dh+1 - am IFM
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KAPITEL 3. GEOMETRISCH LINEARE PROBLEME<br />
und die diskrete Lösung bestimmt sich aus<br />
ρ 0 (ü h ,w h ) B0 + a h (u h ,w h ) = F u (w h ) ∀w h ∈ W h . (3.18)<br />
Da beim diskreten Problem eine netzabhängige Bilinearform a h (·, ·) verwendet wird,<br />
erfüllt hier die exakte Lösung im Gegensatz zum klassischen Galerkinverfahren nicht<br />
das diskrete Variationsproblem:<br />
ρ 0 (ü,w h ) B0 + a h (u,w h ) ≠ F u (w h ) ∀w h ∈ W h , (3.19)<br />
d.h. die exakte Lösung und das diskrete Problem sind nicht konsistent. Die Herleitung<br />
der schwachen Form der Differentialgleichung des räumlichen Diskretisierungsfehlers,<br />
welche die Grundlage der Fehleridentitäten in Kapitel 2 darstellt, muss folglich<br />
gegenüber dem Vorgehen für reine Verschiebungselemente modifiziert werden. Die<br />
schwache Form der Differentialgleichung des räumlichen Diskretisierungsfehlers kann<br />
dabei entweder mit Hilfe des unmodifizierten Variationsproblems oder mit Hilfe der<br />
modifizierten Bilinearform a h (·, ·) dargestellt werden.<br />
Daraus ergeben sich wiederum verschiedene Modifikationen der Fehleridentitäten. Welche<br />
der Fehlerdarstellungen letztlich verwendet wird, hängt dann wiederum von der Art<br />
des daraus abgeleiteten Fehlerschätzers ab. Nachfolgend werden beide Möglichkeiten<br />
behandelt.<br />
Darstellung mit Hilfe des unmodifizierten Variationsproblems<br />
Ausgangspunkt für die Herleitung der räumlich schwachen Form des Diskretisierungsfehlers<br />
ist wiederum die gewichtete Form des Residuums, welche sich wie folgt modifizieren<br />
lässt:<br />
R u (w) = ρ 0 (ü,w) B0 + a(u,w) − ρ 0 (ü h ,w) B0 − a h (u h ,w) (3.20)<br />
= ρ 0 (ü,w) B0 − ρ 0 (ü h ,w) B0 + a(u,w) − a(u h ,w)<br />
+a(u h ,w) − a h (u h ,w)<br />
} {{ }<br />
−R k (w)<br />
Hierin bezeichnet R k (w) den Anteil des Residuums, welcher sich aus dem Übergang von<br />
der Bilinearform a(·, ·) zu a h (·, ·) ergibt. Die variationelle Form der Differentialgleichung<br />
des räumlichen Diskretisierungsfehlers für Elemente mit angenommenen Verzerrungen<br />
lautet d<strong>am</strong>it:<br />
ρ 0 (ë S ,w) B0 + a(e S ,w) = R u (w) + R k (w) ∀w ∈ W (3.21)<br />
Die rechte Seite der Differentialgleichung ist folglich noch um den Konsistenzanteil<br />
R k (w) erweitert. Aus R k (w h ) ≠ 0 folgt, dass im Gegensatz zu einem Galerkinverfahren<br />
der räumliche Diskretisierungsfehler nicht mehr orthogonal zum diskreten Ansatzraum<br />
ist, d.h.<br />
ρ 0 (ë S ,w h ) B0 + a(e S ,w h ) ≠ 0 ∀w h ∈ W h . (3.22)<br />
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