dh+1 - am IFM

3.2. KLASSIFIZIERUNG DES LÖSUNGSVERHALTENS DER BEWEGUNGSGLEICHUNG
Unter einer Schwingung versteht man im strengen Sinne eine periodische Bewegung
eines Systems um eine ortsfeste Ruhelage. Die klassischen Lösungsansätze für Schwingungsprobleme
beruhen deshalb i.d.R. auf der sogenannten Modenüberlagerung. Hierbei
wird für die Lösung der Bewegungsgleichung eine Trennung der Veränderlichen in
der Form
∞∑
u(x,t) = ū i (x) · f i (t) (3.1)
i=1
durchgeführt. Hierin ist ū i (x) die i−te Eigenform des kontinuierlichen ungedämpften
Eigenschwingungsproblems
divσ(ū) + ρω 2 ū = 0 (3.2)
und f i (t) deren zeitliche Antwort im vorliegenden Problem. Für eine spezielle Eigenform
i unterliegt jeder Punkt x demselben Zeitgesetz f i (t). Bei typischen Schwingungsproblemen
ist insbesondere für die Abbildung des Langzeitverhaltens nur eine stark begrenzte
Anzahl von Eigenformen notwendig. Eine Schwingung hat folglich einen räumlich
globalen Charakter und die zeitliche Änderung des Bewegungszustandes ist von untergeordneter
Bedeutung. Schwingungsprobleme in der Mechanik beschränken sich in
aller Regel auf den unteren Frequenzbereich. Typische technische Problemstellungen,
bei denen Schwingungen eine große Rolle spielen, sind unter anderem:
• periodische Anregungen von Strukturen z.B. durch Maschinen oder
• Schwingungen von Bauwerken in Folge von Wind- oder Verkehrslasten.
Die Wellenausbreitung hingegen bezeichnet die räumliche Ausbreitung eines Schwingungszustandes
über das Gebiet. Im Gegensatz zur Schwingung wird hier also Energie
über das Gebiet transportiert und die zeitliche Änderung des Bewegungszustandes ist
ein wesentliches Merkmal dieses Lösungstyps. Auch hier kann eine Lösung mit dem
globalen Ansatz (3.1) gefunden werden, jedoch sind im Gegensatz zu Schwingungsproblemen
sehr viele Eigenformen notwendig, um die Lösung des Wellenausbreitungsproblems
abzubilden. Dies liegt im Wesentlichen am stark lokalen Charakter des Wellenausbreitungsproblems,
bei dem i.d.R. große Teile des Berechnungsgebiet unverformt
sind und die Lösung auf einen kleinen Teil beschränkt bleibt. Für Probleme mit Dämpfung
bleibt dieser lokale Charakter der Wellenfront jedoch bei Langzeitberechnungen
nicht erhalten, da die höherfrequenten Lösungsanteile stärker gedämpft werden, als
die niederfrequenten Anteile. Die Wellenausbreitung ist deshalb ein typische Phänomen
der Kurzzeitdynamik. Technische Probleme, bei denen die Wellenausbreitung von
Bedeutung ist, sind z.B.:
• Stoßkontakte, z.B. bei Fahrzeuganprall auf Strukturen oder
• schlagartige Änderungen der Randbedingungen beim Abbruchsprengen.
Die weiteren Betrachtungen im Rahmen dieser Arbeit zielen im Wesentlichen auf die
effiziente Lösung von Schwingungsproblemen ab.
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