dh+1 - am IFM

KAPITEL 1. KONTINUUMSMECHANIK UND DISKRETISIERUNGSMETHODEN
welches mit einem iterativen Lösungsverfahren, wie z. B. dem Newton-Raphson-
Verfahren, gelöst wird. Hierfür wird (1.106) in eine Taylorreihe entwickelt:
G(d i n+1 + ∆d i+1
n+1) = G(d i n+1) + DG(d i n+1) · ∆d i+1
n+1 + r(d i n+1) (1.107)
Die Vernachlässigung des Restgliedes r(d i n+1) der Taylorreihe (1.107) führt zusammen
mit der diskreten Gleichgewichtsbedingung (1.106) auf den Iterationsalgorithmus
K i eff · ∆d i+1
n+1 = −G(d i n+1)
d i+1
n+1 = d i n+1 + ∆d i+1
n+1,
(1.108)
mit der Tangentenmatrix
K i eff = α 1 M + α 4 C + ∂R ∣ ∣∣∣d
. (1.109)
∂d n+1
i
n+1
Als Anfangswert für den Verschiebungsvektor wird der konvergierte Wert aus dem
letzten Zeitschritt gewählt, d.h. d 0 n+1 = d n . Der Iterationsalgorithmus (1.108) wird in
jedem Zeitschritt so lange wiederholt, bis das Konvergenzkriterium
|K i eff · ∆d i+1
n+1| ≤ ǫ|K 0 eff · ∆d 1 n+1| (1.110)
erfüllt ist.
Für lineare Problemstellungen ist (1.106) linear in d n+1 und kann somit ohne Iteration
direkt gelöst werden.
1.4.2 Das Newmarkverfahren für lineare Probleme als Petrov-
Galerkin-Verfahren
Das Newmarkverfahren stellt in der im vorangegangen Abschnitt dargestellten Formulierung
ein typisches Finite-Differenzen-Verfahren dar. Für einige Finite-Differenzen-
Verfahren zur Zeitintegration können im Falle linearer Differentialgleichungssysteme
äquivalente Galerkinverfahren in der Zeit angegeben werden [115]. Der Vorteil der Galerkinverfahren
in der Zeit für die Fehlerkontrolle liegt darin begründet, dass die Methoden,
welche zur Fehlerschätzung im Rahmen der räumlichen Finite-Elemente-Methode
verwendet werden, auch auf die Fehlerschätzung der zeitlichen Diskretisierung übertragen
werden können.
Hier wird ein in den Verschiebungen und Geschwindigkeiten kontinuierliches Galerkinverfahren
in der Zeit dargestellt, welches dem Newmarkverfahren mit der Parameterkombination
γ = 2β = 0, 5 äquivalent ist.
Die Äquivalenz der beiden Formulierungen lässt sich am einfachsten über die Gleichheit
der Amplifikationsmatrizen sowie der Lastvektoren der entsprechenden Verfahren darstellen.
Hierfür wird zunächst das klassische Newmarkverfahren als Einschrittverfahren
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