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KAPITEL 2. DER RÄUMLICHE DISKRETISIERUNGSFEHLER<br />
Dieser Zus<strong>am</strong>menhang wurde erstmals von Cirak & R<strong>am</strong>m in [21] für die Elastostatik<br />
dargestellt und in [20, 22] auf Probleme der Elastoplastizität erweitert. Weitere Beiträge<br />
zur Fehlerschätzung von Punktgrößen finden sich u.a. in den Arbeiten von Oden et<br />
al. [78, 89, 90]. Auf dem Dualitätsprinzip basierende Fehlerschätzer für die nichtlineare<br />
Elastizität finden sich u.a. in den Beiträgen von Larsson et al. [67] und Rüter et<br />
al. [102, 104]. Rüter interpretiert die zielorientierte Fehlerschätzung im nichtlinearen<br />
statischen Fall als Erweiterung bzw. nichtlineare Verallgemeinerung des Satzes von<br />
Betti.<br />
Bangerth et al. [5, 6, 7] verwenden das Dualitätsprinzip zur Fehlerschätzung bei<br />
der Diskretisierung der Wellengleichung. Darauf Bezug nehmend leitet Maute [70]<br />
einen Fehlerschätzer zur Schätzung des ges<strong>am</strong>ten Diskretisierungsfehlers in der linearen<br />
Strukturdyn<strong>am</strong>ik her. Dabei wird eine Fehlerdarstellung für den ges<strong>am</strong>ten Diskretisierungsfehler<br />
infolge der räumlichen Diskretisierung mit finiten Elementen und zeitlicher<br />
Diskretisierung mit diskontinuierlichen Galerkinverfahren verwendet. Um hieraus geeignete<br />
Grundlagen für die Adaption des Raumnetzes und der Zeitschrittweite zu erhalten,<br />
wird die Fehlerdarstellung anschließend in von der Raumdiskretisierung abhängige und<br />
zeitschrittabhängige Anteile aufgespalten.<br />
In allen hier erwähnten Beiträgen wird jeweils zunächst eine geeignete Darstellung des<br />
zu untersuchenden Diskretisierungsfehlers eingeführt, die anschließend mit geeigneten<br />
Verfahren numerisch ausgewertet wird. Dieses Vorgehen wird auch in der vorliegenden<br />
Arbeit verfolgt. Im Nachfolgenden wird in Anlehnung an das Vorgehen von Neumann<br />
[73] und Fuentes et al. [35] bei der Herleitung der Fehlerdarstellung davon ausgegangen,<br />
dass nur eine räumliche Diskretisierung der Bewegungsgleichung durchgeführt<br />
wird. Die sich ergebenen Fehlergleichungen setzen dann voraus, dass die auftretenden<br />
Zeitintegrale exakt berechnet werden. Es erfolgt somit eine formale Entkopplung des<br />
räumlichen und des zeitlichen Diskretisierungsfehlers. Dieses Vorgehen hat den Vorteil,<br />
dass die Darstellung des räumlichen Diskretisierungsfehlers zunächst vollständig<br />
unabhängig von der gewählten zeitlichen Diskretisierung ist. Es besteht d<strong>am</strong>it z.B.<br />
auch die Möglichkeit, den räumlichen Diskretisierungsfehler im Frequenzbereich bzw.<br />
in modalen Koordinaten zu schätzen.<br />
Der Einfluss des gewählten Zeitintegrationsalgorithmus und d<strong>am</strong>it auch des Zeitintegrationsfehlers<br />
muss beim hier gewählten Vorgehen erst bei der numerischen Auswertung<br />
der Fehlerdarstellung berücksichtigt werden, d.h. die Zeitintegration hat durchaus einen<br />
Einfluss auf die Güte der Fehlerschätzung, jedoch keinen Einfluss auf den räumlichen<br />
Diskretisierungsfehler, was sich auch direkt aus der Zerlegung des ges<strong>am</strong>ten Diskretisierungsfehlers<br />
in Gleichung (1.118) ergibt. Eine Veränderung der räumlichen Diskretisierung<br />
kann jedoch Einfluss auf die zu wählende Zeitschrittweite haben, so dass bei der<br />
Netzadaption zu einem Zeitpunkt auf Grundlage der Schätzung des räumlichen Diskretisierungsfehlers<br />
eine Anpassung der Zeitschrittweite im Zeitintegrationsverfahren<br />
notwendig werden kann. Dies spielt insbesondere bei der Verwendung eines expliziten<br />
Zeitintegrationsverfahrens eine Rolle, wenn sich infolge einer Netzverfeinerung der kritische<br />
Zeitschritt verändert. Des Weiteren darf das Zeitintegrationsverfahren nicht die<br />
wesentlichen Eigenschaften der (raum-)diskreten Lösung verfälschen. Im vorliegenden<br />
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