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KAPITEL 3. GEOMETRISCH LINEARE PROBLEME<br />
3.7.2 Bewertung der Fehlerschätzung<br />
Die numerischen Beispiele zeigen, dass die zielorientierte Fehlerschätzung mit Hilfe des<br />
vollständigen dualen Problems zu einer recht guten Schätzung des Fehlers in der Zielgröße<br />
führt. Insbesondere berücksichtigt der Fehlerschätzer vollständig den Transport<br />
des Fehlers über die Zeit. Da für die Fehlerschätzung nur geringe vereinfachende Annahmen,<br />
wie etwa die Vernachlässigung der Dämpfungsterme bei der Bestimmung des<br />
Residuums, gemacht werden ist der Fehlerschätzer ohne Einschränkung auf verschiedene<br />
Problemklassen, wie Wellenausbreitungs- und Schwingungsprobleme, anwendbar.<br />
Dem stehen jedoch auch große Nachteile gegenüber. So muss einerseits sowohl die<br />
vollständige primale als auch die vollständige duale Lösung über den ges<strong>am</strong>ten Berechnungszeitraum<br />
vorgehalten werden, was zu einem großen Speicherbedarf auch bei<br />
moderaten Problemen führt. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn das duale Problem<br />
auf einer feineren Diskretisierung gelöst wird. Des Weiteren müssen für die Fehlerschätzung<br />
die Netztopologien von zwei unterschiedlichen Netzen vorgehalten werden,<br />
was den Speicherbedarf weiter erhöht. Darüber hinaus muss für die hier verwendeten<br />
Elemente mit angenommenen Verzerrungsverläufen der Einfluss des Konsistenzfehlers<br />
über die Auswertung der Arbeitsausdrücke auf einem Referenznetz berücksichtigt werden,<br />
was den Aufwand für die zielorientierte Fehlerschätzung im Vergleich zu reinen<br />
Verschiebungselementen zusätzlich erheblich erhöht. Ein weiterer Nachteil besteht darin,<br />
dass für jeden Zeitpunkt t n , für den der Fehler geschätzt werden soll, die vollständige<br />
zeitliche Kopplung von dualem und primalem Problem notwendig wird, was den<br />
Aufwand zur Bestimmung des primalen Problems bei weitem übersteigt. Die Fehlerschätzung<br />
verletzt d<strong>am</strong>it eindeutig die Forderung, numerisch effizienter zu sein, als<br />
die Lösung des primalen Problems auf einer feineren Diskretisierung und erscheint aus<br />
diesem Grund für die Anwendung bei Problemstellungen praktischer Größenordnung<br />
ungeeignet. Die numerischen Beispiele dienen folglich eher der Verifikation der Fehleridentitäten,<br />
als der tatsächlichen Fehlerschätzung. Die sinnvolle Einbindung des hier behandelten<br />
Fehlerschätzers in ein ortsadaptives Verfahren scheint ebenfalls fragwürdig,<br />
da der Fehler jeweils nur für den Endzeitpunkt der Berechnung bestimmt werden kann.<br />
Im Fachschrifttum wurde die zielorientierte Fehlerschätzung mit Hilfe des vollständigen<br />
Rückwärtsproblems im Rahmen der hier behandelten semidiskreten Methode in der<br />
Strukturdyn<strong>am</strong>ik deshalb bisher nicht zur Netzadaption verwendet. Die Ausführungen<br />
beschränken sich bisher auf die Fehlerschätzung zu gewissen Zeitpunkten. Der<br />
unverhältnismäßig große Aufwand der Fehlerschätzung dokumentiert sich auch darin,<br />
dass die numerischen Beispiele im Schrifttum eher kleine numerische Modelle mit einer<br />
Größenordnung von ca. 1000 Freiheitsgraden umfassen, siehe z.B. Maute [70] bzw.<br />
Fuentes, Littlefield, Oden & Prudhomme [35].<br />
In den nachfolgenden Abschnitten soll deshalb untersucht werden, inwieweit der Aufwand<br />
für die Fehlerschätzung durch geeignete Vereinfachungen auf ein für praktische<br />
Anwendungen sinnvolles Maß reduziert werden kann, und wie die Fehlerschätzung dann<br />
in ortsadaptive Verfahren eingebunden werden kann. Dabei wird das Ziel verfolgt, wesentliche<br />
Informationen des dualen Problems für die Fehlerschätzung bzw. die Netzadaption<br />
zu verwenden, ohne die vollständigen Fehleridentitäten numerisch auszuwerten.<br />
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