dh+1 - am IFM

Kapitel 2
Der räumliche
Diskretisierungsfehler
Gegenstand der nachfolgenden Betrachtungen ist der räumliche Diskretisierungsfehler e S =
u − u h , der sich aus der räumlichen Semidiskretisierung des 1. Cauchy-Bewegungsgesetzes
mit finiten Elementen ergibt. Ziel ist hier die Darstellung des räumlichen Diskretisierungsfehlers
in einer beliebigen Zielgröße. Dies bedingt die Einführung eines Hilfsproblems, welches
als duales bzw. adjungiertes Problem bezeichnet wird. Mit Hilfe des dualen Problems lassen
sich Identitäten für den Fehler in Zielfunktionalen angeben, welche dann in nachfolgenden
Kapiteln als Basis für die Fehlerschätzung und die Anpassung des Raumnetzes dienen sollen.
Es erfolgt dabei eine möglichst allgemeingültige Darstellung des generellen Konzeptes der
zielorientierten Fehlerdarstellungen für geometrisch nichtlineare Probleme.
Zum Abschluß des Kapitels wird für geometrisch lineare Problemstellungen der Zusammenhang
zwischen der Fehlerdarstellung in einem Zielfunktional und dem bekannten elastodynamischen
Reziprozitätstheorem nach Graffi dargestellt.
2.1 Allgemeines
Das grundlegende Konzept der Fehlerschätzung in beliebigen Zielfunktionalen geht auf
die Arbeiten von Johnson et al. [32, 44, 59] und Rannacher et al. [13, 14,
94, 95, 8] zurück. Rannacher et al. bezeichnen das generelle Konzept als ’Dual-
Weighted-Residual’-Konzept, was zum Ausdruck bringt, dass die Fehlerschätzung auf
der Wichtung des Residuums mit der dualen Lösung basiert.
Für statische Problemstellungen entspricht die Fehlerschätzung für beliebige Zielgrößen
der Auswertung des Satzes von Betti (Reziprozitätstheorem) und das duale Problem
stellt die aus der Statik bekannte Einflussfunktion für die betrachtete Zielgröße dar.
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