dh+1 - am IFM
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2.2. DIFFERENTIALGLEICHUNG DES RÄUMLICHEN DISKRETISIERUNGSFEHLERS<br />
Fall wird dies durch die Verwendung eines stabilen Zeitintegrationsalgorithmus mit<br />
einer sinnvollen Zeitschrittweite gewährleistet.<br />
Da hier auch der geometrisch nichtlineare Fall betrachtet werden soll, sind geeignete<br />
Linearisierungen der nichtlinearen Terme in den Fehlergleichungen vorzunehmen.<br />
Hier wird zunächst in Anlehnung an Runesson et al. [53, 67] und Rannacher &<br />
Becker [13] eine exakte Linearisierung mit Hilfe des Hauptsatzes der Integralrechnung<br />
eingeführt. Hieraus folgt eine lineare Variationsformulierung der Differentialgleichung<br />
des räumlichen Diskretisierungsfehlers, für die auf formale Weise ein duales bzw. adjungiertes<br />
Problem eingeführt werden kann, welches für die exakte Darstellung des räumlichen<br />
Diskretisierungsfehlers in einer beliebigen Zielgröße benötigt wird. Da das duale<br />
Problem bei dieser Vorgehensweise von der unbekannten exakten Lösung abhängt, erfolgt<br />
hier die Linearisierung mit Hilfe der Tangente an die bekannte numerische Lösung.<br />
Das duale Problem filtert die gesuchte Fehlergröße aus der Variationsformulierung der<br />
Differentialgleichung des Diskretisierungsfehlers und kann somit als Einflussfunktion<br />
in Raum und Zeit interpretiert werden. Entsprechend lässt sich die zielorientierte Fehlerschätzung<br />
im Fall der linearen Elastodyn<strong>am</strong>ik auf bekannte Reziprozitätstheoreme<br />
z.B. nach Graffi [39] zurückführen. Auf diesen Zus<strong>am</strong>menhang wird <strong>am</strong> Ende des<br />
Kapitels genauer eingegangen.<br />
2.2 Differentialgleichung des räumlichen Diskretisierungsfehlers<br />
Im Folgenden werden zunächst die schwachen Formen der Differentialgleichung des<br />
räumlichen Diskretisierungsfehlers e S ∈ W, mit<br />
e S = u − u h ,<br />
für rein verschiebungsformulierte Elemente sowie die 7-Par<strong>am</strong>eter-Schalenformulierung<br />
angegeben. Die Ausführungen beschränken sich dabei auf Formulierungen ohne angenommene<br />
Verzerrungen. Die notwendigen Modifikationen für Elementformulierungen<br />
mit angenommenen Verzerrungsverläufen erfolgen dann in den nachfolgenden Kapiteln<br />
bei der Herleitung der entsprechenden Fehlerschätzer.<br />
Differentialgleichung für die reine Verschiebungsformulierung<br />
Ausgangspunkt für die Herleitung der Differentialgleichung des räumlichen Diskretisierungsfehlers<br />
der reinen Verschiebungsformulierung ist die kontinuierliche räumliche<br />
Variationsformulierung der Bewegungsgleichung (1.49)<br />
ρ 0 (ü,w) B0 + c m ρ 0 ( ˙u,w) B0 + c k a T (0; ˙u,w) + a(u;w) = F u (w)<br />
∀w ∈ W 0 ≤ t ≤ T,<br />
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