dh+1 - am IFM

2.2. DIFFERENTIALGLEICHUNG DES RÄUMLICHEN DISKRETISIERUNGSFEHLERS
Fall wird dies durch die Verwendung eines stabilen Zeitintegrationsalgorithmus mit
einer sinnvollen Zeitschrittweite gewährleistet.
Da hier auch der geometrisch nichtlineare Fall betrachtet werden soll, sind geeignete
Linearisierungen der nichtlinearen Terme in den Fehlergleichungen vorzunehmen.
Hier wird zunächst in Anlehnung an Runesson et al. [53, 67] und Rannacher &
Becker [13] eine exakte Linearisierung mit Hilfe des Hauptsatzes der Integralrechnung
eingeführt. Hieraus folgt eine lineare Variationsformulierung der Differentialgleichung
des räumlichen Diskretisierungsfehlers, für die auf formale Weise ein duales bzw. adjungiertes
Problem eingeführt werden kann, welches für die exakte Darstellung des räumlichen
Diskretisierungsfehlers in einer beliebigen Zielgröße benötigt wird. Da das duale
Problem bei dieser Vorgehensweise von der unbekannten exakten Lösung abhängt, erfolgt
hier die Linearisierung mit Hilfe der Tangente an die bekannte numerische Lösung.
Das duale Problem filtert die gesuchte Fehlergröße aus der Variationsformulierung der
Differentialgleichung des Diskretisierungsfehlers und kann somit als Einflussfunktion
in Raum und Zeit interpretiert werden. Entsprechend lässt sich die zielorientierte Fehlerschätzung
im Fall der linearen Elastodynamik auf bekannte Reziprozitätstheoreme
z.B. nach Graffi [39] zurückführen. Auf diesen Zusammenhang wird am Ende des
Kapitels genauer eingegangen.
2.2 Differentialgleichung des räumlichen Diskretisierungsfehlers
Im Folgenden werden zunächst die schwachen Formen der Differentialgleichung des
räumlichen Diskretisierungsfehlers e S ∈ W, mit
e S = u − u h ,
für rein verschiebungsformulierte Elemente sowie die 7-Parameter-Schalenformulierung
angegeben. Die Ausführungen beschränken sich dabei auf Formulierungen ohne angenommene
Verzerrungen. Die notwendigen Modifikationen für Elementformulierungen
mit angenommenen Verzerrungsverläufen erfolgen dann in den nachfolgenden Kapiteln
bei der Herleitung der entsprechenden Fehlerschätzer.
Differentialgleichung für die reine Verschiebungsformulierung
Ausgangspunkt für die Herleitung der Differentialgleichung des räumlichen Diskretisierungsfehlers
der reinen Verschiebungsformulierung ist die kontinuierliche räumliche
Variationsformulierung der Bewegungsgleichung (1.49)
ρ 0 (ü,w) B0 + c m ρ 0 ( ˙u,w) B0 + c k a T (0; ˙u,w) + a(u;w) = F u (w)
∀w ∈ W 0 ≤ t ≤ T,
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