dh+1 - am IFM
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2.5. ZIELORIENTIERTE FEHLERSCHÄTZUNG UND REZIPROZITÄTSTHEOREME DER ELASTODYNAMIK<br />
t1( x, t)<br />
t2( x, t)<br />
u ( x, t)<br />
1<br />
b ( x, t)=<br />
0<br />
1<br />
Reziprozität<br />
u2( x, t)<br />
b2( x, t)=<br />
0<br />
u1( x, 0)=<br />
0<br />
u<br />
.<br />
( x, 0)=<br />
0<br />
1<br />
∫<br />
t 1 (x,t n ) ∗ u 2 (x,t n )dA = ∫<br />
∂B 0<br />
u2( x, 0)=<br />
0<br />
u<br />
.<br />
( x, 0)=<br />
0<br />
∂B 0<br />
t 2 (x,t n ) ∗ u 1 (x,t n )dA<br />
Bild 2.2: Reziprozität zweier elastodyn<strong>am</strong>ischer Zustände nach Graffi für den Zeitpunkt<br />
t n bezüglich des Faltungsproduktes, hier vereinfacht dargestellt für homogene<br />
Anfangsbedingungen und ohne Volumenlasten<br />
2<br />
unter der Last ˜D(x,t), dann folgt aus Gleichung (2.78):<br />
∫<br />
R(x,t n ) ∗ ˜z(x,t n )dV +<br />
B<br />
∫<br />
0<br />
= ˜D(x,t) ∗ es (x,t n )dV +<br />
B 0<br />
∫<br />
ρ 0 e S (x, 0)˙˜z(x,t n ) + ρ 0 ė S (x, 0)˜z(x,t n )dV (2.80)<br />
B<br />
∫<br />
0<br />
ρ 0˜z(x, 0)ė S (x,t n ) + ρ 0˙˜z 2 (x, 0)e S (x,t n )dV<br />
B 0<br />
∀t n > 0<br />
Für e S (0) = ė S (0) = 0 und ˜z(0) = ˙˜z(0) = 0 reduziert sich (2.80) auf<br />
∫<br />
∫<br />
R(x,t n ) ∗ ˜z(x,t n )dV = ˜D(x,t) ∗ es (x,t n )dV, (2.81)<br />
B 0 B 0<br />
d.h. die Faltung des Residuums des primalen Problems mit den Verschiebungen des<br />
dualen Problems ist gleich der Faltung des räumlichen Diskretisierungsfehlers mit der<br />
Belastung des dualen Problems.<br />
Um den Zus<strong>am</strong>menhang zwischen der Fehlerdarstellung und dem hier gegebenen Reziprozitätstheorem<br />
endgültig darzulegen, muss weiterhin berücksichtigt werden, dass in<br />
den Gleichungen (2.78) und (2.80) die Anfangsbedingungen für jeweils beide Zustände<br />
zum Zeitpunkt t = 0 gegeben sind. Führt man für das duale Problem z die Zeitachse<br />
τ = t n − t ein und definiert die Anfangsbedingungen für z zum Zeitpunkt τ = 0, dann<br />
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