dh+1 - am IFM

1.4. ZEITLICHE DISKRETISIERUNG
1.4.1 Das Newmarkverfahren
Beim Newmarkverfahren wird die Erfüllung der semidiskreten Bewegungsgleichung
zum Zeitpunkt t n+1 gefordert
M ¨d n+1 + Cḋn+1 + R(d n+1 ) = F n+1 . (1.101)
Für den Knotenverschiebungsvektor und den Knotengeschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt
t n+1 = t n + ∆t wird folgender Ansatz gemacht:
d n+1 = d n + ∆tḋn + ∆t 2 [
( 1 2 − β)¨d n + β¨d n+1
]
ḋ n+1 =
]
ḋ n + ∆t
[(1 − γ)¨d n + γ¨d n+1
(1.102)
Die Parameter β und γ steuern die Genauigkeitsordnung und die numerische Stabilität
des Verfahrens. Bei der Anwendung auf lineare Probleme ist das Newmarkverfahren für
γ = 0, 5 und β ≥ 0, 25 unbedingt stabil und von quadratischer Genauigkeitsordnung.
Für lineare Anwendungen wird deshalb häufig die Parameterkombination γ = 2β = 0, 5
verwendet.
Die Newmarkansätze (1.102) lassen sich nun so umformen, dass die Geschwindigkeiten
ḋn+1 und die Beschleunigungen ¨d n+1 zum Ende des Zeitschrittes in Abhängigkeit
von den Größen zu Beginn des Zeitschrittes und den Verschiebungen d n+1 dargestellt
werden können:
¨d n+1 = α 1 (d n+1 − d n ) − α 2 ḋ n − α 3¨dn = α 1 ∆d n+1 − α 2 ḋ n − α 3¨dn
ḋ n+1 = α 4 (d n+1 − d n ) + α 5 ḋ n + α 6¨dn = α 4 ∆d n+1 + α 5 ḋ n + α 6¨dn
(1.103)
mit den vom Zeitschritt abhängigen Konstanten
1
1
α 1 =
β(∆t n)
α 2 2 =
β∆t n
α 3 = 1−2β
2β
γ
α 4 =
β∆t n
α 5 = (1 − γ ) α β 6 = (1 − γ )∆t 2β n,
(1.104)
und der Änderung des Knotenverschiebungsvektors
∆d n+1 = d n+1 − d n (1.105)
im Zeitschritt n.
Einsetzen dieser Beziehungen in die Bewegungsgleichung (1.100) liefert ein nichtlineares
algebraisches Gleichungssystem für die unbekannten Verschiebungen am Ende des
Zeitschrittes
[
]
G(d n+1 ) = M α 1 (∆d n+1 − α 2 ḋ n − α 3¨dn )
]
+C
[α 4 ∆d n+1 + α 5 ḋ n + α 6¨dn (1.106)
+R(d n+1 ) − F n+1 = 0,
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