dh+1 - am IFM

KAPITEL 2. DER RÄUMLICHE DISKRETISIERUNGSFEHLER
mit der bereits in Gleichung (2.6) definierten Sekantenform a S (u,u h ; ·, ·). Für die
schwache Form des Residuums folgt dann:
R u (w) = a S (u,u h ;e S ,w) + b S (u,u h ;w,e β ) + ρ 0 (ë S ,w) ∀w ∈ W (2.20)
R β (γ) = b S (u,u h ;e S ,γ) + c(e β ,γ)
∀γ ∈ Γ 0 ≤ t ≤ T
Da auch diese Darstellung die unbekannte exakte Lösung (u,β) beinhaltet, wird nun
wiederum auf die entsprechenden Tangentenformen in der numerischen Lösung (u h ,β h )
übergegangen. Unter Verwendung der Tangentenform
∫
b T (u h ;w,γ) = b S (u h ,u h ;w,γ) = (F T (u h ) · Gradw) sym : C : Ẽ(γ)dV. (2.21)
B 0
ergibt sich die folgende linearisierte Form des Residuums:
R u (w) = a T (u h ;e S ,w) + b T (u h ;w,e β ) + ρ 0 (ë S ,w) ∀w ∈ W (2.22)
R β (γ) = b T (u h ;e S ,γ) + c(e β ,γ)
∀γ ∈ Γ 0 ≤ t ≤ T
Gleichung (2.22) entspricht der linearisierten schwachen Form der Differentialgleichungen
der räumlichen Diskretisierungsfehler (e S ,e β ).
Im Grenzfall linearer Problemstellungen gilt:
a(e S ,w) = a T (0;e S ,w) und b(e S ,γ) = b T (0;e S ,γ) (2.23)
Die nachfolgenden Fehlerdarstellungen lassen sich folglich in einfacher Weise an lineare
Probleme anpassen.
2.3 Das duale Problem
Für die Darstellung des räumlichen Diskretisierungsfehlers in einer beliebigen Zielgröße
wird das sogenannte duale bzw. adjungierte Problem für die reine Verschiebungsformulierung
sowie die gemischte 7-Parameter-Formulierung eingeführt. Hierbei ergeben sich
jeweils zwei Möglichkeiten, wie das zur Fehlerdifferentialgleichung duale Problem aus
einer zeitlichen Variationsformulierung der schwachen Form der Differentialgleichung
des Fehlers abgeleitet werden kann. Die Herleitung kann einerseits auf der Basis des
Prinzips der virtuellen Verschiebungen oder andererseits auf der Basis des Prinzips
der virtuellen Geschwindigkeiten erfolgen. Bei der Verwendung des Prinzips der virtuellen
Verschiebungen wird die Verschiebung des dualen Problems als Testfunktion für
die Differentialgleichung des räumlichen Diskretisierungsfehlers eingeführt, wohingegen
bei der Herleitung des dualen Problems auf der Basis des Prinzips der virtuellen Geschwindigkeiten
die Geschwindigkeiten des dualen Problems als Testfunktion verwendet
werden.
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