dh+1 - am IFM
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KAPITEL 1. KONTINUUMSMECHANIK UND DISKRETISIERUNGSMETHODEN<br />
welches mit einem iterativen Lösungsverfahren, wie z. B. dem Newton-Raphson-<br />
Verfahren, gelöst wird. Hierfür wird (1.106) in eine Taylorreihe entwickelt:<br />
G(d i n+1 + ∆d i+1<br />
n+1) = G(d i n+1) + DG(d i n+1) · ∆d i+1<br />
n+1 + r(d i n+1) (1.107)<br />
Die Vernachlässigung des Restgliedes r(d i n+1) der Taylorreihe (1.107) führt zus<strong>am</strong>men<br />
mit der diskreten Gleichgewichtsbedingung (1.106) auf den Iterationsalgorithmus<br />
K i eff · ∆d i+1<br />
n+1 = −G(d i n+1)<br />
d i+1<br />
n+1 = d i n+1 + ∆d i+1<br />
n+1,<br />
(1.108)<br />
mit der Tangentenmatrix<br />
K i eff = α 1 M + α 4 C + ∂R ∣ ∣∣∣d<br />
. (1.109)<br />
∂d n+1<br />
i<br />
n+1<br />
Als Anfangswert für den Verschiebungsvektor wird der konvergierte Wert aus dem<br />
letzten Zeitschritt gewählt, d.h. d 0 n+1 = d n . Der Iterationsalgorithmus (1.108) wird in<br />
jedem Zeitschritt so lange wiederholt, bis das Konvergenzkriterium<br />
|K i eff · ∆d i+1<br />
n+1| ≤ ǫ|K 0 eff · ∆d 1 n+1| (1.110)<br />
erfüllt ist.<br />
Für lineare Problemstellungen ist (1.106) linear in d n+1 und kann somit ohne Iteration<br />
direkt gelöst werden.<br />
1.4.2 Das Newmarkverfahren für lineare Probleme als Petrov-<br />
Galerkin-Verfahren<br />
Das Newmarkverfahren stellt in der im vorangegangen Abschnitt dargestellten Formulierung<br />
ein typisches Finite-Differenzen-Verfahren dar. Für einige Finite-Differenzen-<br />
Verfahren zur Zeitintegration können im Falle linearer Differentialgleichungssysteme<br />
äquivalente Galerkinverfahren in der Zeit angegeben werden [115]. Der Vorteil der Galerkinverfahren<br />
in der Zeit für die Fehlerkontrolle liegt darin begründet, dass die Methoden,<br />
welche zur Fehlerschätzung im Rahmen der räumlichen Finite-Elemente-Methode<br />
verwendet werden, auch auf die Fehlerschätzung der zeitlichen Diskretisierung übertragen<br />
werden können.<br />
Hier wird ein in den Verschiebungen und Geschwindigkeiten kontinuierliches Galerkinverfahren<br />
in der Zeit dargestellt, welches dem Newmarkverfahren mit der Par<strong>am</strong>eterkombination<br />
γ = 2β = 0, 5 äquivalent ist.<br />
Die Äquivalenz der beiden Formulierungen lässt sich <strong>am</strong> einfachsten über die Gleichheit<br />
der Amplifikationsmatrizen sowie der Lastvektoren der entsprechenden Verfahren darstellen.<br />
Hierfür wird zunächst das klassische Newmarkverfahren als Einschrittverfahren<br />
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