dh+1 - am IFM

KAPITEL 3. GEOMETRISCH LINEARE PROBLEME
ergibt sich für den dämpfungsfreien Fall dann die zu (2.31) äquivalente 1. Fehleridentität
E(u,u h ) = [ρ 0 (ė S ,z) B0 − ρ 0 (e S ,ż) B0 ] 0
+ R u (z) + R k (z)dt (3.30)
∫ t n
0
∫ t n
= [ρ 0 (z,ė S ) B0 − ρ 0 (ż,e S ) B0 ] tn + F z (e S )dt,
0
welche als Basis für die Fehlerschätzung mit Hilfe der vollständigen numerischen Lösung
des dualen Problems in Abschnitt 3.7 dient. Die hier gemachten Modifikationen der 1.
Fehleridentität lassen sich in analoger Weise auf die 2. Fehleridentität (2.34) übertragen.
Die Bedeutung der Zerlegung des räumlichen Diskretisierungsfehlers in
Approximations- und Konsistenzfehler erschließt sich nun bei Betrachtung der
modifizierten Fehleridentität (3.30). Aus der Orthogonalitätsbedingung (3.26) und
Gleichung (3.28) folgt, dass bei der Verwendung der diskreten dualen Lösung z h ∈ W h
nur der Anteil des Konsistenzfehlers an der Zielfehlergröße geschätzt werden kann. Für
die Schätzung des Approximationsfehlers ist z h als Testfunktion jedoch ungeeignet.
Darstellung mit Hilfe des modifizierten Variationsproblems
Alternativ zu Gleichung (3.20) lässt sich die schwache Form des Residuums auch wie
folgt modifizieren:
R u (w) = ρ 0 (ü,w) B0 + a(u,w) − ρ 0 (ü h ,w) B0 − a h (u h ,w) (3.31)
= ρ 0 (ü,w) B0 − ρ 0 (ü h ,w) B0 + a h (u,w) − a h (u h ,w)
+a(u,w) − a h (u,w)
} {{ }
−R k (w)
Im Gegensatz zu Gleichung (3.20) steckt hier im Konsistenzterm R k (w) die unbekannte
Lösung u. Die variationelle Form der Differentialgleichung des räumlichen Diskretisierungsfehlers
lässt sich dann mit Hilfe des modifizierten Variationsproblems wie folgt
ausdrücken:
ρ 0 (ë S ,w) B0 + a h (e S ,w) = R u (w) + R k (w) ∀w ∈ W (3.32)
Für die Aufspaltung des gesamten räumlichen Diskretisierungsfehlers in Konsistenzund
Approximationsfehler, wird jetzt dem Gleichgewichtsresiduum R u (w) der Approximationsfehler
gemäß
ρ 0 (ë a ,w) B0 + a h (e a ,w) = R u (w) ∀w ∈ W (3.33)
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