dh+1 - am IFM

1.4. ZEITLICHE DISKRETISIERUNG
in der Zustandsform
Y n+1 = A FD Y n + F FD mit Y n =
[
dn
ḋ n
]
(1.111)
dargestellt.
Hierin ist A FD die Amplifikationsmatrix, die im lastfreien Fall F FD = 0 den Zustandsvektor
Y n auf den Zustandsvektor Y n+1 abbildet. Der Index FD deutet an, dass es
sich hier um die Darstellung des Newmarkverfahrens als Finite-Differenzen-Verfahren
handelt.
Zunächst wird ein quadratischer Verschiebungsansatz im Zeitintervall I n := [t n ,t n+1 ]
eingeführt:
d(τ) = d n + τḋn + τ2
2 ¨d m
ḋ(τ) = ḋ n + τ ¨d m ,
(1.112)
mit τ = t − t n und der konstanten Beschleunigung
¨d m = 1
∆t n
(ḋn+1 − ḋn). (1.113)
Nun wird das Petrov–Galerkinverfahren zur Formulierung der schwachen Form im Zeitintervall
genutzt:
t∫
n+1
t n
w t ·
(M ¨d m + Cḋ + Kd − F(τ) )
dt = 0, (1.114)
mit der noch nicht spezifizierten Wichtungsfunktion w t . Der Index FE deutet hier
an, dass es sich hier um eine Finite-Elemente-Formulierung in der Zeit handelt. Das
aus Gleichung (1.114) abgeleitete Zeitintegrationsverfahren lässt sich ebenfalls in eine
Form gemäß Gleichung (1.111) bringen:
Y n+1 = A FE Y n + F FE (1.115)
Die Wichtungsfunktion w t lässt sich nun aus der Forderung, dass die Amplifikationsmatrizen
der beiden Verfahren gleich sind, bestimmen:
( 1
w t = w(x)
5 − τ )
+ τ2
∆t n ∆t 2 , (1.116)
siehe auch Neumann [73]. Für eine lineare Interpolation der äußeren Last im Zeitintervall
sind auch die Lastterme in den Gleichungen (1.111) und (1.115) identisch. Das
Newmarkverfahren mit den Parametern γ = 2β = 1 entspricht also für lineare Differentialgleichungssysteme
einem kontinuierlichem Petrov–Galerkinverfahren in der
2
Zeit.
31