dh+1 - am IFM

KAPITEL 3. GEOMETRISCH LINEARE PROBLEME
und die diskrete Lösung bestimmt sich aus
ρ 0 (ü h ,w h ) B0 + a h (u h ,w h ) = F u (w h ) ∀w h ∈ W h . (3.18)
Da beim diskreten Problem eine netzabhängige Bilinearform a h (·, ·) verwendet wird,
erfüllt hier die exakte Lösung im Gegensatz zum klassischen Galerkinverfahren nicht
das diskrete Variationsproblem:
ρ 0 (ü,w h ) B0 + a h (u,w h ) ≠ F u (w h ) ∀w h ∈ W h , (3.19)
d.h. die exakte Lösung und das diskrete Problem sind nicht konsistent. Die Herleitung
der schwachen Form der Differentialgleichung des räumlichen Diskretisierungsfehlers,
welche die Grundlage der Fehleridentitäten in Kapitel 2 darstellt, muss folglich
gegenüber dem Vorgehen für reine Verschiebungselemente modifiziert werden. Die
schwache Form der Differentialgleichung des räumlichen Diskretisierungsfehlers kann
dabei entweder mit Hilfe des unmodifizierten Variationsproblems oder mit Hilfe der
modifizierten Bilinearform a h (·, ·) dargestellt werden.
Daraus ergeben sich wiederum verschiedene Modifikationen der Fehleridentitäten. Welche
der Fehlerdarstellungen letztlich verwendet wird, hängt dann wiederum von der Art
des daraus abgeleiteten Fehlerschätzers ab. Nachfolgend werden beide Möglichkeiten
behandelt.
Darstellung mit Hilfe des unmodifizierten Variationsproblems
Ausgangspunkt für die Herleitung der räumlich schwachen Form des Diskretisierungsfehlers
ist wiederum die gewichtete Form des Residuums, welche sich wie folgt modifizieren
lässt:
R u (w) = ρ 0 (ü,w) B0 + a(u,w) − ρ 0 (ü h ,w) B0 − a h (u h ,w) (3.20)
= ρ 0 (ü,w) B0 − ρ 0 (ü h ,w) B0 + a(u,w) − a(u h ,w)
+a(u h ,w) − a h (u h ,w)
} {{ }
−R k (w)
Hierin bezeichnet R k (w) den Anteil des Residuums, welcher sich aus dem Übergang von
der Bilinearform a(·, ·) zu a h (·, ·) ergibt. Die variationelle Form der Differentialgleichung
des räumlichen Diskretisierungsfehlers für Elemente mit angenommenen Verzerrungen
lautet damit:
ρ 0 (ë S ,w) B0 + a(e S ,w) = R u (w) + R k (w) ∀w ∈ W (3.21)
Die rechte Seite der Differentialgleichung ist folglich noch um den Konsistenzanteil
R k (w) erweitert. Aus R k (w h ) ≠ 0 folgt, dass im Gegensatz zu einem Galerkinverfahren
der räumliche Diskretisierungsfehler nicht mehr orthogonal zum diskreten Ansatzraum
ist, d.h.
ρ 0 (ë S ,w h ) B0 + a(e S ,w h ) ≠ 0 ∀w h ∈ W h . (3.22)
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