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Kapitel 2<br />
Der räumliche<br />
Diskretisierungsfehler<br />
Gegenstand der nachfolgenden Betrachtungen ist der räumliche Diskretisierungsfehler e S =<br />
u − u h , der sich aus der räumlichen Semidiskretisierung des 1. Cauchy-Bewegungsgesetzes<br />
mit finiten Elementen ergibt. Ziel ist hier die Darstellung des räumlichen Diskretisierungsfehlers<br />
in einer beliebigen Zielgröße. Dies bedingt die Einführung eines Hilfsproblems, welches<br />
als duales bzw. adjungiertes Problem bezeichnet wird. Mit Hilfe des dualen Problems lassen<br />
sich Identitäten für den Fehler in Zielfunktionalen angeben, welche dann in nachfolgenden<br />
Kapiteln als Basis für die Fehlerschätzung und die Anpassung des Raumnetzes dienen sollen.<br />
Es erfolgt dabei eine möglichst allgemeingültige Darstellung des generellen Konzeptes der<br />
zielorientierten Fehlerdarstellungen für geometrisch nichtlineare Probleme.<br />
Zum Abschluß des Kapitels wird für geometrisch lineare Problemstellungen der Zus<strong>am</strong>menhang<br />
zwischen der Fehlerdarstellung in einem Zielfunktional und dem bekannten elastodyn<strong>am</strong>ischen<br />
Reziprozitätstheorem nach Graffi dargestellt.<br />
2.1 Allgemeines<br />
Das grundlegende Konzept der Fehlerschätzung in beliebigen Zielfunktionalen geht auf<br />
die Arbeiten von Johnson et al. [32, 44, 59] und Rannacher et al. [13, 14,<br />
94, 95, 8] zurück. Rannacher et al. bezeichnen das generelle Konzept als ’Dual-<br />
Weighted-Residual’-Konzept, was zum Ausdruck bringt, dass die Fehlerschätzung auf<br />
der Wichtung des Residuums mit der dualen Lösung basiert.<br />
Für statische Problemstellungen entspricht die Fehlerschätzung für beliebige Zielgrößen<br />
der Auswertung des Satzes von Betti (Reziprozitätstheorem) und das duale Problem<br />
stellt die aus der Statik bekannte Einflussfunktion für die betrachtete Zielgröße dar.<br />
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