dh+1 - am IFM

2.3. DAS DUALE PROBLEM
Hieraus lässt sich zusammen mit Gleichung (2.28) die zu (2.31) äquivalente Identität
angeben:
[ρ 0 (ė S ,ż) B0 + a T (u h ;e S ,z)] 0
+
= [ρ 0 (ż,ė S ) B0 + a ∗ T(u h ;z,e S )] tn −
∫ t n
0
∫ t n
R u (ż)dt (2.34)
F z (ė S )dt
0
Die Gleichungen (2.31) und (2.34) sind vollständig gleichwertig und unterscheiden sich
im Wesentlichen durch ihre zeitlichen Randterme zu den Zeitpunkten t = 0 und t = t n .
7-Parameter-Formulierung – Wichtung mit den Verschiebungen des dualen
Problems
In ähnlicher Weise wie für die reine Verschiebungsformulierung lässt sich das duale
Problem für das gemischte Variationsproblem (1.84) bestimmen. Hierfür wird die duale
Lösung (z(x,t),β z (x,t)) als Wichtungsfunktion für die linearisierte schwache Form des
Residuums eingeführt. Im Sinne der Übersichtlichkeit wird nachfolgend wiederum auf
die Dämpfungsterme bei der Herleitung des dualen Problems verzichtet:
∫ t n
0
∫ t n
0
R u (z) + R β (β z )dt = (2.35)
a T (u h ;e S ,z) + b T (u h ;z,e β ) + ρ 0 (ë S ,z) B0 + b T (u h ;e S ,β z ) + c(e β ,β z )dt
Zweimalige partielle Integration in der Zeit liefert:
∫ t n
0
∫ t n
0
R u (z) + R β (β z )dt = [ρ 0 (ė S ,z) B0 − ρ 0 (e S ,ż) B0 ] tn
0 + (2.36)
a ∗ T(u h ;z,e S ) + b T (u h ;z,e β ) + ρ 0 (¨z,e S ) B0 + b T (u h ;e S ,β z ) + c ∗ (e β ,β z )dt
Das Zeitintegral auf der rechten Seite definiert hier das mit den Diskretisierungsfehlern
(e S ,e β ) gewichtete duale Problem. Die räumliche Variationsformulierung des dualen
Problems für das gemischte Problem lautet damit allgemein:
ρ 0 (¨z,w) B0 + a ∗ T(u h ;z,w) + b T (u h ;w,β z ) = F z (w) ∀w ∈ W (2.37)
b T (u h ;z,γ) + c ∗ (β z ,γ) = 0
∀γ ∈ Γ 0 ≤ t ≤ t n
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