dh+1 - am IFM

3.7. FEHLERSCHÄTZUNG MIT VOLLSTÄNDIGER LÖSUNG DES RÜCKWÄRTSPROBLEMS
mente mit angenommenen Verzerrungen folgende Fehlerdarstellung:
E(u,u h ) =
=
∫ t n
0
∫ t n
F u (z) − ρ 0 (ü h ,z) B0 − a h (u h ,z) + a h (u h ,z) − a(u h ,z)dt (3.40)
F u (z) − ρ 0 (ü h ,z) B0 − a(u h ,z)dt
0
Im Sinne der numerischen Effizienz wäre die Lösung des dualen Problems auf dem
Netz der primalen Lösung wünschenswert. Aufgrund der Orthogonalitätsbedingung
(3.26) ist z h jedoch als Wichtungsfunktion zur Schätzung des Approximationsfehlers
nicht zulässig, es wird also eine bessere Approximation des dualen Problems notwendig.
Hierfür werden im Schrifttum verschiedene Strategien verfolgt, siehe z.B. Oden et al.
[80]:
a) Berechnung des dualen Problems auf dem Netz des primalen Problems, jedoch
mit einer höheren Interpolationsordnung. Beispielsweise verwenden Bangerth
& Rannacher [8] für die Fehlerschätzung bei der Diskretisierung der Wellengleichung
für das primale Problem eine bilineare und für das duale Problem eine
biquadratische Interpolationsordnung.
b) Berechnung des dualen Problems mit der gleichen Interpolationsordnung auf einem
hierarchisch verfeinerten Netz, mit einer Netzweite H < h.
c) Berechnung der dualen Lösung auf einem für das duale Problem angepassten
Netz. Diese Möglichkeit trägt der Tatsache Rechnung, dass das duale Problem
als Einflussfunktion oft einen sehr lokalisierten Charakter hat. Die größte Schwierigkeit
bei diesem Vorgehen ist die Auswertung von Arbeitsausdrücken auf verschiedenen,
nicht notwendigerweise hierarchischen Netzen. Beispielsweise geben
Rüter et al. [103] ein allgemeines Vorgehen zur Fehlerschätzung bei der Verwendung
von vollständig unterschiedlichen Netzen für das duale und primale
Problem an. Dort werden ebene Probleme mit dreiknotigen finiten Elementen
betrachtet, was Vorteile bei der Implementierung der dann notwendigen Suchalgorithmen
mit sich bringt. Für die hier betrachteten Schalenelemente mit angenommenen
Verzerrungsverläufen sind bei diesem Vorgehen zusätzliche Schwierigkeiten
infolge des Konsistenzfehlers zu erwarten, da dieser nur über den Übergang
zu einer höherordrigen oder feineren Diskretisierung abgeschätzt werden kann.
d) Berechnung des dualen Problems mit dem Netz des primalen Problems und anschließende
Interpolation höherer Ordnung oder Glättung der diskreten Lösung.
Dieser Ansatz wird z.B. von Diez & Calderon [27] für die Fehlerschätzung für
transiente parabolische Probleme verwendet.
e) Berechnung des dualen Problems mit dem Netz des primalen Problems und
anschließende räumliche Erweiterung auf Elementpatches. Dieser Ansatz wurde
77