dh+1 - am IFM
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2.3. DAS DUALE PROBLEM<br />
Hieraus lässt sich zus<strong>am</strong>men mit Gleichung (2.28) die zu (2.31) äquivalente Identität<br />
angeben:<br />
[ρ 0 (ė S ,ż) B0 + a T (u h ;e S ,z)] 0<br />
+<br />
= [ρ 0 (ż,ė S ) B0 + a ∗ T(u h ;z,e S )] tn −<br />
∫ t n<br />
0<br />
∫ t n<br />
R u (ż)dt (2.34)<br />
F z (ė S )dt<br />
0<br />
Die Gleichungen (2.31) und (2.34) sind vollständig gleichwertig und unterscheiden sich<br />
im Wesentlichen durch ihre zeitlichen Randterme zu den Zeitpunkten t = 0 und t = t n .<br />
7-Par<strong>am</strong>eter-Formulierung – Wichtung mit den Verschiebungen des dualen<br />
Problems<br />
In ähnlicher Weise wie für die reine Verschiebungsformulierung lässt sich das duale<br />
Problem für das gemischte Variationsproblem (1.84) bestimmen. Hierfür wird die duale<br />
Lösung (z(x,t),β z (x,t)) als Wichtungsfunktion für die linearisierte schwache Form des<br />
Residuums eingeführt. Im Sinne der Übersichtlichkeit wird nachfolgend wiederum auf<br />
die Dämpfungsterme bei der Herleitung des dualen Problems verzichtet:<br />
∫ t n<br />
0<br />
∫ t n<br />
0<br />
R u (z) + R β (β z )dt = (2.35)<br />
a T (u h ;e S ,z) + b T (u h ;z,e β ) + ρ 0 (ë S ,z) B0 + b T (u h ;e S ,β z ) + c(e β ,β z )dt<br />
Zweimalige partielle Integration in der Zeit liefert:<br />
∫ t n<br />
0<br />
∫ t n<br />
0<br />
R u (z) + R β (β z )dt = [ρ 0 (ė S ,z) B0 − ρ 0 (e S ,ż) B0 ] tn<br />
0 + (2.36)<br />
a ∗ T(u h ;z,e S ) + b T (u h ;z,e β ) + ρ 0 (¨z,e S ) B0 + b T (u h ;e S ,β z ) + c ∗ (e β ,β z )dt<br />
Das Zeitintegral auf der rechten Seite definiert hier das mit den Diskretisierungsfehlern<br />
(e S ,e β ) gewichtete duale Problem. Die räumliche Variationsformulierung des dualen<br />
Problems für das gemischte Problem lautet d<strong>am</strong>it allgemein:<br />
ρ 0 (¨z,w) B0 + a ∗ T(u h ;z,w) + b T (u h ;w,β z ) = F z (w) ∀w ∈ W (2.37)<br />
b T (u h ;z,γ) + c ∗ (β z ,γ) = 0<br />
∀γ ∈ Γ 0 ≤ t ≤ t n<br />
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