dh+1 - am IFM

2.5. ZIELORIENTIERTE FEHLERSCHÄTZUNG UND REZIPROZITÄTSTHEOREME DER ELASTODYNAMIK
t1( x, t)
t2( x, t)
u ( x, t)
1
b ( x, t)=
0
1
Reziprozität
u2( x, t)
b2( x, t)=
0
u1( x, 0)=
0
u
.
( x, 0)=
0
1
∫
t 1 (x,t n ) ∗ u 2 (x,t n )dA = ∫
∂B 0
u2( x, 0)=
0
u
.
( x, 0)=
0
∂B 0
t 2 (x,t n ) ∗ u 1 (x,t n )dA
Bild 2.2: Reziprozität zweier elastodynamischer Zustände nach Graffi für den Zeitpunkt
t n bezüglich des Faltungsproduktes, hier vereinfacht dargestellt für homogene
Anfangsbedingungen und ohne Volumenlasten
2
unter der Last ˜D(x,t), dann folgt aus Gleichung (2.78):
∫
R(x,t n ) ∗ ˜z(x,t n )dV +
B
∫
0
= ˜D(x,t) ∗ es (x,t n )dV +
B 0
∫
ρ 0 e S (x, 0)˙˜z(x,t n ) + ρ 0 ė S (x, 0)˜z(x,t n )dV (2.80)
B
∫
0
ρ 0˜z(x, 0)ė S (x,t n ) + ρ 0˙˜z 2 (x, 0)e S (x,t n )dV
B 0
∀t n > 0
Für e S (0) = ė S (0) = 0 und ˜z(0) = ˙˜z(0) = 0 reduziert sich (2.80) auf
∫
∫
R(x,t n ) ∗ ˜z(x,t n )dV = ˜D(x,t) ∗ es (x,t n )dV, (2.81)
B 0 B 0
d.h. die Faltung des Residuums des primalen Problems mit den Verschiebungen des
dualen Problems ist gleich der Faltung des räumlichen Diskretisierungsfehlers mit der
Belastung des dualen Problems.
Um den Zusammenhang zwischen der Fehlerdarstellung und dem hier gegebenen Reziprozitätstheorem
endgültig darzulegen, muss weiterhin berücksichtigt werden, dass in
den Gleichungen (2.78) und (2.80) die Anfangsbedingungen für jeweils beide Zustände
zum Zeitpunkt t = 0 gegeben sind. Führt man für das duale Problem z die Zeitachse
τ = t n − t ein und definiert die Anfangsbedingungen für z zum Zeitpunkt τ = 0, dann
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