dh+1 - am IFM

2.4. FEHLERMASSE IN BELIEBIGEN ZIELGRÖSSEN
Zunächst wird das duale Problem bei Verwendung der Verschiebung z als Wichtungsfunktion
behandelt. Für homogene Anfangsbedingungen des dualen Problems
folgt für die Belastungsfunktion D(x,t) des dualen Problems aus (2.48):
∫ t n
F z (e S )dt =
∫ t n
∫ t n
(D(x,t),e S ) B0 dt = (δ j (x i ) · δ t (t n ),e S ) B0 dt (2.54)
0
0
❀ D(x,t) = δ j (x i ) · δ t (t n )
0
Die Belastung des dualen Problems besteht damit aus einem Dirac-Impuls an der Stelle
x i zum Zeitpunkt t n . Das duale Problem besitzt somit eine Singularität im Raum und
in der Zeit, was dazu führt, dass bei der numerischen Auswertung der Fehlergleichung
(2.49) mit finiten Elementen eine Regularisierung der Belastung notwendig ist. Dabei
ist die zeitliche Singularität zum Zeitpunkt t n insofern unkritisch, als es sich um einen
Sprung in den Geschwindigkeiten handelt, der wie eine Anfangsbedingung für ż(t n )
behandelt werden kann. Der Sprung in der Geschwindigkeit ż zum Zeitpunkt t n lässt
sich direkt aus der schwachen Form der Impulsbilanz zum Zeitpunkt t n ableiten:
ρ 0 (ż(t + n),w) B0 − ρ 0 (ż(t − n),w) B0 = (δ j (x i ),w) B0 mit ż(t + n) = 0 (2.55)
Bei der Definition eines homogenen dualen Problems ergibt für z(t n ) = 0 die entsprechende
Anfangsgeschwindigkeit für das duale Problem auch direkt aus den Randtermen
zum Zeitpunkt t n in Gleichung (2.48):
−ρ 0 (ż,e S ) B0 | tn = (δ j (x i ),e S ) B0 (2.56)
Bei Verwendung der Geschwindigkeiten ż des dualen Problems als Testfunktion
lautet die notwendige Anfangsbedingung für die Verschiebungen z(t n ) bei ż(t n ) = 0
gemäß Gleichung (2.50):
a ∗ T(z(t n ),e S (t n )) = (δ j (x i ),e S ) B0 , (2.57)
was einem linearen statischen Problem in der bekannten diskreten Lösung u h (t n ), bzw.
einer konstanten Einzellast im Punkt x i für t ≥ t n entspricht. In diesem Fall ist die
Anfangsverschiebung z n gerade die Greensche Funktion, die in der linearen Elastizitätstheorie
als Einflussfunktion für Punktverschiebungen verwendet wird, siehe z.B.
Hartmann [46].
Geschwindigkeiten
Nachfolgend werden die dualen Probleme zur Kontrolle der Geschwindigkeit in Richtung
j in einem Punkt x i zum Zeitpunkt t n betrachtet.
Für die Darstellung des Fehlers in Geschwindigkeiten wird die Wichtung mit der
Geschwindigkeit ż des dualen Problems verwendet.
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