρc / ρ<br />
0 ξ(r)<br />
ρ<br />
Aus ( ξ ) folg t dann ρ(r)<br />
ρ<br />
• Unendliche Schar von Lösungen<br />
für gebenen externen Druck und c<br />
ρ<br />
/ ρ ≈ 20<br />
c 0<br />
• Isotherme Sphäre:<br />
ρc<br />
→ ∞
Die Masse der BE-Sphäre:<br />
ξ =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
4πGρ<br />
2<br />
c<br />
c<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
1/ 2<br />
r<br />
Mit<br />
3/ 2 ξmax<br />
2 ⎛ c ⎞<br />
∫<br />
−Ψ 2<br />
c ⎜<br />
4 G<br />
⎟ ∫<br />
π ρ<br />
0 c 0<br />
rmax<br />
2<br />
M = 4π ρ r dr = 4πρ e ξ dξ<br />
⎝ ⎠<br />
1 d ⎛ dΨ<br />
⎞<br />
( )<br />
2<br />
ξ = exp −Ψ<br />
2<br />
ξ dξ ⎜<br />
dξ<br />
⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
ρ = ρc ⋅exp( −Ψ )<br />
folgt:<br />
ξ<br />
max<br />
∫<br />
ξ<br />
ξ=ξ<br />
max<br />
2 2 2 2<br />
max<br />
−Ψ d ⎛ dΨ ⎞ ⎡ dΨ ⎤ ⎛ dΨ<br />
⎞<br />
e ξ dξ = ∫ ξ dξ = ξ = ξ<br />
dξ ⎜<br />
dξ ⎟ ⎢ dξ ⎥ ⎜<br />
dξ<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠<br />
0 0 ξ= 0<br />
ξ=ξ<br />
max<br />
P<br />
= ρ<br />
0 0<br />
c<br />
2<br />
1/ 2 3/ 2<br />
P0<br />
G M<br />
4<br />
c<br />
−1/<br />
2<br />
⎛ ρc<br />
⎞ ⎛ 2 dΨ<br />
⎞<br />
= ⎜ 4π ξ<br />
c 0<br />
ρ<br />
⎟ ⎜<br />
0<br />
dξ<br />
⎟ = ρ ρ<br />
⎝ ⎝ ⎠ξ<br />
⎠<br />
Dichte am äußeren Rand<br />
max<br />
f ( )
1/ 2 3/ 2<br />
P0<br />
G M<br />
4<br />
c<br />
−1/<br />
2<br />
⎛ ρc<br />
⎞ ⎛ 2 dΨ<br />
⎞<br />
= ⎜ 4π ξ<br />
c 0<br />
ρ<br />
⎟ ⎜<br />
0<br />
dξ<br />
⎟ = ρ ρ<br />
⎝ ⎝ ⎠ξ<br />
⎠<br />
max<br />
f ( )<br />
1/ 2 3/ 2<br />
P0<br />
G M<br />
4<br />
c<br />
Maximum<br />
• Maximum bei:<br />
ρ<br />
ξ<br />
c<br />
max,crit<br />
= =<br />
ρ0<br />
14.1<br />
instabiles Gebiet<br />
Gaswolken sind gravitativ instabil für:<br />
1.1c<br />
M ≥ P G<br />
4<br />
1/ 2 3/ 2<br />
0
Barnard 68<br />
Beobachtet:<br />
ξ<br />
max<br />
= 6.9<br />
Instabilität bei:<br />
ρc ρ<br />
0<br />
= 14.1 → ξ<br />
max<br />
= 6.5