dh+1 - am IFM

KAPITEL 2. DER RÄUMLICHE DISKRETISIERUNGSFEHLER
Gleichungen (2.49) und (2.51) direkt aus den Randtermen zum Zeitpunkt t n ableiten.
b) Inhomogenes duales Problem (F z (w) ≠ 0) mit homogenen Anfangsbedingungen
(z(t n ) = 0 und ż(t n ) = 0). Diese Möglichkeit ist beispielsweise
dann sinnvoll, wenn der mittlere Fehler über ein beschränktes Zeitintervall bestimmt
werden soll. Das gesuchte Fehlermaß wird dann über das Zeitintegral der
Belastung des dualen Problems festgelegt und ist nicht an den festen Zeitpunkt
t n gebunden. Desweiteren kann so eine eventuell notwendige Regularisierung des
dualen Problems, z.B. zur Vermeidung von Singularitäten, eingeführt werden.
In den nachfolgenden Abschnitten werden exemplarisch für einige bestimmte Zielfunktionale
die verschiedenen Möglichkeiten zur Definition des dualen Problems dargelegt.
Das hier vorgestellte generelle Konzept ist dann in analoger Weise auf beliebige andere
Zielfunktionale erweiterbar.
2.4.1 Fehler in Punktgrößen zum Zeitpunkt t n
Nachfolgend werden Darstellungen des Diskretisierungsfehlers in Punktgrößen wie Verschiebungen
u(x i ,t n ) und Geschwindigkeiten ˙u(x i ,t n ) an einem Punkt x i zum Zeitpunkt
t n behandelt.
Verschiebungen
Es soll die Verschiebung in Richtung j in einem Punkt x i zum Zeitpunkt t n kontrolliert
werden. Aufgrund der Filtereigenschaften der Dirac-Distribution lässt sich die Zielgröße
wie folgt definieren:
Q(u) =
∫ t n
0
∫
B 0
(u(x,t) · δ j (x i )dV ) · δ t (t n )dt =
∫ t n
0
(u(x,t),δ j (x i )) B0 · δ t (t n )dt (2.52)
Darin ist δ j (x i ) die Dirac-Distribution an der Stelle x i in Richtung j und δ t (t n ) die
zeitliche Dirac-Distribution für die Zeit t n .
Das Fehlermaß gemäß (2.46) ergibt sich dann zu:
E(u,u h ) =
=
∫ t n
0
∫ t n
(u(x,t) − u h (x,t)
} {{ }
e S
,δ j (x i )) B0 · δ t (t n )dt (2.53)
(e S (t n ),δ j (x i )) B0 · δ t (t n )dt = (e S (t n ),δ j (x i )) B0
0
50