dh+1 - am IFM

KAPITEL 2. DER RÄUMLICHE DISKRETISIERUNGSFEHLER
Die Anwendung des Faltungstheorems auf Gleichung (2.77) führt schließlich auf folgendes
Reziprozitätstheorem der beiden Zustände u 1 (x,t) und u 2 (x,t) im Zeitbereich
bezüglich des Faltungsproduktes, welches auch als Graffi-Theorem bezeichnet wird,
siehe z.B. Achenbach [1]:
∫
t 1 (x,t n ) ∗ u 2 (x,t n )dA +
∂B
∫
0
+ ρ 0 u 1 (x, 0) ˙u 2 (x,t n )dV +
B
∫
0
= t 2 (x,t n ) ∗ u 1 (x,t n )dA +
∂B
∫
0
+ ρ 0 u 2 (x, 0) ˙u 1 (x,t n )dV +
B 0
∫
ρ 0 b 1 (x,t n ) ∗ u 2 (x,t n )dV (2.78)
B
∫
0
ρ 0 ˙u 1 (x, 0)u 2 (x,t n )dV
B
∫
0
ρ 0 b 2 (x,t n ) ∗ u 1 (x,t n )dV
B
∫
0
ρ 0 ˙u 2 (x, 0)u 1 (x,t n )dV ∀t n > 0
B 0
Hierin ist das Faltungsprodukt zweier Funktionen in der Zeit wie folgt definiert:
∫ t n
a(t n ) ∗ b(t n ) = a(t) · b(t n − t)dt (2.79)
0
Für homogene Anfangsbedingungen hat das in Gleichung (2.78) definierte Reziprozitätstheorem
für die Dynamik die gleiche Struktur wie das Reziprozitätstheorem in
der Elastostatik und kann entsprechend direkt aus dem Satz von Betti abgeleitet werden,
wenn dort sämtliche Produkte durch die entsprechenden Faltungsprodukte ersetzt
werden.
Interessant für die hier behandelten Fragestellung ist die Feststellung, dass das Reziprozitätstheorem
(2.78) ausschließlich zwei zulässige elastodynamische Zustände in
Relation zueinander setzt und damit vollständig unabhängig von einer eventuell durchgeführten
Diskretisierung formuliert wurde. Der wesentliche Schritt zur Überführung
des Graffi-Theorems (2.78) in die erste Fehleridentität (2.31) ist die bereits in Abschnitt
2.2 gemachte Aussage, dass der räumliche Diskretisierungsfehler die Lösung der Bewegungsgleichung
mit dem Residuum als Belastungsfunktion ist. Für den räumlichen
Diskretisierungsfehler kann somit das Reziprozitätstheorem angewendet werden.
Interpretiert man also den räumlichen Diskretisierungsfehler e S (x,t) als die Verschiebung
infolge des Residuums R(x,t) und definiert zusätzlich das duale Problem ˜z(x,t)
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