dh+1 - am IFM
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KAPITEL 2. DER RÄUMLICHE DISKRETISIERUNGSFEHLER<br />
mit<br />
a T (u h ;e S ,w) =<br />
∫<br />
B 0<br />
S(u h ) : (Grad T e S · Gradw) sym dV + (2.9)<br />
∫<br />
B 0<br />
(F T (u h ) · Gradw) sym : C : (F T (u h ) · Grade S ) sym dV<br />
Die Tangentenform entspricht dabei gerade der Linearisierung in der bekannten Lösung<br />
u h , welche innerhalb der iterativen Lösungsprozedur benötigt wird. Die näherungsweise<br />
linearisierte Darstellung der Differentialgleichung des räumlichen Diskretisierungsfehlers<br />
mit Hilfe der Tangentenform an die Lösung u h lautet d<strong>am</strong>it:<br />
R u (w) ≈ ρ 0 (ë S ,w) B0 + c m ρ 0 (ė S ,w) B0 + c k a T (0;ė S ,w) + a T (u h ;e S ,w) (2.10)<br />
∀w ∈ W 0 ≤ t ≤ T<br />
Stein et al. [111] weisen darauf hin, dass die Verwendung der Tangente an Stelle der<br />
Sekante für die Fehlerschätzung nur für den Fall ausreichend kleiner räumlicher Diskretisierungsfehler<br />
sinnvoll ist, da dann die Differenz |a S (u,u h ;e S ,w) −a T (u h ;e S ,w)|<br />
hinreichend klein ist. Um das zu zeigen wird a(u;w) in eine Taylorreihe um die diskrete<br />
Lösung u h entwickelt:<br />
a(u;w) = a(u h ;w) + a T (u h ;e S ,w) + O(||e S ||) (2.11)<br />
Hieraus folgt<br />
|a S (u,u h ;e S ,w) − a T (u h ;e S ,w)| = |a(u;w) − a(u h ;w) − a T (u h ;e S ,w)| (2.12)<br />
= O(||e S ||),<br />
d.h. die Differenz zwischen der Sekanten- und der Tangentenform ist von der Größenordnung<br />
des Diskretisierungsfehlers, was die Aussage von Stein et al. [111] bestätigt. Die<br />
Aussage lässt sich aber auch so interpretieren, dass Fehlerschätzer, die auf der Tangentenform<br />
basieren im Falle einer ausreichenden Netzverfeinerung asymptotisch korrekt<br />
sind. Im Folgenden wird deshalb zur Fehlerdarstellung die Tangentenform verwendet.<br />
Für die lineare Elastodyn<strong>am</strong>ik lautet die schwache Form des räumlichen Diskretisierungsfehlers<br />
e S :<br />
R u (w) = ρ 0 (ë S ,w) B0 + c m ρ 0 (ė S ,w) B0 + c k a(ė S ,w) + a(e S ,w) (2.13)<br />
∀w ∈ W 0 ≤ t ≤ T<br />
Man erkennt, dass Gleichung (2.13) die gleiche Struktur hat wie die schwache Form der<br />
Bewegungsgleichung. Der räumliche Diskretisierungsfehler kann d<strong>am</strong>it als Lösung der<br />
Bewegungsgleichung mit dem Residuum als Belastungsfunktion interpretiert werden.<br />
Diese Feststellung ist von zentraler Bedeutung bei der Herleitung von Fehleridentitäten<br />
auf der Basis von Reziprozitätstheoremen der Elastodyn<strong>am</strong>ik, siehe Abschnitt 2.5 dieser<br />
Arbeit.<br />
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