dh+1 - am IFM

KAPITEL 2. DER RÄUMLICHE DISKRETISIERUNGSFEHLER
Dieser Zusammenhang wurde erstmals von Cirak & Ramm in [21] für die Elastostatik
dargestellt und in [20, 22] auf Probleme der Elastoplastizität erweitert. Weitere Beiträge
zur Fehlerschätzung von Punktgrößen finden sich u.a. in den Arbeiten von Oden et
al. [78, 89, 90]. Auf dem Dualitätsprinzip basierende Fehlerschätzer für die nichtlineare
Elastizität finden sich u.a. in den Beiträgen von Larsson et al. [67] und Rüter et
al. [102, 104]. Rüter interpretiert die zielorientierte Fehlerschätzung im nichtlinearen
statischen Fall als Erweiterung bzw. nichtlineare Verallgemeinerung des Satzes von
Betti.
Bangerth et al. [5, 6, 7] verwenden das Dualitätsprinzip zur Fehlerschätzung bei
der Diskretisierung der Wellengleichung. Darauf Bezug nehmend leitet Maute [70]
einen Fehlerschätzer zur Schätzung des gesamten Diskretisierungsfehlers in der linearen
Strukturdynamik her. Dabei wird eine Fehlerdarstellung für den gesamten Diskretisierungsfehler
infolge der räumlichen Diskretisierung mit finiten Elementen und zeitlicher
Diskretisierung mit diskontinuierlichen Galerkinverfahren verwendet. Um hieraus geeignete
Grundlagen für die Adaption des Raumnetzes und der Zeitschrittweite zu erhalten,
wird die Fehlerdarstellung anschließend in von der Raumdiskretisierung abhängige und
zeitschrittabhängige Anteile aufgespalten.
In allen hier erwähnten Beiträgen wird jeweils zunächst eine geeignete Darstellung des
zu untersuchenden Diskretisierungsfehlers eingeführt, die anschließend mit geeigneten
Verfahren numerisch ausgewertet wird. Dieses Vorgehen wird auch in der vorliegenden
Arbeit verfolgt. Im Nachfolgenden wird in Anlehnung an das Vorgehen von Neumann
[73] und Fuentes et al. [35] bei der Herleitung der Fehlerdarstellung davon ausgegangen,
dass nur eine räumliche Diskretisierung der Bewegungsgleichung durchgeführt
wird. Die sich ergebenen Fehlergleichungen setzen dann voraus, dass die auftretenden
Zeitintegrale exakt berechnet werden. Es erfolgt somit eine formale Entkopplung des
räumlichen und des zeitlichen Diskretisierungsfehlers. Dieses Vorgehen hat den Vorteil,
dass die Darstellung des räumlichen Diskretisierungsfehlers zunächst vollständig
unabhängig von der gewählten zeitlichen Diskretisierung ist. Es besteht damit z.B.
auch die Möglichkeit, den räumlichen Diskretisierungsfehler im Frequenzbereich bzw.
in modalen Koordinaten zu schätzen.
Der Einfluss des gewählten Zeitintegrationsalgorithmus und damit auch des Zeitintegrationsfehlers
muss beim hier gewählten Vorgehen erst bei der numerischen Auswertung
der Fehlerdarstellung berücksichtigt werden, d.h. die Zeitintegration hat durchaus einen
Einfluss auf die Güte der Fehlerschätzung, jedoch keinen Einfluss auf den räumlichen
Diskretisierungsfehler, was sich auch direkt aus der Zerlegung des gesamten Diskretisierungsfehlers
in Gleichung (1.118) ergibt. Eine Veränderung der räumlichen Diskretisierung
kann jedoch Einfluss auf die zu wählende Zeitschrittweite haben, so dass bei der
Netzadaption zu einem Zeitpunkt auf Grundlage der Schätzung des räumlichen Diskretisierungsfehlers
eine Anpassung der Zeitschrittweite im Zeitintegrationsverfahren
notwendig werden kann. Dies spielt insbesondere bei der Verwendung eines expliziten
Zeitintegrationsverfahrens eine Rolle, wenn sich infolge einer Netzverfeinerung der kritische
Zeitschritt verändert. Des Weiteren darf das Zeitintegrationsverfahren nicht die
wesentlichen Eigenschaften der (raum-)diskreten Lösung verfälschen. Im vorliegenden
36