dh+1 - am IFM
dh+1 - am IFM
dh+1 - am IFM
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
KAPITEL 2. DER RÄUMLICHE DISKRETISIERUNGSFEHLER<br />
Die Anwendung des Faltungstheorems auf Gleichung (2.77) führt schließlich auf folgendes<br />
Reziprozitätstheorem der beiden Zustände u 1 (x,t) und u 2 (x,t) im Zeitbereich<br />
bezüglich des Faltungsproduktes, welches auch als Graffi-Theorem bezeichnet wird,<br />
siehe z.B. Achenbach [1]:<br />
∫<br />
t 1 (x,t n ) ∗ u 2 (x,t n )dA +<br />
∂B<br />
∫<br />
0<br />
+ ρ 0 u 1 (x, 0) ˙u 2 (x,t n )dV +<br />
B<br />
∫<br />
0<br />
= t 2 (x,t n ) ∗ u 1 (x,t n )dA +<br />
∂B<br />
∫<br />
0<br />
+ ρ 0 u 2 (x, 0) ˙u 1 (x,t n )dV +<br />
B 0<br />
∫<br />
ρ 0 b 1 (x,t n ) ∗ u 2 (x,t n )dV (2.78)<br />
B<br />
∫<br />
0<br />
ρ 0 ˙u 1 (x, 0)u 2 (x,t n )dV<br />
B<br />
∫<br />
0<br />
ρ 0 b 2 (x,t n ) ∗ u 1 (x,t n )dV<br />
B<br />
∫<br />
0<br />
ρ 0 ˙u 2 (x, 0)u 1 (x,t n )dV ∀t n > 0<br />
B 0<br />
Hierin ist das Faltungsprodukt zweier Funktionen in der Zeit wie folgt definiert:<br />
∫ t n<br />
a(t n ) ∗ b(t n ) = a(t) · b(t n − t)dt (2.79)<br />
0<br />
Für homogene Anfangsbedingungen hat das in Gleichung (2.78) definierte Reziprozitätstheorem<br />
für die Dyn<strong>am</strong>ik die gleiche Struktur wie das Reziprozitätstheorem in<br />
der Elastostatik und kann entsprechend direkt aus dem Satz von Betti abgeleitet werden,<br />
wenn dort sämtliche Produkte durch die entsprechenden Faltungsprodukte ersetzt<br />
werden.<br />
Interessant für die hier behandelten Fragestellung ist die Feststellung, dass das Reziprozitätstheorem<br />
(2.78) ausschließlich zwei zulässige elastodyn<strong>am</strong>ische Zustände in<br />
Relation zueinander setzt und d<strong>am</strong>it vollständig unabhängig von einer eventuell durchgeführten<br />
Diskretisierung formuliert wurde. Der wesentliche Schritt zur Überführung<br />
des Graffi-Theorems (2.78) in die erste Fehleridentität (2.31) ist die bereits in Abschnitt<br />
2.2 gemachte Aussage, dass der räumliche Diskretisierungsfehler die Lösung der Bewegungsgleichung<br />
mit dem Residuum als Belastungsfunktion ist. Für den räumlichen<br />
Diskretisierungsfehler kann somit das Reziprozitätstheorem angewendet werden.<br />
Interpretiert man also den räumlichen Diskretisierungsfehler e S (x,t) als die Verschiebung<br />
infolge des Residuums R(x,t) und definiert zusätzlich das duale Problem ˜z(x,t)<br />
58