dh+1 - am IFM
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2.3. DAS DUALE PROBLEM<br />
Reine Verschiebungsformulierung - Wichtung mit den Verschiebungen des<br />
dualen Problems<br />
Ausgangspunkt für die Ableitung des dualen Problems für die reine Verschiebungsformulierung<br />
ist die zeitliche Variationsformulierung der räumlich schwachen Form<br />
der Differentialgleichung des Fehlers (2.7). Als Testfunktion wird die exakte Lösung<br />
z = z(x,t) ∈ W des noch zu definierenden dualen Problems eingeführt:<br />
∫ t n<br />
∫ t n<br />
ρ 0 (ë S ,z) B0 + c m ρ 0 (ė S ,z) B0 + c k a T (0;ė S ,z) + a T (u h ;e,z)dt = R u (z)dt (2.24)<br />
0<br />
0<br />
Zur Vertauschung von Test- und Ansatzfunktionen wird Gleichung (2.24) zweimal partiell<br />
bezüglich der Zeit integriert:<br />
∫ t n<br />
0<br />
R u (z)dt = [ρ 0 (ė S ,z) B0 − ρ 0 (e S ,ż) B0 + c m ρ 0 (e S ,z) B0 + c k a T (0;e S ,z)] tn<br />
0 (2.25)<br />
+<br />
∫ t n<br />
0<br />
ρ 0 (¨z,e S ) B0 − c m ρ 0 (ż,e S ) B0 − c k a ∗ T(0;ż,e S ) + a ∗ T(u h ;z,e S ) dt<br />
} {{ }<br />
F z(e S )<br />
Hierin ist a ∗ T (u h;z,e S ) die zu a T (u h ;e S ,z) adjungierte Bilinearform für gegebenes u h ,<br />
wobei gilt:<br />
a ∗ T(u h ;z,e S ) = a T (u h ;e S ,z) (2.26)<br />
Für die im Rahmen dieser Arbeit behandelten Cauchy-elastischen Materialien gilt<br />
zusätzlich die Symmetrie<br />
a ∗ T(u h ;z,e S ) = a T (u h ;z,e S ), (2.27)<br />
d.h. der durch a T definierte Differentialoperator ist selbstadjungiert, siehe Larsson<br />
et al. [67].<br />
Das Zeitintegral auf der rechten Seite von Gleichung (2.25) definiert die räumlich schwache<br />
Formulierung des dualen Problems, welches hier mit dem Fehler e S des primalen<br />
Problems getestet wird. Das duale Problem stellt ein Rückwärtsproblem in der Zeit dar,<br />
da in Gleichung (2.25) ”<br />
Anfangsbedingungen“ für z und ż zum Zeitpunkt t n anzugeben<br />
sind.<br />
Wegen e S ∈ W lässt sich das duale Problem auch in allgemeiner Form mit einer<br />
beliebigen räumlichen Testfunktion w ∈ W angeben:<br />
ρ 0 (¨z,w) B0 − c m ρ 0 (ż,w) B0 − c k a ∗ T(0;ż,w) + a ∗ T(u h ;z,w) = F z (w) (2.28)<br />
∀w ∈ W 0 ≤ t ≤ t n<br />
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