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KAPITEL 3. GEOMETRISCH LINEARE PROBLEME
3.7.2 Bewertung der Fehlerschätzung
Die numerischen Beispiele zeigen, dass die zielorientierte Fehlerschätzung mit Hilfe des
vollständigen dualen Problems zu einer recht guten Schätzung des Fehlers in der Zielgröße
führt. Insbesondere berücksichtigt der Fehlerschätzer vollständig den Transport
des Fehlers über die Zeit. Da für die Fehlerschätzung nur geringe vereinfachende Annahmen,
wie etwa die Vernachlässigung der Dämpfungsterme bei der Bestimmung des
Residuums, gemacht werden ist der Fehlerschätzer ohne Einschränkung auf verschiedene
Problemklassen, wie Wellenausbreitungs- und Schwingungsprobleme, anwendbar.
Dem stehen jedoch auch große Nachteile gegenüber. So muss einerseits sowohl die
vollständige primale als auch die vollständige duale Lösung über den gesamten Berechnungszeitraum
vorgehalten werden, was zu einem großen Speicherbedarf auch bei
moderaten Problemen führt. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn das duale Problem
auf einer feineren Diskretisierung gelöst wird. Des Weiteren müssen für die Fehlerschätzung
die Netztopologien von zwei unterschiedlichen Netzen vorgehalten werden,
was den Speicherbedarf weiter erhöht. Darüber hinaus muss für die hier verwendeten
Elemente mit angenommenen Verzerrungsverläufen der Einfluss des Konsistenzfehlers
über die Auswertung der Arbeitsausdrücke auf einem Referenznetz berücksichtigt werden,
was den Aufwand für die zielorientierte Fehlerschätzung im Vergleich zu reinen
Verschiebungselementen zusätzlich erheblich erhöht. Ein weiterer Nachteil besteht darin,
dass für jeden Zeitpunkt t n , für den der Fehler geschätzt werden soll, die vollständige
zeitliche Kopplung von dualem und primalem Problem notwendig wird, was den
Aufwand zur Bestimmung des primalen Problems bei weitem übersteigt. Die Fehlerschätzung
verletzt damit eindeutig die Forderung, numerisch effizienter zu sein, als
die Lösung des primalen Problems auf einer feineren Diskretisierung und erscheint aus
diesem Grund für die Anwendung bei Problemstellungen praktischer Größenordnung
ungeeignet. Die numerischen Beispiele dienen folglich eher der Verifikation der Fehleridentitäten,
als der tatsächlichen Fehlerschätzung. Die sinnvolle Einbindung des hier behandelten
Fehlerschätzers in ein ortsadaptives Verfahren scheint ebenfalls fragwürdig,
da der Fehler jeweils nur für den Endzeitpunkt der Berechnung bestimmt werden kann.
Im Fachschrifttum wurde die zielorientierte Fehlerschätzung mit Hilfe des vollständigen
Rückwärtsproblems im Rahmen der hier behandelten semidiskreten Methode in der
Strukturdynamik deshalb bisher nicht zur Netzadaption verwendet. Die Ausführungen
beschränken sich bisher auf die Fehlerschätzung zu gewissen Zeitpunkten. Der
unverhältnismäßig große Aufwand der Fehlerschätzung dokumentiert sich auch darin,
dass die numerischen Beispiele im Schrifttum eher kleine numerische Modelle mit einer
Größenordnung von ca. 1000 Freiheitsgraden umfassen, siehe z.B. Maute [70] bzw.
Fuentes, Littlefield, Oden & Prudhomme [35].
In den nachfolgenden Abschnitten soll deshalb untersucht werden, inwieweit der Aufwand
für die Fehlerschätzung durch geeignete Vereinfachungen auf ein für praktische
Anwendungen sinnvolles Maß reduziert werden kann, und wie die Fehlerschätzung dann
in ortsadaptive Verfahren eingebunden werden kann. Dabei wird das Ziel verfolgt, wesentliche
Informationen des dualen Problems für die Fehlerschätzung bzw. die Netzadaption
zu verwenden, ohne die vollständigen Fehleridentitäten numerisch auszuwerten.
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