dh+1 - am IFM
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1.4. ZEITLICHE DISKRETISIERUNG<br />
1.4.1 Das Newmarkverfahren<br />
Beim Newmarkverfahren wird die Erfüllung der semidiskreten Bewegungsgleichung<br />
zum Zeitpunkt t n+1 gefordert<br />
M ¨d n+1 + Cḋn+1 + R(d n+1 ) = F n+1 . (1.101)<br />
Für den Knotenverschiebungsvektor und den Knotengeschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt<br />
t n+1 = t n + ∆t wird folgender Ansatz gemacht:<br />
d n+1 = d n + ∆tḋn + ∆t 2 [<br />
( 1 2 − β)¨d n + β¨d n+1<br />
]<br />
ḋ n+1 =<br />
]<br />
ḋ n + ∆t<br />
[(1 − γ)¨d n + γ¨d n+1<br />
(1.102)<br />
Die Par<strong>am</strong>eter β und γ steuern die Genauigkeitsordnung und die numerische Stabilität<br />
des Verfahrens. Bei der Anwendung auf lineare Probleme ist das Newmarkverfahren für<br />
γ = 0, 5 und β ≥ 0, 25 unbedingt stabil und von quadratischer Genauigkeitsordnung.<br />
Für lineare Anwendungen wird deshalb häufig die Par<strong>am</strong>eterkombination γ = 2β = 0, 5<br />
verwendet.<br />
Die Newmarkansätze (1.102) lassen sich nun so umformen, dass die Geschwindigkeiten<br />
ḋn+1 und die Beschleunigungen ¨d n+1 zum Ende des Zeitschrittes in Abhängigkeit<br />
von den Größen zu Beginn des Zeitschrittes und den Verschiebungen d n+1 dargestellt<br />
werden können:<br />
¨d n+1 = α 1 (d n+1 − d n ) − α 2 ḋ n − α 3¨dn = α 1 ∆d n+1 − α 2 ḋ n − α 3¨dn<br />
ḋ n+1 = α 4 (d n+1 − d n ) + α 5 ḋ n + α 6¨dn = α 4 ∆d n+1 + α 5 ḋ n + α 6¨dn<br />
(1.103)<br />
mit den vom Zeitschritt abhängigen Konstanten<br />
1<br />
1<br />
α 1 =<br />
β(∆t n)<br />
α 2 2 =<br />
β∆t n<br />
α 3 = 1−2β<br />
2β<br />
γ<br />
α 4 =<br />
β∆t n<br />
α 5 = (1 − γ ) α β 6 = (1 − γ )∆t 2β n,<br />
(1.104)<br />
und der Änderung des Knotenverschiebungsvektors<br />
∆d n+1 = d n+1 − d n (1.105)<br />
im Zeitschritt n.<br />
Einsetzen dieser Beziehungen in die Bewegungsgleichung (1.100) liefert ein nichtlineares<br />
algebraisches Gleichungssystem für die unbekannten Verschiebungen <strong>am</strong> Ende des<br />
Zeitschrittes<br />
[<br />
]<br />
G(d n+1 ) = M α 1 (∆d n+1 − α 2 ḋ n − α 3¨dn )<br />
]<br />
+C<br />
[α 4 ∆d n+1 + α 5 ḋ n + α 6¨dn (1.106)<br />
+R(d n+1 ) − F n+1 = 0,<br />
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