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3.4. FEHLERSCHÄTZUNG IN GLOBALEN NORMEN<br />
3.4 Fehlerschätzung in globalen Normen<br />
Die klassischen Ansätze zur Schätzung des räumlichen Diskretisierungsfehlers greifen<br />
auf globale Normen der Lösung, wie die L 2 -Norm und die Energienorm zurück. Riccius<br />
[98] und Zeng & Wiberg [118, 119] spalten hierfür den Fehler zum Zeitpunkt t n in<br />
den Fehler in der kinetischen Energie und in der Verzerrungsenergie auf. Der Fehler in<br />
der Ges<strong>am</strong>tenergienorm lautet dann:<br />
||e S || E = (||e S || 2 a + ρ 0 ||ė S || 2 L 2<br />
) 1/2 , (3.5)<br />
mit der Verzerrungsenergienorm<br />
||e S || a = √ a(e S ,e S ) (3.6)<br />
und der L 2 -Norm des Fehlers in den Geschwindigkeiten<br />
||e S || L2 = √ (e S ,e S ). (3.7)<br />
Es sei an dieser Stelle angemerkt, dass die nachfolgenden Fehlerschätzer lediglich den<br />
Zustand zum Zeitpunkt t n betrachten. Der Phasenfehler infolge der räumlichen Diskretisierung<br />
wird folglich nicht erfasst.<br />
Da einige der nachfolgend behandelten Zielgrößen-orientierten Fehlerschätzer auf Fehlerschätzer<br />
in globalen Normen zurückgreifen, sollen diese klassischen Fehlerschätzer<br />
hier kurz erläutert werden.<br />
3.4.1 Schätzung des Fehlers in der Verzerrungsenergienorm<br />
Für die Schätzung der Verzerrungsenergienorm des Fehlers wird im Nachfolgenden der<br />
Fehlerschätzer nach Zienkiewicz & Zhu [122, 123, 124] verwendet, welcher auf dem<br />
sogenannten Superconvergent-Patch-Recovery-Konzept (SPR) beruht. Bei linear elastischem<br />
Materialverhalten lässt sich die Energienorm des räumlichen Diskretisierungsfehlers<br />
über die Differenz der exakten Spannungen σ und der diskreten Spannungen<br />
σ h angeben:<br />
∫<br />
||e S || a = (σ − σ h ) : C −1 : (σ − σ h )dV (3.8)<br />
B 0<br />
Im Gegensatz zum exakten Spannungsverlauf sind die diskreten Spannungen aufgrund<br />
der C 0 -Stetigkeit der Verschiebungsinterpolation in der Regel über die Elementgrenzen<br />
hinweg unstetig. Der Grundgedanke des Zienkiewicz-Zhu-Fehlerschätzers beruht<br />
darauf, die exakten Spannungen durch einen C 0 -stetigen Spannungsverlauf σ ∗ zu approximieren:<br />
∫<br />
||e S || a ≈ (σ ∗ − σ h ) : C −1 : (σ ∗ − σ h )dV (3.9)<br />
B 0<br />
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