dh+1 - am IFM

3.4. FEHLERSCHÄTZUNG IN GLOBALEN NORMEN
3.4 Fehlerschätzung in globalen Normen
Die klassischen Ansätze zur Schätzung des räumlichen Diskretisierungsfehlers greifen
auf globale Normen der Lösung, wie die L 2 -Norm und die Energienorm zurück. Riccius
[98] und Zeng & Wiberg [118, 119] spalten hierfür den Fehler zum Zeitpunkt t n in
den Fehler in der kinetischen Energie und in der Verzerrungsenergie auf. Der Fehler in
der Gesamtenergienorm lautet dann:
||e S || E = (||e S || 2 a + ρ 0 ||ė S || 2 L 2
) 1/2 , (3.5)
mit der Verzerrungsenergienorm
||e S || a = √ a(e S ,e S ) (3.6)
und der L 2 -Norm des Fehlers in den Geschwindigkeiten
||e S || L2 = √ (e S ,e S ). (3.7)
Es sei an dieser Stelle angemerkt, dass die nachfolgenden Fehlerschätzer lediglich den
Zustand zum Zeitpunkt t n betrachten. Der Phasenfehler infolge der räumlichen Diskretisierung
wird folglich nicht erfasst.
Da einige der nachfolgend behandelten Zielgrößen-orientierten Fehlerschätzer auf Fehlerschätzer
in globalen Normen zurückgreifen, sollen diese klassischen Fehlerschätzer
hier kurz erläutert werden.
3.4.1 Schätzung des Fehlers in der Verzerrungsenergienorm
Für die Schätzung der Verzerrungsenergienorm des Fehlers wird im Nachfolgenden der
Fehlerschätzer nach Zienkiewicz & Zhu [122, 123, 124] verwendet, welcher auf dem
sogenannten Superconvergent-Patch-Recovery-Konzept (SPR) beruht. Bei linear elastischem
Materialverhalten lässt sich die Energienorm des räumlichen Diskretisierungsfehlers
über die Differenz der exakten Spannungen σ und der diskreten Spannungen
σ h angeben:
∫
||e S || a = (σ − σ h ) : C −1 : (σ − σ h )dV (3.8)
B 0
Im Gegensatz zum exakten Spannungsverlauf sind die diskreten Spannungen aufgrund
der C 0 -Stetigkeit der Verschiebungsinterpolation in der Regel über die Elementgrenzen
hinweg unstetig. Der Grundgedanke des Zienkiewicz-Zhu-Fehlerschätzers beruht
darauf, die exakten Spannungen durch einen C 0 -stetigen Spannungsverlauf σ ∗ zu approximieren:
∫
||e S || a ≈ (σ ∗ − σ h ) : C −1 : (σ ∗ − σ h )dV (3.9)
B 0
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