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KAPITEL 2. DER RÄUMLICHE DISKRETISIERUNGSFEHLER<br />
Gleichungen (2.49) und (2.51) direkt aus den Randtermen zum Zeitpunkt t n ableiten.<br />
b) Inhomogenes duales Problem (F z (w) ≠ 0) mit homogenen Anfangsbedingungen<br />
(z(t n ) = 0 und ż(t n ) = 0). Diese Möglichkeit ist beispielsweise<br />
dann sinnvoll, wenn der mittlere Fehler über ein beschränktes Zeitintervall bestimmt<br />
werden soll. Das gesuchte Fehlermaß wird dann über das Zeitintegral der<br />
Belastung des dualen Problems festgelegt und ist nicht an den festen Zeitpunkt<br />
t n gebunden. Desweiteren kann so eine eventuell notwendige Regularisierung des<br />
dualen Problems, z.B. zur Vermeidung von Singularitäten, eingeführt werden.<br />
In den nachfolgenden Abschnitten werden exemplarisch für einige bestimmte Zielfunktionale<br />
die verschiedenen Möglichkeiten zur Definition des dualen Problems dargelegt.<br />
Das hier vorgestellte generelle Konzept ist dann in analoger Weise auf beliebige andere<br />
Zielfunktionale erweiterbar.<br />
2.4.1 Fehler in Punktgrößen zum Zeitpunkt t n<br />
Nachfolgend werden Darstellungen des Diskretisierungsfehlers in Punktgrößen wie Verschiebungen<br />
u(x i ,t n ) und Geschwindigkeiten ˙u(x i ,t n ) an einem Punkt x i zum Zeitpunkt<br />
t n behandelt.<br />
Verschiebungen<br />
Es soll die Verschiebung in Richtung j in einem Punkt x i zum Zeitpunkt t n kontrolliert<br />
werden. Aufgrund der Filtereigenschaften der Dirac-Distribution lässt sich die Zielgröße<br />
wie folgt definieren:<br />
Q(u) =<br />
∫ t n<br />
0<br />
∫<br />
B 0<br />
(u(x,t) · δ j (x i )dV ) · δ t (t n )dt =<br />
∫ t n<br />
0<br />
(u(x,t),δ j (x i )) B0 · δ t (t n )dt (2.52)<br />
Darin ist δ j (x i ) die Dirac-Distribution an der Stelle x i in Richtung j und δ t (t n ) die<br />
zeitliche Dirac-Distribution für die Zeit t n .<br />
Das Fehlermaß gemäß (2.46) ergibt sich dann zu:<br />
E(u,u h ) =<br />
=<br />
∫ t n<br />
0<br />
∫ t n<br />
(u(x,t) − u h (x,t)<br />
} {{ }<br />
e S<br />
,δ j (x i )) B0 · δ t (t n )dt (2.53)<br />
(e S (t n ),δ j (x i )) B0 · δ t (t n )dt = (e S (t n ),δ j (x i )) B0<br />
0<br />
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