dh+1 - am IFM

KAPITEL 2. DER RÄUMLICHE DISKRETISIERUNGSFEHLER
mit
a T (u h ;e S ,w) =
∫
B 0
S(u h ) : (Grad T e S · Gradw) sym dV + (2.9)
∫
B 0
(F T (u h ) · Gradw) sym : C : (F T (u h ) · Grade S ) sym dV
Die Tangentenform entspricht dabei gerade der Linearisierung in der bekannten Lösung
u h , welche innerhalb der iterativen Lösungsprozedur benötigt wird. Die näherungsweise
linearisierte Darstellung der Differentialgleichung des räumlichen Diskretisierungsfehlers
mit Hilfe der Tangentenform an die Lösung u h lautet damit:
R u (w) ≈ ρ 0 (ë S ,w) B0 + c m ρ 0 (ė S ,w) B0 + c k a T (0;ė S ,w) + a T (u h ;e S ,w) (2.10)
∀w ∈ W 0 ≤ t ≤ T
Stein et al. [111] weisen darauf hin, dass die Verwendung der Tangente an Stelle der
Sekante für die Fehlerschätzung nur für den Fall ausreichend kleiner räumlicher Diskretisierungsfehler
sinnvoll ist, da dann die Differenz |a S (u,u h ;e S ,w) −a T (u h ;e S ,w)|
hinreichend klein ist. Um das zu zeigen wird a(u;w) in eine Taylorreihe um die diskrete
Lösung u h entwickelt:
a(u;w) = a(u h ;w) + a T (u h ;e S ,w) + O(||e S ||) (2.11)
Hieraus folgt
|a S (u,u h ;e S ,w) − a T (u h ;e S ,w)| = |a(u;w) − a(u h ;w) − a T (u h ;e S ,w)| (2.12)
= O(||e S ||),
d.h. die Differenz zwischen der Sekanten- und der Tangentenform ist von der Größenordnung
des Diskretisierungsfehlers, was die Aussage von Stein et al. [111] bestätigt. Die
Aussage lässt sich aber auch so interpretieren, dass Fehlerschätzer, die auf der Tangentenform
basieren im Falle einer ausreichenden Netzverfeinerung asymptotisch korrekt
sind. Im Folgenden wird deshalb zur Fehlerdarstellung die Tangentenform verwendet.
Für die lineare Elastodynamik lautet die schwache Form des räumlichen Diskretisierungsfehlers
e S :
R u (w) = ρ 0 (ë S ,w) B0 + c m ρ 0 (ė S ,w) B0 + c k a(ė S ,w) + a(e S ,w) (2.13)
∀w ∈ W 0 ≤ t ≤ T
Man erkennt, dass Gleichung (2.13) die gleiche Struktur hat wie die schwache Form der
Bewegungsgleichung. Der räumliche Diskretisierungsfehler kann damit als Lösung der
Bewegungsgleichung mit dem Residuum als Belastungsfunktion interpretiert werden.
Diese Feststellung ist von zentraler Bedeutung bei der Herleitung von Fehleridentitäten
auf der Basis von Reziprozitätstheoremen der Elastodynamik, siehe Abschnitt 2.5 dieser
Arbeit.
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