dh+1 - am IFM
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1.4. ZEITLICHE DISKRETISIERUNG<br />
in der Zustandsform<br />
Y n+1 = A FD Y n + F FD mit Y n =<br />
[<br />
dn<br />
ḋ n<br />
]<br />
(1.111)<br />
dargestellt.<br />
Hierin ist A FD die Amplifikationsmatrix, die im lastfreien Fall F FD = 0 den Zustandsvektor<br />
Y n auf den Zustandsvektor Y n+1 abbildet. Der Index FD deutet an, dass es<br />
sich hier um die Darstellung des Newmarkverfahrens als Finite-Differenzen-Verfahren<br />
handelt.<br />
Zunächst wird ein quadratischer Verschiebungsansatz im Zeitintervall I n := [t n ,t n+1 ]<br />
eingeführt:<br />
d(τ) = d n + τḋn + τ2<br />
2 ¨d m<br />
ḋ(τ) = ḋ n + τ ¨d m ,<br />
(1.112)<br />
mit τ = t − t n und der konstanten Beschleunigung<br />
¨d m = 1<br />
∆t n<br />
(ḋn+1 − ḋn). (1.113)<br />
Nun wird das Petrov–Galerkinverfahren zur Formulierung der schwachen Form im Zeitintervall<br />
genutzt:<br />
t∫<br />
n+1<br />
t n<br />
w t ·<br />
(M ¨d m + Cḋ + Kd − F(τ) )<br />
dt = 0, (1.114)<br />
mit der noch nicht spezifizierten Wichtungsfunktion w t . Der Index FE deutet hier<br />
an, dass es sich hier um eine Finite-Elemente-Formulierung in der Zeit handelt. Das<br />
aus Gleichung (1.114) abgeleitete Zeitintegrationsverfahren lässt sich ebenfalls in eine<br />
Form gemäß Gleichung (1.111) bringen:<br />
Y n+1 = A FE Y n + F FE (1.115)<br />
Die Wichtungsfunktion w t lässt sich nun aus der Forderung, dass die Amplifikationsmatrizen<br />
der beiden Verfahren gleich sind, bestimmen:<br />
( 1<br />
w t = w(x)<br />
5 − τ )<br />
+ τ2<br />
∆t n ∆t 2 , (1.116)<br />
siehe auch Neumann [73]. Für eine lineare Interpolation der äußeren Last im Zeitintervall<br />
sind auch die Lastterme in den Gleichungen (1.111) und (1.115) identisch. Das<br />
Newmarkverfahren mit den Par<strong>am</strong>etern γ = 2β = 1 entspricht also für lineare Differentialgleichungssysteme<br />
einem kontinuierlichem Petrov–Galerkinverfahren in der<br />
2<br />
Zeit.<br />
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