dh+1 - am IFM

2.3. DAS DUALE PROBLEM
Reine Verschiebungsformulierung - Wichtung mit den Verschiebungen des
dualen Problems
Ausgangspunkt für die Ableitung des dualen Problems für die reine Verschiebungsformulierung
ist die zeitliche Variationsformulierung der räumlich schwachen Form
der Differentialgleichung des Fehlers (2.7). Als Testfunktion wird die exakte Lösung
z = z(x,t) ∈ W des noch zu definierenden dualen Problems eingeführt:
∫ t n
∫ t n
ρ 0 (ë S ,z) B0 + c m ρ 0 (ė S ,z) B0 + c k a T (0;ė S ,z) + a T (u h ;e,z)dt = R u (z)dt (2.24)
0
0
Zur Vertauschung von Test- und Ansatzfunktionen wird Gleichung (2.24) zweimal partiell
bezüglich der Zeit integriert:
∫ t n
0
R u (z)dt = [ρ 0 (ė S ,z) B0 − ρ 0 (e S ,ż) B0 + c m ρ 0 (e S ,z) B0 + c k a T (0;e S ,z)] tn
0 (2.25)
+
∫ t n
0
ρ 0 (¨z,e S ) B0 − c m ρ 0 (ż,e S ) B0 − c k a ∗ T(0;ż,e S ) + a ∗ T(u h ;z,e S ) dt
} {{ }
F z(e S )
Hierin ist a ∗ T (u h;z,e S ) die zu a T (u h ;e S ,z) adjungierte Bilinearform für gegebenes u h ,
wobei gilt:
a ∗ T(u h ;z,e S ) = a T (u h ;e S ,z) (2.26)
Für die im Rahmen dieser Arbeit behandelten Cauchy-elastischen Materialien gilt
zusätzlich die Symmetrie
a ∗ T(u h ;z,e S ) = a T (u h ;z,e S ), (2.27)
d.h. der durch a T definierte Differentialoperator ist selbstadjungiert, siehe Larsson
et al. [67].
Das Zeitintegral auf der rechten Seite von Gleichung (2.25) definiert die räumlich schwache
Formulierung des dualen Problems, welches hier mit dem Fehler e S des primalen
Problems getestet wird. Das duale Problem stellt ein Rückwärtsproblem in der Zeit dar,
da in Gleichung (2.25) ”
Anfangsbedingungen“ für z und ż zum Zeitpunkt t n anzugeben
sind.
Wegen e S ∈ W lässt sich das duale Problem auch in allgemeiner Form mit einer
beliebigen räumlichen Testfunktion w ∈ W angeben:
ρ 0 (¨z,w) B0 − c m ρ 0 (ż,w) B0 − c k a ∗ T(0;ż,w) + a ∗ T(u h ;z,w) = F z (w) (2.28)
∀w ∈ W 0 ≤ t ≤ t n
43